美英早期代數教科書的代數價值觀探析

邵愛娣，劉思璐，汪曉勤

美英早期代數教科書的代數價值觀探析

邵愛娣1，劉思璐2，汪曉勤2

（1．上海市延安初級中學，上海 200050；2．華東師范大學 教師教育學院，上海 200062）

選取1800—1959年間出版的155種美英早期代數教科書，考查其前言及正文引言部分有關代數教育價值觀的內容．研究發現代數教育價值觀可分為學科基礎、思維訓練、品質培養、實際應用、數學交流、情感信念、學科優勢7類．以20年為一個時間段，每個時間段7類價值觀都不同程度地出現．從代數運算、公式、方程、圖象和問題5個方面分析了代數教育價值觀在教科書中的體現．啟示今天的中學代數教學與教科書編寫要注重代數價值觀的實現．

代數；教育價值；語言；思維；應用

1 問題提出

理想的教學要求教師不僅要知道“教什么”“如何教”，還要知道“為何教”[1]，教師只有深刻理解數學的價值，才能知道“為何教”．關于數學的價值，《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）指出：“數學是自然科學的重要基礎，在形成人的理性思維、科學精神和智力發展中發揮著不可替代的作用，它還是表達與交流的語言，其應用滲透在人們日常生活的各個方面．”《標準》還在課程目標中提出“讓學生認識數學的科學價值、應用價值、文化價值、審美價值”的要求[2]．調查研究表明[3-4]，學生在初等教育時期，受以功利性和實用性為主的升學考試的影響，隨著年段的升高，其數學觀各維度的水平逐步下降，高中最低．鑒于此，一些學者大力提倡在數學教學中凸顯數學的價值，改變學生消極的數學觀[5-7]．

代數是數學的一個分支，在中小學數學教育中占有重要地位．要在代數教學中體現數學的價值，首先需要深入探討代數學所特有的價值．雖然有許多學者在這方面[8-10]做過研究，但很少見到基于歷史視角的文獻研究．事實上，對于代數學價值的探討可以上溯至17世紀，法國數學家笛卡兒稱“一切問題均可轉化為代數問題，一切代數問題均可轉化為方程問題”．19世紀以來，部分西方代數教科書中或多或少都對代數學教育價值作過探討，對這些代數教科書的價值觀進行考查，一方面能幫助今天的教師更深刻、全面地理解代數的教育價值，另一方面也能夠為今日代數教學和教科書編寫帶來一定的啟示．對1800—1959年間出版的美英早期代數教科書進行考查，試圖回答以下問題：早期代數教科書提出了代數學的哪些教育價值？這些價值在教科書中是如何體現的？對今日中學代數教學和教科書編寫有何啟示？

2 研究方法

2.1 對象選取

研究者詳細閱讀Hathi Trust數字圖書館中兩百余種出版于1800—1959年間的美國和英國代數教科書的前言和正文引言部分，從中篩選出論及代數學價值的教科書作為研究對象．關于代數價值的表述有以下4類：（1）直接描述代數學的價值；（2）描述數學的價值，因其出現在代數教科書的前言部分，將其歸為代數的價值；（3）描述該教科書或教科書的某一部分（如例題）所要達成的教育價值，因其出現在代數教科書的前言部分，將其歸為代數學的價值；（4）描述代數學中某一個知識點的價值．

對于同一作者再版的教科書，若書名不一致或書名雖同但內容不一致，則視為不同的教科書，否則視為同一種．最終確定155種，其中112種在前言中論及代數學的價值，25種在正文引言部分論及代數學的價值，18種在前言和正文引言部分同時論及代數學的價值．若以20年為一段，則155種代數教科書的分布情況如圖1所示．

圖1 155種教科書的時間分布

2.2 分類框架的建立

早在1920年，Kelley在哥倫比亞大學《教師學院院刊》發表了一項關于中學代數價值的調查研究[11]．為了回答“中學代數的價值是什么”這個問題，作者對數學家以及從事各行各業的人們進行了一項調查．研究者對Kelley的調查結果進行分析和歸類，據此形成初步的代數價值分類框架．運用該框架對早期代數教科書的代數價值觀進行統計時，根據統計情況，反過來又對分類框架進行適當修正，最終形成正式的代數價值分類框架，見表1．

表1 代數學價值的分類框架

2.3 分類統計

確定統計框架后，由兩位研究者運用文本分析法對155種教科書的前言及正文引言部分進行研究，提煉出其中關于代數價值觀的統計單位，根據分類框架對統計單位進行分類．對于分類有爭議的地方，兩位研究者進行再討論，直至全部一致．

統計結果顯示，共有81種教科書論及一類價值，47種教科書論及兩類價值，19種教科書論及三類價值，4種教科書論及四類價值，兩種教科書論及五類價值，兩種教科書論及六類價值．七類價值共出現270次，具體分布情況見圖2．

圖2 代數教育價值觀的分布

3 代數價值觀具體分類

3.1 學科基礎

共有61種教科書（占39.4%）提及代數作為學科基礎的價值，這也是代數價值觀中占比最多的一類．數學上，除了算術和初等幾何以外，沒有什么學科離得開代數學．三角學、解析幾何、微積分，沒有代數學可謂寸步難行．作為跨學科基礎，代數知識是學習物理、化學、工程、商業等其它學科所需的必備知識．表2給出了代表性的具體觀點．

3.2 思維訓練

共有59種教科書（占38.1%）提到代數的思維訓練價值．通過學習代數，學生能夠提高智力，增強邏輯推理能力，發展抽象概括能力，并且能夠縝密地思考問題等．總之，這里的思維訓練是指跟腦力活動相聯系的教育價值．表3給出了代表性的具體觀點．

3.3 品質培養

共有13種教科書（占8.4%）提到代數在培養學生品質方面的價值．這里的品質指的是學生的行為和作風顯示出來的品性、認識等．無論是鍛煉堅韌的意志、培養良好的習慣，還是培育探索精神、增加卓識遠見，學習代數都帶來了很大的幫助．表4給出了代表性的具體觀點．

表2 關于學科基礎的代表性觀點

表3 關于思維訓練的代表性觀點

表4 關于品質培養的代表性觀點

3.4 實際應用

共有43種教科書（占27.7%）提到了代數的實用價值．代數滲透于日常生活的許多方面，是從事多種行業的人員必需掌握的一門學科．表5給出了代表性的具體觀點．

3.5 數學交流

共有30種教科書（占19.4%）給出了代數在數學交流上的價值．代數語言是人們精確表達思想的強有力的工具，同時，代數也能鍛煉學生的表達能力．表6給出了代表性的具體觀點．

表5 關于實際應用的代表性觀點

表6 關于數學交流的代表性觀點

表7 關于情感信念的代表性觀點

3.6 情感信念

共有13種教科書（占8.4%）認為，學習代數有助于促進學生對該學科的情感和信念的一種變化．這里的情感信念指的是學生對于數學學科或數學學習的一種態度的感受和認識．表7給出了代表性的具體觀點．

3.7 學科優勢

共有51種教科書（占32.9%）指出，與算術相比，代數有其獨特的優勢．代數是算術的一種延續，它能解決用算術和幾何方法難以解決或不可能解決的問題．表8給出了代表性的具體觀點．

表8 關于學科優勢的代表性觀點

4 代數價值觀的分布

由于每個年段的書本數量有差別，因而對上述7類代數價值觀在其年段所占比率進行統計，并繪制圖表．圖3給出了各類價值分布的變化情況．

圖3 各類價值分布的變化情況

從圖3可見，以20年為一個時間段，則160年分成了8個時間段．其中品質培養和情感信念出現在其中的6個時間段，其余5種價值出現在所有時間段．由此，19世紀到20世紀上半葉，代數教科書的編寫者對代數的7種教育價值都有所關注．總的來說，早期代數教科書呈現出了代數教育價值的多樣性．就單個價值而言，學科基礎和思維訓練兩種價值占比最高．而變化比較明顯的是思維訓練和實際應用，19世紀末，思維訓練占比較高，進入20世紀之后，實際應用占比迅速上升，這與20世紀初西方的數學教育改革運動息息相關．

5 代數價值觀在教科書中的體現

在對早期代數教與學的研究中發現，Hotz從加法和減法、乘法和除法、方程和公式、問題、圖象5個方面制定了代數測試量表[38]；Durell從口頭和書面問題、圖象、公式、新穎的例子等方面給出了代數教學的建議[39]；而Thorndike從公式、方程、問題、圖象4個方面闡述了學習代數需要具備的能力[40]．因此，早期教科書編寫者比較注重學生對于代數運算、公式、方程、圖象和問題5個方面的學習．研究者將從這5個方面來分析代數價值觀在教科書中的體現．

5.1 代數運算

相比于算術，代數運算代表了更一般化的數字運算，因而早期代數教科書通過代數運算來培養學生的抽象和概括能力．如Lyman等在講解多項式乘以多項式時類比兩位數豎式乘法的方式[41]，如圖4，要把32乘以24，可以先把30+2乘以4，然后再乘以20，最后把部分乘積相加．要把2+3乘以3+，先把2+3乘以3，然后再乘以，最后把部分乘積相加．該過程讓學生體會從特殊的例子當中抽象出一般的代數乘法的運算過程，從而達到鍛煉學生思維的目的．

圖4 Lyman多項式乘法運算

此外，Gillet認為反復練習代數運算有助于加強記憶、加快理解，培養精確的習慣[42]．可見，早期代數教科書通過代數運算來訓練學生的思維、培養學生良好的品質．

5.2 公式

早期代數教科書給出許多物理、工程、商業等學科中的公式以及運算．Wentworth等寫道：“今天任何一種商業活動中，公式都是非常有用的．沒有公式的知識、價值和幫助，一個人不可能成為商業領域的真正主人．”[43]可見公式對于商業領域的重要性．Schorling等也在其教材中突出強調公式的結構、意義和使用，認為公式作為簡潔的語言、計算的簡寫規則、問題的通解、表示一個量對另一個量的依賴關系的方法[44]．

總之，早期代數教科書利用公式來彰顯代數的實際應用價值和數學的交流價值．

5.3 方程

方程刻畫了現實世界中某些事件所遵循或近似遵循的規則或定律，是初等代數的中心問題．Myers等認為，使用方程的能力是精確思考者的主要裝備，代數實質上是方程的科學與藝術[14]．Kent指出，代數的主要目的之一是解決用算術方法難以解決或不可能解決的問題，而方程是獲得這些解的手段，事實上方程是這門課的中心思想[46]．Young等通過突出方程在教科書中的地位來體現代數的應用價值[24]．一些教科書專門用整章的篇幅來呈現方程的應用，如Taylor分別用一章的篇幅介紹一元一次方程（含6道例題、57道習題）和一元二次方程（含6道例題、53道習題）的應用[47]．

因此，方程是早期代數教科書訓練學生思維能力、凸顯代數學科優勢以及實際應用價值的重要工具之一．

5.4 圖象

通過圖象能夠直觀地表示出兩個變量之間的關系．早期教科書運用函數圖象或方程曲線，一方面讓學生通過觀察圖象了解事物的變化規律，從而推斷出其中隱含的信息；另一方面讓學生動手操作，繪制圖象并能根據圖象回答問題．

Schorling認為，數學關系的圖象表示利用了更廣泛的感官體驗．在其它條件相同的情況下，附帶圖象的問題容易被更多的學生理解和欣賞[44]．Schultze等認為圖解法不僅有很大的實用價值，而且毫無疑問地提供了一種非常好的方法，以防止“學校代數退化為一種機械地應用記憶規則的傾向”[48]．Slaught等列專章介紹圖象表示法[49-50]，其中主要涉及函數或方程的圖象或圖形．Cajori等用圖象來表示午后12小時之內的溫度變化情況以及1860—1914年之間美國無煙煤價格的變化情況[51]．Hawkes等在其圖象表示法一章中稱：“商業世界的科學數據和數字統計經常以圖象的形式清晰而簡潔地表示出來．”[52]

易知，圖象的運用可用來訓練學生的思維能力，激發學生的學習興趣，并解釋代數在現實世界的廣泛應用．

5.5 問題

這里的問題主要指的是文字題，大部分問題通常具有一定的學科背景或實際背景．Lawrence提到：“在代數教學方面的經驗證明，只有把這些原理應用到實際問題的解決中，才能使學生熟悉這些原理．因此，教材中包含大量的實際例子和問題．在選擇這些例子時，一個突出的目標是選擇那些最有可能使學生感興趣的，同時這些例子的解決方案又將加強學生的分析能力．”[18]有大量的早期代數教科書會用專門的章節來呈現問題．例如Day等通過專門的章節來闡述了代數在幾何中的應用[18，53]，如題“給定了平面三角形的三條邊，求它的面積；一個人要高出地球表面多高才能看到地球表面的三分之一？”等．Wentworth第十章一共給出了76道練習題，涉及年齡問題、鐘表問題、行程問題、工程問題、圖形面積問題、動物比賽問題、軍事問題、經濟問題等[54]，可謂豐富多彩．

Durell等[55]認為代數的其它任何部分都不如語言問題那樣發展思想力量和培養對代數精神的欣賞．Seaver等指出教材中精心安排了問題集，其推理可以很容易地在頭腦中進行并通過口頭表達出來．這種口頭使用代數語言被認為是一種非常有效的教學方法[56]．

可見，早期代數教科書在問題選擇時關注了代數的學科基礎、思維訓練、實際應用、數學交流和情感信念等價值．

6 結論與啟示

綜上，1800—1959年間155種美英早期代數教科書呈現了7類代數教育價值觀，即學科基礎、思維訓練、品質培養、實際應用、數學交流、情感信念和學科優勢．在160年間，7類價值并沒有呈現出明顯的大起大落現象．由此可見，早期代數教科書編寫者對于代數學的價值有著比較全面和客觀的認識．早期教科書的代數價值觀對今日中學代數教學和教科書編寫具有一定的啟示．

（1）注重代數的思維訓練價值．早期教科書中思維訓練價值占了很高的比例，說明代數的學習有助于學生的思維能力發展．在實際教學和教科書編寫時，要以該價值的實現為目標，從代數運算、方程求解、問題解答等方面出發，促進學生的積極思考與實踐，讓學生的思維真正得到鍛煉．

（2）促進代數與其它學科的融合．代數作為學科基礎這一價值普遍受到了早期教科書編寫者的關注，一切需要抽象原理的學科都離不開代數知識．在實際教學中要讓學生體會到代數這門學科的優勢所在，加強與其它學科的交流，如從公式應用、問題設計等方面著手，讓學生體會到代數在其它學科發展中的重要性．

（3）重視代數學習對學生的品質以及情感信念的影響．學生一開始從算術思維進入代數思維必定會遇到一定的困難，教師要注意對學生進行適當的引導便于他們能順利渡過這個時期．鼓勵學生遇到困難不要退縮，要努力地戰勝困難．在代數運算中培養學生的專注力、耐力，在問題解答中培養學生獨立思考、積極進取、勇于探索的精神．讓學生真正體驗到學習代數的樂趣．

（4）加強學生代數表達的訓練．代數語言是一種通用語言，其在訓練學生表達的精確性和簡潔性方面起到了決定性的作用．教學中重視代數語言的學習、加強代數表達的訓練，一方面能夠有益于學生邏輯思維的培養，另一方面也便于其它相關學科的學習．

（5）堅持課堂教學與實踐相結合．代數的實用價值表明：數學源于生活，又服務于生活．很多學生因為缺乏生活實踐，因而對書本上的內容一知半解．代數教學既要挖掘生活素材，又要讓學生走出課堂，進入生活．從公式應用、圖象輔助、問題設計等方面讓學生感知代數的實用價值，消除代數無用的疑慮．這就要求教師從改變課堂教學方法入手，讓學生成為課堂的主人，通過自身的體驗感知，從而真正理解數學知識．

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Educational Values of Algebra in U.S. and English Textbooks Published between 1800 and 1959

SHAO Ai-di1, LIU Si-lu2, WANG Xiao-qin2

(1. Shanghai Yan’an Middle School, Shanghai 200050, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

155 kinds of early American and English algebra textbooks published between 1800 and 1959 were selected to examine the content of the prefaces and introductions on the values of algebra education. It was found that the values of algebra education could be divided into seven categories: foundation of discipline, thinking training, character cultivating, practical application, mathematical communication, emotions and beliefs, and advantages of discipline. Taking 20 years as a time period, the seven types of values appeared in different degrees in each time period. This paper analyzes the reflection of values of algebra education in textbooks from five aspects: algebraic operation, formulas, equations, graphs, and problems. It is suggested that today’s middle school algebra teaching and textbook compilation should pay attention to the realization of algebra values.

algebra; educational value; language; thinking; application

G633.62

A

1004–9894（2022）05–0076–06

邵愛娣，劉思璐，汪曉勤．美英早期代數教科書的代數價值觀探析[J]．數學教育學報，2022，31（5）：76-81．

2022–07–11

上海高?！傲⒌聵淙恕比宋纳鐣茖W重點研究基地之數學教育教學研究基地研究項目——數學課程與教學中落實立德樹人根本任務的研究（A8）

邵愛娣（1990—），女，江蘇鹽城人，碩士，主要從事數學史與數學教育研究．

[責任編校：陳雋、陳漢君]