基于“導(dǎo)問(wèn)”的高中數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題評(píng)價(jià)策略
——以“數(shù)列”為例

殷偉康

數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題是指涉及數(shù)學(xué)知識(shí)、方法和能力的綜合性問(wèn)題，具有知識(shí)容量大、解題方法多、能力要求高等特點(diǎn)，凸顯對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，并要求學(xué)生具有一定創(chuàng)新能力。實(shí)施導(dǎo)問(wèn)式數(shù)學(xué)課堂教學(xué)實(shí)踐，就是以“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決”為主線，激發(fā)學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生積極參與課堂探究，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的分析、引導(dǎo)、比較和評(píng)價(jià)，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師不僅要注重終結(jié)性評(píng)價(jià)，更要重視過(guò)程性評(píng)價(jià)，采用表現(xiàn)性評(píng)價(jià)、發(fā)展性評(píng)價(jià)等評(píng)價(jià)方式，實(shí)施多元化的評(píng)價(jià)策略，實(shí)現(xiàn)以評(píng)價(jià)促學(xué)生發(fā)展。本文以人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)第四章“數(shù)列”為例，闡述基于“導(dǎo)問(wèn)”的高中數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題評(píng)價(jià)策略，發(fā)揮評(píng)價(jià)的育人功能。

一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，導(dǎo)入環(huán)節(jié)凸顯情境激勵(lì)功能

導(dǎo)入環(huán)節(jié)的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)緊扣本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)，創(chuàng)設(shè)有利于激發(fā)探究欲望、富有數(shù)學(xué)思考價(jià)值的問(wèn)題情境，讓學(xué)生明晰學(xué)習(xí)任務(wù)，產(chǎn)生濃厚的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。以下是筆者設(shè)計(jì)的“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）”的課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)。

【問(wèn)題情境】古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上畫點(diǎn)或用小石子表示數(shù)。他們研究過(guò)三角形數(shù)：1，3，6，10，15，……

【問(wèn)題1】如下頁(yè)圖1，若這個(gè)圖案有100層，你知道一共用了多少粒石子嗎？生：1+2+3+…+100=（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（50+51）=101×50=5050。

師：高斯采用的是什么方法求和的？為什么要這么做？

生1：首尾配對(duì)，將原來(lái)求100個(gè)不同數(shù)的和轉(zhuǎn)化為求50個(gè)相同數(shù)的和。

（圖1）

師：高斯算法的實(shí)質(zhì)就是通過(guò)配對(duì)湊成相同的數(shù)，變多步求和為一步相乘，即“將不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”。

【問(wèn)題2】第1層到第101層一共用了多少粒石子？

學(xué)生合作學(xué)習(xí)、討論，形成以下思路：（1）直接首尾配對(duì)，原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51；（2）先湊偶再配對(duì)，原式=（1+2+3+…+101+102）-102；（3）原式=0+1+2+3+…+101；（4）原式=（1+2+3+…+100）+101。

【問(wèn)題3】第1層到第n層一共用了多少粒石子？

師：很好，同學(xué)們運(yùn)用了分類討論思想進(jìn)行求解，將n分為偶數(shù)和奇數(shù)兩類情況進(jìn)行處理。這種方法體現(xiàn)了分類整合和轉(zhuǎn)化與化歸的思想。下面，請(qǐng)同學(xué)們思考是否一定要分類討論呢？怎樣避開(kāi)分類討論，又能達(dá)到“配對(duì)”，從而將“不同數(shù)的求和”化歸為“相同數(shù)的求和”呢？

本環(huán)節(jié)設(shè)置畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究的問(wèn)題情境，自然地提出了本節(jié)課的核心問(wèn)題，讓學(xué)生抽象出求和的本質(zhì)是“構(gòu)建相同和”。在教學(xué)過(guò)程中，教師用贊許的語(yǔ)言給予鼓勵(lì)，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的熱情。通過(guò)創(chuàng)設(shè)階梯式問(wèn)題，造成認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)探究的意識(shí)，適當(dāng)評(píng)價(jià)，激活了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，促進(jìn)學(xué)生自主探究和深度學(xué)習(xí)，促使學(xué)生進(jìn)一步把握數(shù)學(xué)本質(zhì)和建構(gòu)新知識(shí)。

二、誘發(fā)思考探究，解決問(wèn)題環(huán)節(jié)凸顯思維引導(dǎo)功能

解決問(wèn)題環(huán)節(jié)的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)凸顯思維引導(dǎo)功能，采用多元的評(píng)價(jià)方式，構(gòu)建交流互動(dòng)平臺(tái)。教師要診斷、評(píng)價(jià)學(xué)生的探究結(jié)果，使學(xué)生能夠及時(shí)了解自己的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀和方向，引導(dǎo)學(xué)生達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)；更要引導(dǎo)、評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程和表現(xiàn)，使學(xué)生關(guān)注活動(dòng)結(jié)果背后的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)不斷地提問(wèn)和追問(wèn)，促使學(xué)生帶著問(wèn)題去探究。以下是筆者設(shè)計(jì)的“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（一）”課堂教學(xué)中的解決問(wèn)題環(huán)節(jié)。

【問(wèn)題4】梯形面積公式是如何推導(dǎo)的？為什么要“倒置”形成一個(gè)全等的梯形？梯形面積公式的推導(dǎo)過(guò)程體現(xiàn)了怎樣的研究策略？能否借助這樣的策略研究“石子堆”問(wèn)題？

（圖2）

師：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派就是利用拼平行四邊形的方法求從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)之和。同學(xué)們能否用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表示求解過(guò)程呢？

師：這種推導(dǎo)方法叫作倒序相加法。通過(guò)倒序相加，我們知道所求的和可以用首項(xiàng)、末項(xiàng)和項(xiàng)數(shù)來(lái)表示；數(shù)列中任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和。

生4：只要在原式上再加一個(gè)1+2+…+n，得到求2n個(gè)數(shù)的和的問(wèn)題。重構(gòu)分組，分成n組k+（n-k+1），其中1≤k≤n，k∈N*，即轉(zhuǎn)化為n個(gè)n+1的和。

師：很好！高斯算法的目的是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為偶數(shù)個(gè)數(shù)的和，其本質(zhì)是對(duì)算式分組重構(gòu)。

【問(wèn)題5】根據(jù)前面的探索，請(qǐng)同學(xué)們自主解決更一般性的問(wèn)題。在公差為d的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+…+an，如何求Sn呢？

師：很好！同學(xué)們經(jīng)歷了“觀察—?dú)w納—猜想”，不過(guò)這一結(jié)論是否正確，還需證明。該如何證明呢？

師：生6運(yùn)用倒序相加法求和，已經(jīng)學(xué)會(huì)舉一反三。生7利用通項(xiàng)公式，用a1，d，n來(lái)表示an，將Sn的算式進(jìn)行重構(gòu)分組，再運(yùn)用問(wèn)題3的結(jié)論進(jìn)行求和，已能將學(xué)到的知識(shí)靈活運(yùn)用。

在評(píng)價(jià)互動(dòng)中，教師以肯定的診斷性評(píng)價(jià)滿足了學(xué)生的成就動(dòng)機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生將高斯配對(duì)求和方法與梯形面積公式的推導(dǎo)方法相關(guān)聯(lián)，進(jìn)行類比推理，使學(xué)生學(xué)習(xí)向著本節(jié)課的結(jié)果性目標(biāo)和體驗(yàn)性目標(biāo)邁進(jìn)。同時(shí)，教師要以簡(jiǎn)練的數(shù)學(xué)語(yǔ)言做評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生從聚集項(xiàng)數(shù)的處理中抽象出倒序相加法，使學(xué)生從不同思維角度推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式。這樣的教學(xué)評(píng)價(jià)使學(xué)生經(jīng)歷“觀察—?dú)w納—猜想—證明”的過(guò)程，凸顯了思維引導(dǎo)的作用。

三、歸納提煉總結(jié)，反思提升環(huán)節(jié)凸顯生成積淀功能

反思提升就是對(duì)問(wèn)題理解及問(wèn)題解決過(guò)程中所運(yùn)用的知識(shí)與技能、思想與方法的體驗(yàn)進(jìn)行有目的的反思和提升。該環(huán)節(jié)應(yīng)凸顯評(píng)價(jià)的生成積淀功能，通過(guò)反思評(píng)價(jià)，加深學(xué)生對(duì)新知、新方法與原有知識(shí)、方法間的關(guān)聯(lián)體驗(yàn)，領(lǐng)悟新知的本質(zhì)，使其掌握新方法的要領(lǐng)，在深度體驗(yàn)中積淀數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。下面，是筆者在“求解數(shù)列的通項(xiàng)公式”教學(xué)中設(shè)計(jì)的反思提升環(huán)節(jié)。

師：本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了求解數(shù)列的通項(xiàng)公式哪些方法？

生：公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法。

師：構(gòu)造法的要領(lǐng)是什么？

生：運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列。

師：理解得很透徹，那么你能說(shuō)出運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造數(shù)列的求通項(xiàng)公式的常見(jiàn)類型嗎？

通過(guò)對(duì)構(gòu)造法的追問(wèn)，引導(dǎo)學(xué)生理解構(gòu)造法的本質(zhì)和操作流程，促使累加法、累乘法、構(gòu)造法等新方法生成于學(xué)生的親身體驗(yàn)和對(duì)體驗(yàn)的反思中。這樣的課堂評(píng)價(jià)凸顯生成積淀功能。在反思中，鼓勵(lì)學(xué)生博采眾長(zhǎng)，借鑒他人的成功經(jīng)驗(yàn)，尋求更簡(jiǎn)潔的問(wèn)題解決思路和思維通道，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的生長(zhǎng)。

四、拓展延伸問(wèn)題，運(yùn)用反饋環(huán)節(jié)凸顯體驗(yàn)強(qiáng)化功能

在課堂教學(xué)的最后，教師應(yīng)對(duì)問(wèn)題適當(dāng)拓展延伸，及時(shí)檢驗(yàn)評(píng)價(jià)，反饋改進(jìn)；學(xué)生則可以嘗試運(yùn)用，完善內(nèi)化。該環(huán)節(jié)的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)應(yīng)凸顯體驗(yàn)強(qiáng)化功能，設(shè)計(jì)拓展問(wèn)題檢測(cè)題，采用關(guān)聯(lián)性目標(biāo)的評(píng)價(jià)，加深學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。以下是筆者設(shè)計(jì)的“求解數(shù)列的通項(xiàng)公式”課堂教學(xué)中的反饋內(nèi)化環(huán)節(jié)。

師：相鄰兩項(xiàng)和的類型問(wèn)題前面學(xué)過(guò)嗎？回想一下斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式是如何求解的。

生2：可以用上面歸納的幾種常見(jiàn)類型進(jìn)行求解，由（1）可得，an+an+1=2·3n-1，即an+1=-an+2·3n-1，這樣可以構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)行求解。

師：很好，上述兩位同學(xué)的解法都是運(yùn)用待定系數(shù)法構(gòu)造出等比數(shù)列，生2運(yùn)用了轉(zhuǎn)化與化歸思想。構(gòu)造法是解決這類遞推數(shù)列問(wèn)題的通法，同學(xué)們要逐步掌握構(gòu)造等比數(shù)列的操作要領(lǐng)。再回想一下求解斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式的另一種方法是什么？

生3：運(yùn)用特征方程進(jìn)行求解。或者觀察前幾項(xiàng)式子的結(jié)構(gòu)特征，猜想通項(xiàng)，再應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。

反饋內(nèi)化環(huán)節(jié)重在變換條件或結(jié)論，歸納和提煉出更多具有相關(guān)性、相似性的新問(wèn)題。通過(guò)適當(dāng)評(píng)價(jià)，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，拓展深化學(xué)生對(duì)新知和新方法的理解的深度與廣度。根據(jù)學(xué)生的反饋活動(dòng)表現(xiàn)，教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整思維方向，通過(guò)構(gòu)造法進(jìn)行求解，從而進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)“遞推關(guān)系”與“構(gòu)造等比數(shù)列”間的關(guān)聯(lián)的認(rèn)識(shí)。這樣的課堂教學(xué)評(píng)價(jià)凸顯體驗(yàn)強(qiáng)化功能。反饋練習(xí)是建立在反思基礎(chǔ)上的新的思維生長(zhǎng)點(diǎn)，教師要突出通性、通法的輻射、遷移的作用，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)構(gòu)造法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式的體驗(yàn)。

總之，學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在潛移默化、不斷浸潤(rùn)中形成的。基于“導(dǎo)問(wèn)”的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，應(yīng)提倡問(wèn)題層次化、思維深度化，運(yùn)用合理的評(píng)價(jià)策略，發(fā)揮教師評(píng)價(jià)的引導(dǎo)功能，讓學(xué)生用心體驗(yàn)與感悟，發(fā)展高階思維能力，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。