三角恒等變換常用技巧

趙桂強

(山東省高密市第一中學)

三角恒等變換是近年高考中的高頻考點,因此深刻理解、準確掌握有關解題技巧就顯得非常重要.基于此,本文通過歸類剖析的方式對三角恒等變換常用技巧加以具體說明,以便幫助讀者拓寬解題思路,進一步提高分析、解決此類問題的實際能力.

1 利用“弦切互化”

處理三角函數中有關正弦、余弦以及正切函數之間的綜合問題時,常常需要“弦切”互化.

2 利用和(差)角正切公式的“變形式”

3 利用“換元”轉化

處理有關三角函數求值問題時,有時需將表示“角”的代數式看作一個整體,借助“換元”進一步分析、解決問題.

本題采用“換元”轉化的思想,使整個解題過程流暢、自然,且不需要在如何運用三角公式上大做文章.

4 利用“平方”變形

從解題目標看,利用恒等變形化簡可知本題關鍵是求sinα＋cosα的值,注意到(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα,(sinα-cosα)2＝1-2sinαcosα,由此即可找到解題思路.

5 利用“加減”變形

處理三角函數中有關求值問題時,有意識地考慮題設條件及目標問題中“角”與“角”之間的“加減”聯系,往往可為靈活運用和(差)角公式創造有利條件.常見變形有2α＝(α＋β)＋(α-β),2α＋β＝(α＋β)＋α,β＝α-(α-β)等.

本題將2x變形為(x＋y)＋(x-y),將2y變形為(x＋y)-(x-y),不但為活用和(差)角公式創造了條件,而且將已知條件與求解目標緊密聯系起來,真可謂“一箭雙雕”.

6 利用“輔助角公式”

三角輔助角公式:當ab≠0時,有

總之,處理三角恒等變換問題應過好三關:一是理論關,即必須熟練掌握相關的三角恒等變換公式;二是運用關,即能夠在觀察題型結構、特點的基礎上,靈活選用相關的解題技巧;三是運算關,即進行代數運算時,必須細心、認真,力求準確化簡、求值.