深度學習視角下課題教學的實踐與研究*
——以課題“相似三角形的判定定理”的教學設計為例

王燕榮 陳 莉 閆喜紅 王佳麗

(太原師范學院,030619)

一、問題的提出

相似三角形的判定定理是初中數學圖形與幾何板塊的核心知識,更是中考壓軸題的常考點.數學教學中應該強化情境設計與問題提出,讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等學習過程,在活動中逐步發展核心素養[1].在相似三角形的判定定理教學中,教師往往關注知識的傳授與結論的獲得,把學生掌握三角形的判定方法作為教學成功的唯一標準[2].這種急于求成的方式使得學生僅僅知其然,不知其所以然,學習停留在機械式或單一的淺層式,未能促進學生思維的深層參與,情感態度價值觀難以充分發展,進而影響數學核心素養的培育.

已有研究表明:深度學習是核心素養培育和發展的基本途徑.深度學習是指在教師的引導下,學生圍繞學習主題,主動參與、積極建構、體驗成功、獲得發展的有意義學習過程.其具有聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用、價值與評價五個主要特征[3].

下面我們以人教版初中數學九年級下冊“相似三角形的判定定理——兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似”為例，在深度學習視角下進行教學設計,旨在使學生經歷觀察、猜想、驗證、推理的過程,促進思維的深層參與和獲得良好的情感體驗,提升數學思維的品質,學會用數學的眼光觀察現實世界,會用數學的思維思考現實世界,會用數學的語言表達現實世界,培養學生的數學核心素養.

二、深度學習視角下相似三角形的判定定理教學設計研究

1.溫故知新——聯想與結構

問題1兩個三角形相似學過了哪些判定方法?其適用范圍?

學生根據前面所學內容,自然能夠想到定義法、預備定理——平行線、定理1——三邊對應成比例的兩個三角形相似三種方法并發現使用定義法證明較繁瑣,預備定理對圖形的結構有較高要求,三邊對應成比例在涉及角時有局限性.

問題2全等三角形是相似比為1的特殊相似三角形,類比全等三角形的判定方法,猜想判定兩個三角形相似還有哪些簡便的證明方法？

學生容易發現:由全等三角形的判定方法SAS,類比猜想:兩個三角形若兩邊對應成比例,且夾角相等,則三角形相似.

設計意圖回顧全等三角形的判定定理和已學過的相似三角形判定方法,類比猜想提出研究問題,使新學習內容與已有的適當知識建立了非人為實質性的聯系,使新學習內容自然生長出來,同時使學生感悟到類比的數學思想方法,學會數學地思考,促進高階數學思維的發生.

2.情境創設——活動與體驗

活動1剪紙活動,學生動手操作

小組合作進行活動,剪出兩個直角三角形紙片,要求與直角相鄰的兩邊對應成兩倍關系,如圖1.

教師提問:請問這兩個三角形相似嗎?

學生有如下回答:

方法1在直角三角形中,用勾股定理算出斜邊,發現斜邊也成比例,采用三邊成比例證明兩個三角形相似.

方法2將兩個三角形重疊后,發現與直角相鄰的兩邊存在兩倍關系,可聯想三角形中位線定理,再根據預備定理——平行線得出證明.

教師追問:在直角三角形中成立,在一般的三角形中仍然成立嗎?若∠C為銳角,與該角相鄰的兩邊對應成2倍關系,這兩個三角形相似嗎?

學生發現:可用方法2證明改變角度后,仍存在三角形中位線定理,根據預備定理——平行線得出證明.

教師繼續追問:在一般的兩個三角形中,若一個角相等,其相鄰兩邊對應成任意比例時,這兩個三角形相似嗎?

活動2幾何畫板演示

學生發現:無論如何改變對應邊AB與A′B′的比值以及∠A′的大小,通過度量邊的長度和角的大小,根據已學的方法如:用定義法或三組對應邊成比例均可證明兩個三角形相似?并且將兩個三角形重疊后發現第三邊仍然平行．

設計意圖利用學生已有的知識和經驗,在教師的啟發引導下,學生動手實踐探索規律,教師不失時機借助幾何畫板進行直觀演示和度量驗證,在變化中探索不變的性質,激活學生的思維．依托實踐操作的活動,學生多次驗證猜想的正確性,積累了豐富的活動經驗,為后續嚴格推理論證埋下伏筆.在整個“做活動”的過程中經歷了數學知識發生、發展的過程,感受到新內容學習的自然性和合理性,感悟特殊到一般的思維方法,培養學生的合情推理能力和幾何直觀素養.

3.定理證明——本質與變式

教師提問:通過前面的實踐活動,你打算如何證明呢?

教師結合活動體驗的過程,設計問題串:

問題1?ABC與?A′B′C′是怎樣建立聯系的?也就是說怎樣將兩個三角形轉化為一個圖形中?

學生自然想到采用平移的方式可將兩個三角形放在一起.

問題2如何平移?具體操作?輔助線如何體現?

學生根據已有的知識經驗,能夠想到:先保證一邊相等,如AB=A′D,并過D作平行線DE∥B′C′,交AC′點于E，如圖2.

問題3中介三角形?A′DE分別與?ABC和?A′B′C′有什么關系呢?

學生根據全等三角形的判定定理和判定三角形相似的預備定理容易得出: ?ABC≌?A′DE,?A′DE∽?A′B′C′.

問題4根據上述的思考過程,你能否書寫規范的證明過程?動手試試.

證明在線段A′B′上截取A′D=AB,并過D作DE∥B′C′.

∴?A′DE∽?A′B′C′.

∴AC=A′E.

在?ABC和?A′DE中，

∴?ABC≌?A′DE(SAS).

∴?ABC∽?A′B′C′.

問題5用數學的語言如何表達?

學生根據已有的經驗,用圖形、文字和符號三種語言表達獲得的結論.

學生動手嘗試,小組討論后,發現該定理的注意事項——該角必須是夾角.

設計意圖在定理教學中,不僅要讓學生掌握定理本身,還要讓學生體驗定理形成的思維過程,發展深度思維[4].通過教師設置遞進式的問題串,學生結合活動與體驗的經歷,從動手實踐獲得的感性認識升華為邏輯推理的理性思考,推動思維的縱深發展．這樣還會發展學生的數學推理素養和提升數學思維的品質,增強數學學習的主動性和積極性,感受到證明過程的合理性和自然性.

4.定理應用——遷移與鞏固

通過設計豐富而又典型的正例和反例進行定理辨析,把握定理的本質屬性.設置的題目難度由淺至深,不僅有鞏固所學知識中的基礎問題,還有突出一題多變的變式問題,體現數學思維的靈活性和獨創性,促進知識的正向遷移.

例1判斷下列圖形中的兩個圖形是否相似,如圖3.

例2如圖4,?ABC中D為AB邊上一點,AB=8,AC=4,AD=2,求證?ABC∽?ACD.

例3將圖4中小三角形進行旋轉,翻折,放大,縮小,根據本節課所學的證明方法,你能提出一個如例2的問題嗎?并請你證明.(如圖5)

設計意圖通過多樣化的例習題,不僅加深對數學知識本質的理解,更提高學生分析和解決問題的能力.尤其在放大、縮小、旋轉、折疊的運動變化中尋找對應關系,克服思維定勢,發展學生解決問題的能力的同時滲透了變中不變的辯證唯物主義觀點.

5.課堂小結——價值與評價

教師提問:梳理思路,談談本節課的收獲,并繪制知識結構網絡圖,如圖6.

思考題圖5中,若BE,CD相交于點A且∠B=∠E，你能根據所學的判定方法證明?ABC∽?AED嗎?在一般三角形中,已知兩組角對應相等的兩個三角形相似嗎?

設計意圖數學學習是不斷形成新的數學認知結構的過程,通過繪制知識結構網絡圖,將所學知識建構入已有的知識體系中,使得學生形成結構良好的數學認知結構,促進其對數學知識的理解、存儲、提取和應用.通過設置數學思考題,引發下節課學習內容的思考,使學生帶著數學問題走出教室,從“學會”逐漸轉變為“會學”,發揮其主動性和積極性,數學思維得以延伸.

三、結束語

要實現學生的深度學習,離不開教師的深度教學.數學教師在定理教學的過程中要充分考慮學生已有的知識、經驗和思維水平,創設體現深度學習特征的多樣化教學活動,使學生在動手實踐、參與體驗、合作交流、理性探尋、反思概括的探究過程中數學思維得以自然地發生和發展,進而掌握研究問題的思維方法和感悟數學思想方法,培育數學核心素養,最終落實立德樹人的培養目標.