數學文化發展史視角下數學概念教學探索
——以五上《用字母表示數》一課的教學為例

王軍

數學概念是一種數學文化，數學概念教學是數學教學的重要環節。站在數學文化發展史的高度進行數學概念教學，可以讓學生經歷數學概念的形成過程，深刻理解數學概念的本質。下面，筆者以蘇教版五上《用字母表示數》一課的教學為例，談談怎樣站在數學文化發展史的高度開展數學概念教學。

一、讓學生經歷概念還原過程與主要歷史步驟

在小學數學概念教學中，應將概念還原到它的最初狀態、本質狀態，讓學生親歷發現概念的過程，深刻感知概念的內涵和外延。

1.用符號表示特定未知數，激活已有經驗

綜觀蘇教版教材，我們不難發現，低年級的數學符號、括號、圖形等，中年級的運算律、計算公式等，都是用符號、字母表示特定未知數，這與本課的用字母表示數有著本質的不同，但也是縮略代數到符號代數的重要過程，教師可以將其作為本課的導入素材。這樣做，既符合歷史發展過程，也符合學生的認知特點，還能激發學生的已有認知經驗。

2.給足學生探究空間，經歷字母表征過程

教材例1是這樣靜態呈現的：如果用a表示三角形的個數，小棒的根數是（ ）×（ ）。有些學生直接把字母a想成某一個數，把字母當成“未知特定數”的替代物，這對用字母表示數的意義的理解是處于低水平的。教師教學時可以設計如圖1所示的探究活動，并在交流時有意識地讓學生有序呈現從數字、文字、符號到字母的過程，引導他們感受概念的形成過程。

（圖1）

3.合理選擇歷史階段，介紹數學歷史文化

本課教學中通常要介紹用字母表示數的發展史，如果只介紹法國數學家韋達的貢獻，學生感受不深，如果逐一介紹，時間不允許。筆者認為，教師可以介紹用字母表示數發展的三個關鍵階段（如下頁圖2），讓學生充分感受數學家的偉大與數學的魅力。

（圖2）

二、根據數學歷史發生的主要困難干預學生學習中的困難

用字母表示數的發生和發展過程是一個漫長的歷史發展過程，數學家們并不是一帆風順的，也會遇到彎路、困難、障礙甚至挫折。作為一個群體，學生學習時也會重蹈歷史上數學家們曾經遭遇的那些困難。教師教學時要注意設計合理的教學活動，來干預甚至降低學生的學習困難。

1.增加用字母表示未知量的表征活動

學生的學習障礙之一是不習慣用字母表示變化的數。從“記數”到“未知量”的變化其實就是從具體、確定的數到未知、不確定的數，這是用字母表示數的本質屬性。用字母表示一個固定或特定的未知數，學生是能接受的，可用字母表示許多個變化的數，這種抽象概括的符號與學生已經習慣的具體形象思維不符。因此，教師應注意為學生提供表征的機會，而不是讓他們被動地接受用a去表示。教師可以設計如下關鍵性探究活動：你能想到用哪些乘法算式來表示小棒的根數？個別學生有困難時可以追問：你能想到用一個算式來表示嗎？然后再追問：這里的a可以表示哪些數？讓學生進一步討論明確，這里的a表示的是一類數，是變化的數。

2.增加對比思辨活動

（1）理解用字母表示一般未知數。教學例1，讓學生用字母表示數后，學生對用字母表示數的意義的理解仍然處在不同的水平，有的把字母a想成某一個數，把字母當成“未知”的替代物；有的認為a可以表示任意數，具有廣泛性，把字母提升到了一般數的層次。因此，教學完用字母表示數后，教師可以讓學生用字母來代替和修改原來的數學符號，然后對比思辨：用字母和用數學符號表示，你覺得它們有什么不同？促進學生對用字母表示數的意義的認識從低水平向高水平轉變，深刻理解用字母表示變量的意義，進一步體會用字母表示數的優越性。

（2）思辨用字母表示數的二重性。學生的學習障礙之二是不習慣用過程表示結果。用字母表示數既表示結果又表示數量關系（過程），這就是數學概念的二重性，之所以難理解，不僅是因為它本身具有抽象性，還在于對它的建構要抵制已有知識經驗的強烈負遷移。教師教學時，首先可以讓學生通過模仿例1用式子表示結果，然后對例2（對教材中的例題進行了改編）進行第二次思辨：對比三道算式（如圖3），它們的共同點在哪里？通過討論，學生明白了，首先都是用式子來表示剩下的米數，剩下的米數就是一個結果，從而體會用含有字母的式子表示結果；其次，三個算式都是表示“總路程-已經走的路程=剩下的路程”這個數量關系，再次體會用字母同樣可以表示數量關系。學生的學習障礙之三，就是不習慣用含有字母的式子表示數量關系。通過對比和思辨，有助于學生體會用字母表示數量關系的實際意義，這也是對學生思維的一次拓展。

（圖3）

（3）綜合思辨用字母表示數。對用字母表示變化的未知數和數學概念的二重性進行一次思辨是不夠的，還需要綜合開展再次思辨，在教學完例1和例2之后，教師可以引導學生思考：都是用字母表示數，比較一下，它們用字母表示數時有什么相同之處？讓學生充分展開綜合性思辨，認識到這里都是用字母表示變化的數，含有字母的式子既可以表示一個結果，也可以表示數量關系，進而從具體到抽象地建立概念的表象，真正理解用字母表示數的本質。

三、從數學概念發展的歷史價值來掌握教學要點

真正實現用字母表示數的歷史性突破的，是韋達用字母表示未知的一類數，這意味著“用字母表示數”具有高度的概括性（抽象性）與簡潔性。因此，從用字母表示數的歷史價值來看，本課有兩個抓手：一是字母的含義（既表示關系又表示結果）；二是字母的概括性與簡潔性。如何讓學生感悟用字母表示數的數學價值呢？教師可以設計以下教學環節來實現。其一，教學例1讓學生用自己喜歡的方式表征后，教師有意識地呈現數字、文字、符號、字母，并追問：還有哪些同學也是用字母表示的？有這么多方法，為什么大部分同學都選擇用字母來表示呢？充分體會用字母表示數的概括性與簡潔性。其二，在教學例3后，課件呈現數學表達規律、長方形與正方形周長和面積公式的文字表達及字母表達式，并追問：這些數學公式、數學定律在表達時都有一個什么共同的特點？為什么？讓學生感知用字母來表示數量關系、運算定律以及計算公式更加簡潔、概括，進一步體會用字母表示數的價值。

總之，教師在教學數學概念時要注意研讀數學文化發展史，講清楚概念的起源和發展過程，讓學生感悟數學的美妙，真正領悟數學概念的內涵。