三求平面向量的模長

姜鳳玉

(濟南市章丘區第五中學)

在平面向量的有關計算題中,求向量的模長或模長的最值是一類比較常見的題型.向量既具有代數的運算特征,又有圖形的幾何特征,因此,向量模長問題的解決同樣有兩種思路:從代數法角度考慮和從幾何圖形考慮.那么,具體說來有哪幾種主要方法呢?

1 利用向量的數量積求模長

利用向量的數量積求模長是通過a2＝|a|·|a|·cos0°＝|a|2,把向量的模長問題化歸為向量的數量積問題,這個公式能使向量的模與已知向量(已知模長、夾角的基底向量)產生聯系.需要注意的是求出向量的數量積后不要忘記開方.

圖1

通過本題可以看出無論是求模長還是求模長的最值,關鍵是將所求向量用已知向量線性表出,然后將其兩邊平方轉化為向量的數量積問題,這種運算體現了向量的代數特征,同時也體現了數學解題中常用的轉化思想.

2 利用向量的坐標運算求模長

分析 本題條件中涉及垂直關系和模長,故可考慮建立平面直角坐標系,通過向量的坐標運算來求解.

圖2

本題題干簡練,但具有一定的難度.倘若不從坐標法去考慮,感覺無從下手.坐標法可以使向量的模的運算代數化,最終把原問題轉化為解析幾何的取值范圍問題.

3 利用向量的幾何意義求模長

如果說上文提到的兩種方法的著眼點放在向量代數特征上,那么本方法則著眼于向量的幾何特征,將條件中的向量運算轉化為特殊的幾何圖形,找到所求向量與幾何圖形的關系,然后再運用幾何知識來處理向量的模長.

圖3

若條件中出現兩向量之和或向量之差的形式,可考慮運用向量加、減法的幾何意義來處理有關模長.若向量的夾角是特殊角并且直接用向量的數量積計算模長很困難時,可考慮尋找幾何圖形來求解.

以上求向量模長的三種方法都離不開轉化思想,即利用基底轉化,借助坐標運算轉化,或利用幾何圖形轉化,再次印證了平面向量是“數與形”的完美統一.