解三角形中的角平分線、中線、高線問題

嚴國華

(湖南省長沙縣實驗中學)

近年來,解三角形問題在高考題和模擬題中難度有所提升,對學生數(shù)學運算能力和平面幾何知識的掌握程度要求更高了.其中有一類涉及中線、高線和角平分線的解三角形問題經(jīng)常出現(xiàn),這類問題是解三角形內(nèi)容的延伸,是高考考查的熱點.它既可以有效地考查解三角形的相關(guān)知識,又能考查三角形中這些特殊線段的性質(zhì),對學生的數(shù)學運算、邏輯推理、綜合解題能力都有較高的要求.下面舉例說明這類問題常見題型及解題思路,以供讀者參考.

1 與中線有關(guān)的問題

圖1

2 與內(nèi)角平分線有關(guān)的問題

例2 在△ABC中,已知AB＝2,AC＝1,D為BC邊上的點.若AD平分∠BAC,求線段AD長的取值范圍.

與角平分線有關(guān)的問題可以從以下兩個方面進行思考.1)方程思想的應用:利用等面積法構(gòu)造出關(guān)于內(nèi)角平分線長的方程進行求解;2)轉(zhuǎn)化思想的應用:利用內(nèi)角平分線定理把解三角形問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)和向量問題進行求解.

3 與高線有關(guān)的問題

A.當h＞3時,n＝0

B.當h＝3時,n＝1

C.當0＜h≤1時,n＝0

D.當1＜h＜3時,n＝2

圖2

與高線有關(guān)的問題可以從以下幾個方面進行思考.1)根據(jù)等面積法把高的比例轉(zhuǎn)化成對應邊的比例,再利用余弦定理進行求解;2)利用平面幾何知識,通過解直角三角形求解;3)從三角形的高線很容易聯(lián)想到任意三角形射影定理:在△ABC中,a＝bcosC＋ccosB,b＝ccosA＋acosC,c＝bcosA＋acosB.

4 與中線、角平分線和高線有關(guān)的面積問題

例6 如圖3 所示,在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b＝3,c＝6,sin2C＝sinB,且AD為BC邊上的中線,AE為∠BAC的角平分線.

圖3

(1)求cosC及線段BC的長;

(2)求△ADE的面積.

求三角形面積的最值是一種常見的題型,主要方法有兩類,一是找到邊之間的關(guān)系,利用基本不等式求最值.二是轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù),判斷角度的取值范圍,利用函數(shù)思想求最值.

與三角形中線、高線和角平分線有關(guān)的解三角形問題,其本質(zhì)上是求解組合三角形的問題,解決這類問題,除了需要掌握與中線、高線和角平分線相關(guān)的知識外,還需要考慮怎樣將題目中的元素集中起來,充分利用三角變換公式、平面幾何、平面向量、函數(shù)和不等式等知識,有效進行轉(zhuǎn)化和化歸.