從“數(shù)學(xué)活動(dòng)”探索中獲得數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”
——以人教版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙做60°,30°,15°的角”為例

倪方友

(云南省昆明市滇池度假區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校,650228)

“數(shù)學(xué)活動(dòng)”是為了落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累,是實(shí)施“綜合與實(shí)踐”的知識(shí)領(lǐng)域.教師通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng),引導(dǎo)學(xué)生自主全程參與的活動(dòng)過(guò)程,體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的活動(dòng)性、綜合性和探究性的要求.“平行四邊形”章節(jié)的重點(diǎn)是突出圖形性質(zhì)定理和判定定理的探索與發(fā)現(xiàn)過(guò)程,由觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變化等方式,培養(yǎng)學(xué)生的合情推理和演繹推理能力.下面筆者以人教版八年級(jí)下冊(cè)“平行四邊形”章節(jié)中數(shù)學(xué)活動(dòng)“折紙做60°,30°,15°的角”為例,談?wù)勍诰颉皵?shù)學(xué)活動(dòng)”的教育價(jià)值,發(fā)展學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).

一、數(shù)學(xué)活動(dòng)內(nèi)容與活動(dòng)設(shè)計(jì)

1.折紙做60°,30°,15°的角

如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺,又需要作60°,30°,15°等大小的角,可以采用下面的方法(如圖1):

(1)對(duì)折矩形紙片ABCD,使AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.

(2)再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BM.同時(shí),得到了線段BN.

觀察所得的∠ABM,∠MBN,∠NBC,這三個(gè)角有什么關(guān)系?你能證明嗎?

通過(guò)證明可知,這是從矩形得到30°角的好方法,簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確,由此,15°,60°,120°,150°等角就容易得到了.

2.數(shù)學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)

(1)活動(dòng)準(zhǔn)備:讓學(xué)生準(zhǔn)備好一張矩形紙片,三角板,量角器,筆;

(2)活動(dòng)過(guò)程:學(xué)生分小組按活動(dòng)步驟動(dòng)手實(shí)踐折紙,學(xué)生自主探究并度量出折出的角度的大小,并證明折出的角度的度數(shù),小組內(nèi)合作交流自己的想法;

(3)分小組在全班進(jìn)行展示活動(dòng)的結(jié)果.

二、活動(dòng)后的數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”

折紙活動(dòng)完成后,教師對(duì)活動(dòng)進(jìn)行延伸和追問(wèn),通過(guò)問(wèn)題引領(lǐng)激發(fā)學(xué)生更深入的思考,引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)前后知識(shí)之間的聯(lián)系,形成數(shù)學(xué)的整體觀念,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的探究能力.由已知條件執(zhí)因索果而來(lái)的結(jié)論,通過(guò)關(guān)聯(lián)式的追問(wèn),遞進(jìn)式的延伸和發(fā)散式的拓展,對(duì)活動(dòng)進(jìn)行深入地探究和挖掘,以得到進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn),找到題目的固有結(jié)論和點(diǎn)線之間的位置關(guān)系和大小關(guān)系,提升學(xué)生提出問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力(2020年昆明市中考數(shù)學(xué)壓軸題第23題就是基于折紙活動(dòng)的數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”的思想而命制).

1.基本模型再現(xiàn)

模型1如圖2,點(diǎn)E,F分別為矩形ABCD的邊AB,CD的中點(diǎn);你能得到什么結(jié)論?并證明.

模型2如圖3,點(diǎn)P是邊AD上的一點(diǎn),將ABP沿BP對(duì)折,點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部一點(diǎn)M處.你能得到什么結(jié)論?并說(shuō)明理由.

結(jié)論猜想:對(duì)給出的基本圖形及題目中的已知條件,猜想出可能得到的結(jié)論,并證明猜想的正確性.

模型2由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得ABP≌MBP,從而可得AB=MB,PA=PM,∠M=∠A=90°.(理由略)

2.關(guān)聯(lián)式追問(wèn)

在原有兩模型的圖形和條件的基礎(chǔ)上，對(duì)部分圖形的關(guān)系進(jìn)行追問(wèn)或疊加后，再探圖形的關(guān)系.

追問(wèn)1在模型2中,如果點(diǎn)P在邊AD上運(yùn)動(dòng),你能猜想點(diǎn)M的軌跡是什么嗎?

追問(wèn)2模型1和模型2疊加:如果點(diǎn)M恰好落在線段EF上,你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)?

分析因?yàn)辄c(diǎn)M到點(diǎn)B的距離不變,即到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)在圓上,所以點(diǎn)M在以A為圓心,AB為半徑的一段弧上(如圖4).

如果點(diǎn)M恰好落在線段EF上(如圖5),就是我們?cè)谡奂埢顒?dòng)中得到的圖形,可以得到以下結(jié)論:(1)?ABM是等邊三角形,從這個(gè)結(jié)論我們還可以得到折疊等邊三角形或30°角的方法;(2)OB=OM;(3)BP是線段AM的垂直平分線;(4)?POM是等邊三角形.

結(jié)論OB=OM的證明有如下方法:

方法一如圖5,連結(jié)AO.由對(duì)折可以得到BP是AM的垂直平分線,可得AO=OM,由四邊形AEFD為矩形,容易得到EF是AB的垂直平分線,從而有AO=BO,所以BO=OM.

3.遞進(jìn)式延伸

通過(guò)上面的探索,我們可以在原有圖形模型上通過(guò)增加條件或添加線段得到一個(gè)在原有的圖形基礎(chǔ)上遞進(jìn)式的圖形,再探究該圖形的性質(zhì)和結(jié)論.

延伸1如圖6,作MG∥AD交BP于點(diǎn)G,請(qǐng)判斷四邊形AGMP的形狀.

延伸2如圖6,如果AB=5,BC=8,連結(jié)DM,是否存在DM的長(zhǎng)度最小?如果有,請(qǐng)求出最小值?

4.發(fā)散式拓展

在上面的題目現(xiàn)有條件基礎(chǔ)上進(jìn)行發(fā)散式拓展,對(duì)圖形進(jìn)行延伸,對(duì)前后知識(shí)進(jìn)行綜合,提升學(xué)生的思維層次,從而培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和創(chuàng)新意識(shí).

拓展:如圖7,AB=5,BC=8,當(dāng)點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),如果?AMD為等腰三角形,請(qǐng)求出AP的長(zhǎng).

這樣拓展以后,題目的難度更大,能考查學(xué)生的探究能力、幾何直觀能力、空間想象能力、運(yùn)算能力、分類討論思想和化歸思想.通過(guò)分析,我們發(fā)現(xiàn)有五種情況:

情況2當(dāng)MA=MD,點(diǎn)P在邊AD的延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖9),過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD于E,交BC于F,同理可得MF=3,從而得ME=8,設(shè)AP=PM=x,PE=x-4，由勾股定理得(x-4)2+82=x2，解得AP=10.

情況5當(dāng)DA=DM,此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合(如圖12),得到AP=AD=8.

5.探究反思

通過(guò)對(duì)折紙活動(dòng)進(jìn)行不同角度的探索,我們獲得一些解題方法、數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和重要啟示:

啟示1通過(guò)折紙可以獲得等邊三角形的方法.(1)對(duì)折矩形紙片ABCD,使得AD與BC重合,得到折痕EF,把紙片展平.(2)再一次折疊紙片,使點(diǎn)A落在EF上,并使折痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,得到折痕BM.同時(shí),得到了BN,從而?ABM是等邊三角形.

啟示2在動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中,一個(gè)點(diǎn)的位置隨另一個(gè)點(diǎn)的位置變化而變化,該點(diǎn)的軌跡可循,比如本題點(diǎn)M的軌跡是圓弧,強(qiáng)化對(duì)圖形的基本性質(zhì)和概念的理解.

啟示3拓展題目是一個(gè)關(guān)于構(gòu)建等腰三角形分類討論的題型,基本方法是分成三種情況進(jìn)行討論.本題也可以這樣探究,如圖13,因?yàn)辄c(diǎn)M在以B為圓心,BA為半徑的圓上,要使?AMD為等腰三角形有三種情況:第一,點(diǎn)M是AD的垂直平分線與⊙B的交點(diǎn),得到M1和M2;第二,點(diǎn)M是以A為圓心,AD為半徑的圓與⊙B的交點(diǎn),得到M3和M4;第三,點(diǎn)M是以D為圓心,AD為半徑的圓與⊙B的交點(diǎn),得到M5.

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)活動(dòng)是幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),不但要讓學(xué)生經(jīng)歷相對(duì)完整的活動(dòng)過(guò)程,教師還要進(jìn)行深入挖掘,讓學(xué)生經(jīng)歷活動(dòng)后的數(shù)學(xué)“再發(fā)現(xiàn)”過(guò)程.讓學(xué)生勇于探索一些開(kāi)放性的、非常規(guī)的實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)問(wèn)題,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系,在探索數(shù)學(xué)問(wèn)題解決蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律過(guò)程中,發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題,并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.