基于體積比模型的混合不確定可靠度計算方法

宋利鋒，陳振鳴

（1.中國長峰機電技術(shù)研究設計院，北京 100854；2.北京航天情報與信息研究所，北京 100854）

近年來，隨著工業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，工程結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中存在大量不確定信息，按不確定因素的產(chǎn)生機理和物理意義的不同，可分為隨機性，模糊性和未確知性。在過去幾十年中，基于概率統(tǒng)計和模糊數(shù)學逐漸建立起了2 種重要的可靠性理論——隨機可靠性和模糊可靠性[1-5]。近些年來，隨著國內(nèi)外學者對非概率的研究，也建立了相應的非概率可靠性模型[6-8]。

本文基于一種非概率干涉可靠性模型，即用結(jié)構(gòu)安全域的體積與基本區(qū)間變量域的總體積之比作為結(jié)構(gòu)可靠性度量的模型[9]，推導了隨機變量，模糊變量和區(qū)間變量兩兩混合的結(jié)構(gòu)可靠度計算方法，拓廣了此非概率干涉模型的應用范圍，可用于計算工程中存在混合不確定信息的問題，其表達明確，應用簡便，有很好的實際意義。實例計算驗證了方法的有效性和可行性。

1 可靠度計算

在機械結(jié)構(gòu)的可靠性分析中，結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)可表示為

式中：R，S 分別為結(jié)構(gòu)的廣義強度和廣義應力，可為其他基本變量的函數(shù)。當R，S 均為隨機變量時，可用常規(guī)的概率可靠性模型求解。在此考慮其他不確定變量組合情況下的可靠度計算，將隨機-區(qū)間、隨機-模糊、模糊-模糊和模糊-區(qū)間幾種混合模型轉(zhuǎn)化為區(qū)間-區(qū)間模型，基于體積比的非概率可靠性模型，建立了相應的可靠度計算方法。由于體積比可靠性模型是建立在應力-強度干涉的條件下，所以以下問題均在應力-強度存在干涉的條件下進行討論。

1.1 均為區(qū)間變量的可靠度計算

式（3）為標準化變量空間中的失效平面。

將應力和強度轉(zhuǎn)換成標準化區(qū)間變量空間的應力-強度干涉關(guān)系如圖1 所示。

圖1 應力-強度發(fā)生干涉的標準化空間示意圖

標準化區(qū)間變量被分成2 部分，即失效域和安全域，將失效域面積與基本變量區(qū)域總面積之比定義為失效度，即

將安全域面積與基本變量區(qū)域總面積之比稱為可靠度。即

王曉軍等[9]已證明該可靠性模型與概率可靠性模型的一致性。

1.2 隨機-區(qū)間模型可靠度計算

當R 為隨機變量，S 為區(qū)間變量時，由于工程中構(gòu)件工作應力和材料強度在大多數(shù)時服從正態(tài)分布情況，取隨機變量為正態(tài)變量。R～N（μ，σ2），應力區(qū)間為，可將隨機變量R 轉(zhuǎn)換為區(qū)間變量，其中（若按工程要求一般可取Rr=3σ）。

結(jié)構(gòu)的失效概率為

結(jié)構(gòu)的可靠概率為

1.3 模糊-區(qū)間模型可靠度計算

當R 為模糊變量，S 為區(qū)間變量時，假設R 為L-R型模糊數(shù)所限定的模糊變量，其可能性分布函數(shù)為πR（r），對任一截集水平α，R 退化為區(qū)間變量[10]，其上下界分別為

式（12）、式（13）中α∈[0，1]為單位區(qū)間變量，δR∈[-1，1]為標準化區(qū)間變量，從而有

結(jié)構(gòu)在截集水平α 下的失效概率為

則結(jié)構(gòu)的失效概率為對截集水平區(qū)間進行積分，即

以下僅說明結(jié)構(gòu)在一定的水平截集α 下的失效或安全概率，結(jié)構(gòu)的失效和安全概率可按照式（16）在截集水平區(qū)間進行積分計算。

結(jié)構(gòu)在截集水平α 下的安全概率為

同理，當R 為區(qū)間變量RI=[R，R]，S 為模糊變量時，設S 可靠性分布函數(shù)為πS（S），則S 可退化為區(qū)間變量S=S（Cα）+S（rα）δS。

則在截集水平α 下失效概率為

相應的在水平截集α 下可靠概率為

1.4 隨機-模糊模型可靠度計算

當R 為隨機變量，S 為模糊變量時，設R～N（μ，σ2），S 的可能性分布函數(shù)為πS（S），則R，S 分別退化為區(qū)間變量，其上下界分別為

同理當R 為模糊變量，S 為隨機變量時，R 可能性分布函數(shù)為πR（r），S～N（μ，σ2），R，S 分別轉(zhuǎn)換為區(qū)間變量，得

1.5 模糊-模糊模型可靠度計算

當R，S 均為模糊變量時，其可能性分布函數(shù)分別為πR（r），πS（S），則對任一截集α，R，S 退化為區(qū)間變量，其上下界分別為[11]

2 數(shù)值算例

2.1 算例一

考慮如圖2 所示懸臂梁，在固定端處為b1=2.0，b2=5.0 處分別作用2 個集中載荷P1和P2，取|mmax|≥mcr時結(jié)構(gòu)發(fā)生失效，其中mcr為極限彎矩，mmax為梁中最大彎矩值，設基本區(qū)間變量為分別服從正態(tài)分布，P1～N1（5，0.22），P2～N2（2，0.12）。

圖2 懸臂梁結(jié)構(gòu)示意圖

建立結(jié)構(gòu)功能函數(shù)

利用本文提出的隨機－區(qū)間可靠度計算模型，可得

2.2 算例二

已知某結(jié)構(gòu)的疲勞強度可靠性分布為如下三角形式

作用在結(jié)構(gòu)上的隨機應力服從正態(tài)分布S～N（180，21.62）。

取k=3，由本文提出的隨機-模糊可靠度計算公式，可得表1。

表1 幾種截集水平下可靠性分布

對截集水平區(qū)間積分可得結(jié)構(gòu)的可靠概率為

2.3 算例三

承受均布載荷的簡支梁，其長度l=4 000 mm，截面寬度b=120 mm，截面高度h=240 mm，如圖3 所示，載荷q 為隨機變量并服從參數(shù)為μ1=217.6 和σ1=19.5 的正態(tài)分布，即q～N（μ1，σ21）N·mm-1，梁的材料為45 鋼，其強度R 為模糊變量，其隸屬函數(shù)分布為正態(tài)分布，即

圖3 簡支梁受力圖

式中：μ2=463.5；σ2=35.5。計算結(jié)構(gòu)的可靠度。

由材料力學可知，該簡支梁最大應力為

進而可求得應力S 的均值和方差分別為μS=377.7，σS=33.9。

取k=3，由本文提出的隨機-模糊可靠度計算公式，可得可能性分布情況，見表2。

表2 幾種截集水平下可靠性分布

對截集水平區(qū)間積分可得結(jié)構(gòu)的可靠概率為

2.4 算例四

以典型的十桿桁架為例。如圖4 所示。已知兩跨跨長L=9.144 m，桿件材料的密度為ρ=2 768 kg·m-3，材料的彈性模量為區(qū)間變量，其分布區(qū)間為EI=[6.956 9e10，7.032 7e10]N·m-2，作用的載荷為區(qū)間變量，其分布區(qū)間分別為F1I=F2I=[400.32，489.28]kN，F(xiàn)3I=[1 601.28，1 957.12]。各桿的強度約束為[σi]=1.723 7e8 N·m-2，（i=1，2，…，8，10），[σ9]=5.171 1e8 N·m-2。節(jié)點2 處的鉛垂方向的最大容許位移為模糊變量，其隸屬函數(shù)分布為

圖4 十桿桁架結(jié)構(gòu)

取各桿的截面面積為設計變量，各桿截面面積的下限取為6.4e-5 m2。進行該結(jié)構(gòu)的截面優(yōu)化設計。

此十桿桁架結(jié)構(gòu)的區(qū)間-模糊可靠性優(yōu)化設計模型為

式中：prob 為節(jié)點2 處的位移約束對應的區(qū)間-模糊可靠度；[prob]為可靠度指標下限。確定性優(yōu)化及考慮不確定因素的可靠性優(yōu)化設計結(jié)果見表3。

表3 優(yōu)化設計結(jié)果

結(jié)論：當考慮不確定因素的影響時，不確定優(yōu)化得到的重量比確定優(yōu)化重量大，結(jié)果偏于保守。這正是考慮了材料及載荷的不確定性影響，在優(yōu)化設計中加入了可靠性設計的結(jié)果，要獲得更高的可靠性需要犧牲一定的目標函數(shù)值。說明實際工程中如果結(jié)構(gòu)的目標函數(shù)可以適當放寬，應該適當考慮不確定因素對結(jié)構(gòu)的影響，加入結(jié)構(gòu)的可靠性設計，以提高結(jié)構(gòu)的安全性。

3 結(jié)論

由于工程中存在大量隨機模糊及未知然而有界等多種不確定信息，各種不確定信息的混合使得求解問題可靠性時不能單純地利用隨機概率可靠性和模糊可靠性方法求解。因此，有必要對混合不確定可靠性進行研究。文中基于體積比的非概率可靠性模型推導出的各種不確定組合的可靠度計算公式，可適用于相應的不確定工程問題，計算簡便，意義明確，可作為混合不確定可靠性分析方法的一種補充。文中算例說明了本文方法的應用。