巧用特殊函數(shù)解與抽象函數(shù)相關(guān)的問題
——2022年新高考卷一類選擇題解法

張 軍

(遼寧省大連市第二十四中學(xué))

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的重點與難點,也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的重要載體.抽象函數(shù)因為沒有函數(shù)解析式,可以多方面考查函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等內(nèi)容,所以與抽象函數(shù)相關(guān)的問題是現(xiàn)今各類考試的考查熱點,又因其對學(xué)生的能力要求比較高,也是學(xué)生解答的難點.本文力求從函數(shù)的運算性質(zhì)出發(fā),構(gòu)造符合函數(shù)性質(zhì)的模型,化抽象函數(shù)為特殊函數(shù),從而快速準(zhǔn)確地解決問題.

所謂抽象函數(shù),是指沒有給出函數(shù)解析式,但給出了函數(shù)所具備的部分性質(zhì)或者運算法則的函數(shù).與抽象函數(shù)相關(guān)的問題具有題設(shè)抽象、構(gòu)思新穎、綜合程度高等特點,是很多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)時的一大難點.大多數(shù)學(xué)生在解題時往往無從下手,但是如果我們能夠根據(jù)題設(shè)所給的抽象函數(shù)性質(zhì),通過聯(lián)想與類比的方式,找到函數(shù)模型,就能夠化抽象為具體,順利地解決問題.下面結(jié)合2022年新高考Ⅰ卷和新高考Ⅱ卷的兩道選擇題來進(jìn)行解答,并對一些常見函數(shù)模型進(jìn)行概括.

1 真題呈現(xiàn)

2 常規(guī)解法

2.1 例1解法1

因為f(x＋y)＋f(x-y)＝f(x)f(y),令x＝1,y＝0,可得2f(1)＝f(1)f(0),結(jié)合f(1)＝1,則f(0)＝2.令x＝0,可得f(y)＋f(-y)＝2f(y),即f(y)＝f(-y),所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù).令y＝1,可得f(x＋1)＋f(x-1)＝f(x)f(1)＝f(x),則有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1),從而可知

將x替換成x-3得f(x-1)＝-f(x-4),故

即f(x)＝f(x＋6),所以函數(shù)f(x)的一個周期為6.因為

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4,所以

2.2 例2解法1

若函數(shù)f(x)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)f(x)＋C(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定f(x)的函數(shù)值,故A 錯誤.

綜上,選BC.

3 構(gòu)造特殊函數(shù)求解

3.1 例1解法2

由f(x＋y)＋f(x-y)＝f(x)f(y),可令f(x)＝Acosωx(A·ω≠0),則由

故選A.

3.2 例2解法2

引理 若f(a＋x)＝f(a-x),f(b＋x)＝-f(b-x),(a≠b),則4(a-b)是函數(shù)f(x)的一個周期.

證明 因為

又因為

所以f[x＋4(a-b)]＝f(x),故4(a-b)是函數(shù)f(x)的一個周期.

4 常見函數(shù)運算法則可構(gòu)造特殊函數(shù)模型

1)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋b,則可構(gòu)造f(x)＝kx-b.特別地,當(dāng)f(x)＋f(y)＝f(x＋y)時,可構(gòu)造f(x)＝kx.

2)若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2axy-c,則可構(gòu)造f(x)＝ax2＋bx＋c.

3)若f(x＋y)＝f(x)f(y),則可構(gòu)造f(x)＝ax(a＞0且a≠1).

4)若f(xy)＝f(x)＋f(y)(xy≠0),則可構(gòu)造f(x)＝loga|x|(a＞0且a≠1).

5)若f(x＋y)＋f(x-y)＝2f(x)f(y),則可構(gòu)造f(x)＝cosωx.

可以看出,如果能夠根據(jù)抽象函數(shù)的運算性質(zhì)找到函數(shù)模型,把抽象函數(shù)問題具體化,就能夠很容易地破解此類問題.

鏈接練習(xí)

1.已知函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x,y,均有f(x＋y)＝f(x)＋f(y),且當(dāng)x＞0時,f(x)＞0,f(1)＝2,則函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最小值為_________.

2.已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)-2,且當(dāng)x＞0 時,f(x)＞2,若f(3)＝5,則f(a2-2a-2)＜3的解集為_________.

鏈接練習(xí)參考答案

1.由題意,可取f(x)＝2x,則x＝-2時,f(x)有最小值為-4.

2.由題意,可取f(x)＝x＋2,則由f(a2-2a-2)＜3可推出a2-2a-3＜0,解得-1＜a＜3,所以不等式的解集為(-1,3).