經歷建模過程 感悟數學方法
——“植樹問題”教學診斷及建議

○王永成

“植樹問題”就是通過解決一些簡單的實際問題，讓學生體會解決問題的策略和重要的數學思想，培養學生在解決問題過程中探索規律、建立模型和尋找有效方法的能力。可在實際教學中，教師要么先給出公式，分類探究，然后引導學生總結應用，進行拓展訓練；要么讓學生猜一猜、數一數、算一算，然后立即歸納總結公式，利用公式解決問題。不管哪種教學方式，教師都把教學重點放在了公式上，至于自主建模、感悟方法等教學目標卻被忽略了。

片段一：情境引入

師：同學們，3月12日是什么日子？

生：植樹節。

師：大家會植樹嗎？生活中怎么植樹？今天，我們對植樹問題進行深入研究。我們要想知道在一條小路上種幾棵樹，需要什么條件？

生：得知道這條小路有多長。

師：這也就是說，我們要知道全長。那還需要知道什么？

生：每隔幾米種一棵。

師：每隔幾米種一棵，這叫間隔。有了全長、有了間隔，我們能求什么？

生：我們能求種的棵數。

師：大家說該怎么列式？

生：全長÷間隔=棵數。

師：全長除以間隔應該等于間隔數。剛才，同學們都說全長除以間隔等于棵數，間隔數和棵數究竟有怎樣的聯系呢？我們通過一道題來研究一下。

診斷分析：教師通過植樹節、如何植樹，揭開了本節課的序幕。“要想知道在一條小路上種幾棵樹，需要什么條件？”接著介紹全長、間隔和間隔數。“有了全長，有了間隔，求種的棵數，該怎么列式？”學生認為：全長除以間隔就等于棵數。這本是學生的真實想法，也是研究植樹問題的思維起點。可授課教師卻視而不見、充耳不聞，直接出示：全長÷間隔=間隔數。并由此啟發學生思考：間隔數和棵數究竟有怎樣的聯系呢？然后讓學生設計方案，深入探究。

表面上看，教師從學生已有的生活經驗出發，讓學生認識全長、間隔、間隔數這幾個重要概念以及它們之間的關系，并引導學生自主探究。可實際上，學生尚未經歷建模過程，教師便把公式呈現給學生，學生不費吹灰之力便得到了“植樹問題”的數學模型。接下來，學生只要利用模型按圖索驥，便能順利地完成教師的意愿。試問：這樣的探究有何意義？

片段二：探究發現

師：教學樓前有一條40米長的小路，我們要在這條小路上整齊地種一排小樹。請你來設計一下。這里面有你需要的條件嗎？

生:40米的小路是全長，可是沒有間隔。

師：請你來設計，你要選擇間隔幾米種一棵樹呢？

（學生選擇間隔6米、5米、10米、8米……）

師：我們就選擇間隔5米、10米、8米來研究，可以有多種設計方案。拿出你的設計圖，開始設計吧！設計好后把你的方案在小組中說一說。

師：（將學生的作品雜亂無章地貼在黑板上）這是同學們的設計方案，感覺怎么樣？

生：感覺很亂。

師：那該怎么辦呢？

生：給它們分類。將黑板上的方案按間隔進行分類，間隔相同的排成一列。

師：現在就以這組為例，小路的全長是40米，間隔是10米，我們得到的間隔數是多少？

生:40÷10=4。

師：把40米長的小路平均分成4段，得到4個間隔。可是，這些方案中，有的種5棵，有的種3棵，還有的種4棵。間隔數相同，為什么種的棵數不一樣呢？

生：我是兩端都種的，一個間隔一棵樹，再加上最后這棵，得出的是5棵樹。40÷10=4，4+1=5（棵）。

生：我是只種一端，最后那棵沒種，所以得出的是4棵樹。40÷10=4（棵）。

生：我是兩端都不種，種了3棵樹。40÷10=4，4-1=3（棵）。

師：剛才這3名同學有3種不同的設計方案。那后面這些間隔5米、8米的設計方案和它們相同嗎？請把相同的找出來，排成一排。

診斷分析：授課教師讓學生自由選擇間隔來設計植樹方案，第一名學生選擇了間隔6米，教師略顯尷尬，并對此置之不理，讓其他同學繼續選擇。最終，教師還是限定選擇5米、10米、8米的間隔進行研究，設計方案。然后讓學生展示方案，進行分類，并以間隔10米為例，讓學生講解兩端都種、只種一端和兩端都不種的計算方法。最后，再按三種不同的種樹方式重新排列，重新歸類。經過兩次分類，得出了“植樹問題”的規律。

表面上看，這樣的教學具有開放性，體現了自主、合作、探究的教學理念。實際真的是這樣嗎？讓學生在一條40米長的小路上種一排樹，學生的思維起點在哪兒？我曾對本校同年級學生進行過調查：選擇兩端都種的學生占87.5%，選擇只種一端的學生占2.5%，選擇兩端都不種的學生占10%。也就是說，即使沒有教師的干預，大多數學生也會選擇“兩端都種”。

因此，在教學“植樹問題”時，一定要遵循學生的思維起點，按照學生的思維習慣開展教學，這樣才能激發學生探究的興趣。

片段三：總結運用

師：請同學們看第一排的設計方案，有什么共同之處？

生：第一排的設計方案是兩端都種的，棵數=間隔數+1。

師：第二排的設計方案呢？

生：兩端都不種，棵數=間隔數-1。

師：那第三排的呢？

生：一端種一端不種，棵數=間隔數。

師：同學們通過探究，得出了規律，我把這些規律都寫到了黑板上。現在，我們能不能運用規律解決實際問題呢？

出示：在學校60米的小路一側，每隔3米擺一盆花（兩端都擺）。一共可以擺幾盆？

生:60÷3=20（盆）。

師：這20是什么呢？

生:20是一共可以擺幾盆花。

師：有的同學舉手了，你想說什么？

生:20應該是間隔數。求一共可以擺幾盆花，還應該加1，也就是20+1=21（盆）。

出示：60÷3=20（個），20+1=21（盆）。

師：老師寫20個可以嗎？

生：可以。

師：以前學習“植樹問題”時，我讓同學們在網上搜相關習題，大家搜出來的卻是電線桿、爬樓梯、擺花盆、鋸木頭等問題，這是為什么呢？表面上看這些問題跟植樹沒有任何關系，其實都能用“植樹問題”的數學模型來解決。

接著，教師引導學生思考：曲線上的植樹問題和直線上植樹的方法一樣嗎？然后演示講解曲線上的植樹問題，最后由曲線上的植樹問題又延伸到平面植樹問題。

診斷分析：教師根據重新歸類后的設計方案，引導學生觀察、總結出3種不同的植樹方式，然后讓學生運用規律解決問題。在短短的40分鐘時間里，授課教師不僅引領學生學習了直線上的植樹問題，以及由此衍生出的電線桿、爬樓梯、擺花盆、鋸木頭等問題，還學習了曲線上的植樹問題，又延伸到平面植樹問題。這樣大容量的課堂教學，學生真的能接受嗎？

從教學效果看，60÷3=20，到底是20個還是20盆，學生依然模糊不清；雖然總結了規律，但學生只是盲目地套用規律，不能正確地運用規律來解決實際問題。至于曲線上的植樹問題、平面植樹問題，更是走馬觀花，學生能否理解就不言而喻了。這樣教學“植樹問題”，給人的感覺就是：貪多嚼不爛，必是夾生飯，量大填鴨，難以消化，更不用說讓學生經歷建模過程、體會數學思想了。

縱觀本節課，教師從一開始就是奔著傳授知識來的。教師按著自己的意圖把所思所想傾囊相授，毫無保留。然而，這樣的教學真的好嗎？學生能夠掌握所傳授的知識嗎？細細品味，迷失初衷。

教學建議：

教材中，“植樹問題”是通過現實生活中一些常見的實際問題，讓學生從中發現規律，抽取出其中的數學模型，從而滲透一些重要的數學思想。教學“植樹問題”時，我們要從學生已有的知識經驗出發，遵循低起點、小步伐、慢節奏的原則，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程，從而積累數學活動經驗，感悟數學方法。

1.循序漸進，建構模型。

教學“植樹問題”時，我們可以由簡入繁，循序漸進，建構模型。課伊始，教師利用手指操、結繩計數、鋸木頭等游戲，讓學生初步認識間隔、間隔數，并由此引入新課，讓學生解決實際問題：在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵（兩端都種）。一共要種多少棵？在學生自主探究時，教師要引導學生利用小棒或小樹圖片在線段上擺一擺，看看到底能種多少棵。然后，再用線段圖表示剛才的種樹情況，讓學生初步感知規律，列出算式。最后，教師將小路延長至40米、60米、100米，間隔不變，讓學生合作交流，發現規律，總結方法，從而建構出兩端都種的數學模型：棵數=全長÷間隔+1。

2.滲透思想，感悟方法。

學生通過擺一擺、畫一畫、說一說建構了兩端都種的數學模型：棵數=全長÷間隔+1。在此，教師要引導學生回顧反思，質疑研討：全長除以間隔等于間隔數，怎么能和棵數相加呢？為什么要加1？這個1指的是什么？通過質疑研討，學生真正感悟到間隔數和棵數具有一一對應的關系，利用等量代換，將間隔數轉換成了棵數，所加的1棵就是最前面的那棵。至此，模型才夠“豐滿”，學生對模型的理解才深刻、具體。有了兩端都種的數學模型，再引導學生利用活動經驗，自主建構兩端都不種、只種一端的數學模型就水到渠成了。在整個探究過程中，教師不僅滲透了建模思想，還巧妙滲透了數形結合、一一對應、等量代換、化歸等重要的數學思想。同時，也讓學生感悟到了學習數學的有效方法。