部分線性可加模型在GDP預(yù)測(cè)中的應(yīng)用

□文/鄭婉迪

（安徽建筑大學(xué)數(shù)理學(xué)院 安徽·合肥）

[提要］在全球經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展進(jìn)程中，我國(guó)作為東方大國(guó)為全球經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)貢獻(xiàn)巨大的力量，努力發(fā)展自身的同時(shí)也帶動(dòng)著周邊國(guó)家的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)。經(jīng)濟(jì)活躍的直接體現(xiàn)是人均生產(chǎn)總值的不斷增加，探究我國(guó)人均生產(chǎn)總值的主要影響因素對(duì)穩(wěn)步提高居民生產(chǎn)消費(fèi)水平具有重要意義。本文選取我國(guó)2020年31個(gè)省市地區(qū)人均生產(chǎn)總值進(jìn)行建模預(yù)測(cè)。先對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，參考?xì)v史相關(guān)文獻(xiàn)篩選出8個(gè)指標(biāo)建立多元線性模型，得出粗略的預(yù)測(cè)結(jié)果。為改進(jìn)預(yù)測(cè)效果，再使用Lasso變量選擇方法篩選出主要影響變量，根據(jù)變量間線性相關(guān)顯著性挑選出線性和非線性影響因素，繼而建立半?yún)?shù)部分線性可加模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，該模型提高預(yù)測(cè)精度與穩(wěn)健性，使回歸結(jié)果在很大程度上得到優(yōu)化。

從經(jīng)濟(jì)角度看，一個(gè)國(guó)家GDP的波動(dòng)直接反映了該國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r變化。GDP大幅增長(zhǎng)，說明該國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展蓬勃、國(guó)民收入增加，消費(fèi)能力自然也隨之增強(qiáng)；若GDP下降，則代表經(jīng)濟(jì)發(fā)展受損，應(yīng)引起相關(guān)人員的高度關(guān)注以便及時(shí)調(diào)控。2020年爆發(fā)的新冠肺炎疫情，各國(guó)感染病例爆發(fā)式增長(zhǎng)。為了人民的健康，黨中央及時(shí)部署，采取大范圍封閉管理政策，疫情得到控制的間接影響就是經(jīng)濟(jì)活力下降，人均收入和支出下滑。此時(shí)，研究GDP問題更有助于了解人民的收入、國(guó)家的收入和經(jīng)濟(jì)的健康發(fā)展情況，同時(shí)有助于維持社會(huì)的穩(wěn)定等。針對(duì)這一話題的研究國(guó)內(nèi)學(xué)者們多數(shù)集中在定性分析或使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)回歸模型進(jìn)行定量分析。王小魯?shù)热藦恼咧贫确矫娣治隽巳司a(chǎn)總值的影響因素和調(diào)控措施。曹海波使用因子分析的方法對(duì)影響經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的因素進(jìn)行研究。傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)模型需要提前設(shè)定回歸模型的形式，對(duì)數(shù)據(jù)的限制較大。影響GDP的因素多且復(fù)雜，采用OLS方法建立傳統(tǒng)的回歸模型必然導(dǎo)致多重共線性的出現(xiàn)，因此本文采用Lasso方法篩選主要的影響變量，針對(duì)此問題建立半?yún)?shù)部分可加模型。Lasso方法是當(dāng)下比較流行的數(shù)據(jù)降維方法，雖然相比于最小二乘估計(jì)（OLS）方法對(duì)參數(shù)的估計(jì)是有偏的，但能夠在保證數(shù)據(jù)相關(guān)性的同時(shí)精簡(jiǎn)變量，對(duì)處理高維數(shù)據(jù)十分有效。半?yún)?shù)部分線性可加模型是一種參數(shù)和非參數(shù)的組合模型，集兩種模型的優(yōu)點(diǎn)于一身，現(xiàn)已具有非常廣泛的應(yīng)用范圍。

一、多元線性回歸模型

變量間的非函數(shù)關(guān)系我們常稱為相關(guān)關(guān)系，若它們之間存在因果關(guān)系，則可以進(jìn)行回歸分析。在具有因果關(guān)系的變量間建立模型進(jìn)行預(yù)測(cè)也即多元回歸。變量之間的線性關(guān)系在數(shù)學(xué)上是指二者存在一次函數(shù)的關(guān)系。一般的多元線性回歸模型如下：

其中，Y為因變量，X1，X2，…，Xp為自變量，（Yi；Xi1，…，Xip）（i=1，2，…，n）是Y與X1，X2，…，Xp的n組觀測(cè)數(shù)據(jù)，β0，β1，…，βp為未知的常值參數(shù)，εi為不可觀測(cè)的隨機(jī)誤差項(xiàng)，滿足E（εi）=0，Var（εi）=σ2＞0，cov（εi，εj）=0，i≠j。這種模型在以往的定量分析中是最基礎(chǔ)的模型，也是采用最多的模型。接下來本文就建立該模型作為對(duì)比的基礎(chǔ)。

（一）模型構(gòu)建。考慮到數(shù)據(jù)的可得性和完整性，本文研究的樣本空間單元為全國(guó)31個(gè)省市地區(qū)，數(shù)據(jù)來源于2021年《中國(guó)統(tǒng)計(jì)年鑒》。由于影響人均GDP的變量較多，為了盡可能地包含這些因素，參考國(guó)內(nèi)現(xiàn)有的文獻(xiàn)并結(jié)合目前的經(jīng)濟(jì)市場(chǎng)，本文選取了就業(yè)率（%）、人均第一產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額（元）、人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額（元）、城鎮(zhèn)人口比重（%）、人均消費(fèi)支出（元）、工業(yè)化程度（%）、人均進(jìn)出口總額（元/人）和人均電力消費(fèi)量（千瓦/時(shí)）為自變量，按序記為x1，x2，…，x8，人均生產(chǎn)總值（元）為因變量，建立如下多元線性回歸模型并進(jìn)行預(yù)測(cè)：

利用R語(yǔ)言中OLS對(duì)上式進(jìn)行求解，擬合結(jié)果顯示，雖然模型的R2a高達(dá)0.9354，R2a為自由度調(diào)整的復(fù)決定系數(shù)，但是多個(gè)變量的P值大于0.05，并不能通過檢驗(yàn)。這粗略地說明自變量與因變量之間可能不是線性關(guān)系，也有可能是各自變量之間存在高度的相關(guān)關(guān)系，這將導(dǎo)致模型的穩(wěn)定性非常低。

（二）模型預(yù)測(cè)。用上述模型對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，結(jié)果如表2中模型1對(duì)應(yīng)數(shù)值。根據(jù)表中數(shù)據(jù)分析，整個(gè)模型的預(yù)測(cè)精度較高，但是由于文中僅使用了一年數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，模型的穩(wěn)定性并不能保證。結(jié)合多元線性的擬合結(jié)果，各自變量中僅有人均第三生產(chǎn)總額的p值比較顯著，可以達(dá)到建模要求，而模型中選擇的其他變量或多或少會(huì)對(duì)因變量產(chǎn)生影響，卻不能通過檢驗(yàn)，而且對(duì)于經(jīng)濟(jì)問題的多重共線性也不能很好地解決。因此，直接用OLS方法估計(jì)的結(jié)果是不可靠的。

表2 模型預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比一覽表

二、部分線性可加模型

選擇與研究對(duì)象相適應(yīng)的統(tǒng)計(jì)模型是建立模型的第一步。當(dāng)下常見的統(tǒng)計(jì)模型主要包括參數(shù)、非參數(shù)和半?yún)?shù)這三大類。參數(shù)模型具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單便于理解、估計(jì)結(jié)果容易解釋等優(yōu)點(diǎn)，但同時(shí)也存在許多缺點(diǎn)，比如模型設(shè)定嚴(yán)格且不靈活。非參數(shù)模型僅含未知函數(shù)，具有靈活性強(qiáng)的優(yōu)點(diǎn)。但非參數(shù)模型也有著致命的不足：一是容易出現(xiàn)高維災(zāi)難的現(xiàn)象，即當(dāng)解釋變量X維度過高時(shí)，為使得估計(jì)精度在相對(duì)準(zhǔn)確的范圍內(nèi)，在數(shù)據(jù)收集和計(jì)算時(shí)，所需數(shù)據(jù)量都不切實(shí)際地大；二是不能用于預(yù)測(cè)；三是當(dāng)X的維數(shù)大于2時(shí)，估計(jì)的結(jié)果無法很好解釋。第三種模型是依據(jù)前兩種模型的優(yōu)點(diǎn)組合出的模型，是含有已知的函數(shù)部分和未知參數(shù)形式的模型。此模型通過未知函數(shù)來減少模型預(yù)測(cè)偏差，加大適應(yīng)性，通過未知參數(shù)來降低維度。部分線性、部分線性變系數(shù)、部分函數(shù)線性、部分函數(shù)部分線性以及部分線性可加性等五種模型均是比較常見的半?yún)?shù)回歸模型。在這些模型中比較有代表性的是部分線性可加模型，它在減少模型偏差的同時(shí)，還能有效避免“維數(shù)禍根”。本文所采用的正是這種模型。一般的部分線性可加模型，模型形式如下：

其中，Y是因變量，X=（U，T）是d維解釋變量。滿足E（ε|U，T）=0，Var（Y|U，T）=Var（ε|U，T）=σ2（U，T）。

（一）Lasso變量篩選。進(jìn)行統(tǒng)計(jì)建模的第一步便是選擇合適的自變量，這一步做好了，建立的模型才能準(zhǔn)確反映自變量與因變量之間的關(guān)系。尤其是在經(jīng)濟(jì)問題中自變量個(gè)數(shù)很多時(shí)，彼此之間很容易存在多重共線性，不對(duì)變量進(jìn)行篩選，回歸系數(shù)的估計(jì)值就會(huì)產(chǎn)生較大偏差，直接影響就是預(yù)測(cè)不夠準(zhǔn)確。此外，變量選擇還可以剔除掉與因變量關(guān)系不大的變量，減少自變量的個(gè)數(shù)即降低模型的維度，達(dá)到精簡(jiǎn)模型的目的。本文采用Lasso這種基于懲罰函數(shù)的方法對(duì)人均GDP影響因素的變量進(jìn)行篩選。Lasso變量篩選理論于1996年被Robert Tibshirani提出。但由于技術(shù)限制，在2005年才被接受應(yīng)用。它和嶺回歸類似，都是通過構(gòu)造一個(gè)懲罰函數(shù)來壓縮一些回歸系數(shù)，是將L2范數(shù)改為L(zhǎng)1范數(shù)。雖然這種方法是有偏估計(jì)，但在處理具有共線性的數(shù)據(jù)時(shí)優(yōu)點(diǎn)頗多。

設(shè)樣本是（xij；yi），i=1，2，…，N，j=1，2，…，p，其中xij（xi1，…，xip）T是解釋變量，yi是被解釋變量。

相對(duì)于普通最小二乘估計(jì)（OLS），Lasso回歸不僅簡(jiǎn)化了模型的變量，還降低了估計(jì)的方差。當(dāng)樣本量不足而變量卻是高維時(shí)，采用最小二乘法就不合適。而Lasso對(duì)于參數(shù)的估計(jì)具有連續(xù)性，因此有必要采用Lasso做變量篩選，它可以篩選出對(duì)被解釋變量影響較大的變量從而降低維度。本文采用LARS算法和CV選擇參數(shù)，用R語(yǔ)言中的lar函數(shù)進(jìn)行篩選，得到Lasso篩選結(jié)果。Lasso從所有變量中篩選出x3（人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額）、x5（人均消費(fèi)支出）、x7（人均進(jìn)出口總額）三個(gè)變量，其他的變量則被壓縮至0。這就說明人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額、人均消費(fèi)支出和人均進(jìn)出口總額主要影響著人均生產(chǎn)總值的變化。變量篩選完畢，接下來建立部分線性可加模型。

（二）模型構(gòu)建。在均方誤差最小時(shí)，Lasso篩選出人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額、人均消費(fèi)支出、人均進(jìn)出口總額三個(gè)變量，基于上文建立線性模型時(shí)，人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額是唯一顯著的線性變量，所以把這一變量作為部分線性可加模型中的線性部分，而人均消費(fèi)支出和人均進(jìn)出口總額則作為模型中的非線性部分，最終建立如下部分線性可加模型：

用R語(yǔ)言對(duì)上式進(jìn)行求解，參數(shù)擬合結(jié)果如表1所示。（表1）

由表1可以看出，人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額的回歸系數(shù)β1=1.861，經(jīng)濟(jì)解釋就是人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額每增加一個(gè)單位，人均國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值平均增加1.861個(gè)單位，且人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額的系數(shù)p-值遠(yuǎn)小于0.05，說明人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額通過了檢驗(yàn)，是非常顯著的。非線性部分的擬合不易解釋，但從擬合過程可以大略地看出，人均消費(fèi)支出在10，000～20，000元之間時(shí)，對(duì)人均生產(chǎn)總值的影響基本是不變的，這也比較符合我國(guó)當(dāng)前的消費(fèi)水平；當(dāng)人均消費(fèi)支出繼續(xù)增加時(shí)，對(duì)人均生產(chǎn)總值的影響開始變小。而人均進(jìn)出口總額的增加則會(huì)導(dǎo)致其對(duì)人均生產(chǎn)總值的影響變大，這也間接反映出閉關(guān)鎖國(guó)只會(huì)落后的歷史經(jīng)驗(yàn)，即使在疫情之下，我們也要盡量保持在安全的情況下刺激進(jìn)出口交易。綜上，可以將半?yún)?shù)回歸模型確立為：

表1 部分線性可加模型線性參數(shù)估計(jì)及模型擬合效果一覽表

下面通過計(jì)算模型的擬合優(yōu)度來判斷該模型擬合的好壞。通過計(jì)算可得模型的擬合優(yōu)度R2=0.9996，R2a也達(dá)到了0.9975。可以看出，部分線性可加模型較上文多元線性模型的擬合效果有很大提升，而且所涉及的變量只包含人均第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)額、人均消費(fèi)支出、人均進(jìn)出口總額三個(gè)變量，整體也更加精簡(jiǎn)，這將會(huì)為我們的預(yù)測(cè)省下很多不必要數(shù)據(jù)收集的時(shí)間。

三、結(jié)論與討論

（一）模型預(yù)測(cè)結(jié)果。將真實(shí)數(shù)據(jù)代入預(yù)測(cè)模型，經(jīng)計(jì)算，預(yù)測(cè)結(jié)果如表2模型2中對(duì)應(yīng)數(shù)值。（表2）

和多元線性回歸模型的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比發(fā)現(xiàn)，用部分線性可加模型建立的預(yù)測(cè)更加貼合實(shí)際數(shù)據(jù)，而且模型涉及的變量更少。

（二）討論分析。由表2可以非常直觀地看出，多元線性回歸模型在云南、西藏、甘肅、四川等藏區(qū)的估計(jì)偏差過大。改革開放后，藏區(qū)人民的生活已經(jīng)發(fā)生了翻天覆地的變化，網(wǎng)絡(luò)和物流的發(fā)展讓當(dāng)?shù)厝嗣竦霓r(nóng)產(chǎn)品和特色食品傳入全國(guó)甚至全球，旅游業(yè)更是在很大程度上對(duì)當(dāng)?shù)氐慕?jīng)濟(jì)進(jìn)行刺激，人均進(jìn)出口總額和人均第三產(chǎn)業(yè)總額對(duì)這些地區(qū)的影響更大，因此這些變量對(duì)人均生產(chǎn)總值的影響程度并不是固定的。相對(duì)來說，半?yún)?shù)部分線性可加模型在這些地區(qū)的估計(jì)值更貼合實(shí)際。半?yún)?shù)部分線性可加模型型對(duì)人均GDP的擬合值很明顯比多元線性模更加貼近真實(shí)值，說明半?yún)?shù)部分線性可加模型對(duì)人均GDP擬合的效果更好，而且涉及的變量也比多元線性回歸模型少得多，解釋起來更加具有針對(duì)性和合理性，涉及變量少，投入此項(xiàng)工作的時(shí)間精力消耗都會(huì)大大減少。如果政府相關(guān)部門想要對(duì)當(dāng)下的經(jīng)濟(jì)進(jìn)行調(diào)控，可以主要從第三產(chǎn)業(yè)和進(jìn)出口方面著手。當(dāng)下人民生活水平日漸提高，第三產(chǎn)業(yè)已經(jīng)占據(jù)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)中的主導(dǎo)地位。同時(shí)，加強(qiáng)進(jìn)出口消費(fèi)，倡導(dǎo)全球經(jīng)濟(jì)一體化已經(jīng)多年，我們也享受到全球化的紅利，接下來更要踐行這一偉大倡議，迎合全球發(fā)展趨勢(shì)，帶動(dòng)自身的發(fā)展。