尋找聯系,探求思路

鮑留兄

(甘肅省廣河縣廣河中學)

新人教A 版數學教材《必修第一冊》第五章第5節,在第225頁給出了如下一段話:

因為不同的三角函數式不僅會有結構形式方面的差異,而且還會存在所包含的角,以及這些角的三角函數種類方面的差異,所以進行三角恒等變換時,常常要先尋找式子所包含的各個角之間的聯系,并以此為依據選擇適當的公式.這是三角恒等變換的一個重要特點.

這段話側重告訴我們:在分析、解決有關三角恒等變換問題時,往往需要先尋找式子所包含的各個角之間的聯系,并以此為依據選擇適當的公式.基于此,本文依據這種解題思想結合實例展開分析.

1 尋找聯系,推導公式

例1 (教材第217頁)思考題:由公式C(α-β)出發,你能推導出兩角和與差的三角函數的其他公式嗎?

例2 (教材第217頁)探究題:上面得到了兩角和與差的余弦公式.我們知道,用誘導公式五(或六)可以實現正弦、余弦的互化.你能根據C(α＋β),C(α-β)及誘導公式五(或六),推導出用任意角α,β的正弦、余弦表示sin(α＋β),sin(α-β)的公式嗎?

例3 (教材第218頁)探究題:你能根據正切函數與正弦 函 數、余 弦 函 數 的 關 系,從C(α±β),S(α±β)出發,推導出用任意角α,β的正切表示tan(α＋β),tan(α-β)的公式嗎?

上述推導過程充分體現了正切函數與正弦、余弦函數之間的緊密聯系,即“商數關系”的靈活運用,不僅需要我們關注“切變弦”與“弦變切”技巧的應用,還需要我們關注“同除”技巧的應用.

該推導過程的關鍵是將角2α寫成α＋α的形式,這樣可以為靈活運用和角公式創造有利條件,其本質就是通過尋找與和角公式的緊密聯系,順利解題.

2 尋找聯系,巧解問題

例5 (教材第225頁)求證:

例6 (教材第229頁第5題)已知tan(α＋β)＝3,tan(α-β)＝5,求tan2α,tan2β的值.

總之,結合以上舉例剖析可知,在處理有關三角恒等變換問題時,有意識地去考慮式子所涉及的各個角之間的緊密聯系(主要是加減聯系、二倍聯系),有利于幫助我們靈活選用和(差)角公式或二倍角公式解決目標問題,突出體現了“聯系觀點”在解題中發揮的巨大作用.另一方面,如果不考慮角與角之間的緊密聯系,那么有關三角恒等變換問題的處理將會變得比較困難或者無法解決.因此,在今后的練習中強化“聯系觀點”的靈活運用,有利于幫助學生不斷提高分析、解決問題的能力,進而提升學生的數學核心素養.