基于拓撲優化的變參數橋梁結構優化設計

周藝，邱勇，何文云，郭金楠，阮艷平

（1云南農業大學 水利學院，云南昆明 650201；2云南省玉溪市水利電力勘測設計院，云南玉溪 653100）

0 引言

傳統工程結構的設計主要依靠工程人員的經驗和力學概念，并未形成系統的方法[1]。蔡新等[2]提及早期優化設計多采用基于直覺的準則法，缺少嚴格的理論依據，求得的待定解不一定是真實解。隨著計算機的發展，基于數學和力學方法的結構優化設計，已經由尺寸優化發展到形狀優化、拓撲優化等階段[2]。

拓撲優化能在工程結構設計初始階段為設計者提供一個新穎高效的概念性設計，使結構在布局上實現最優方案[3]。陳艾榮等[4]通過實例，介紹了應用拓撲優化技術進行橋梁結構找型的方法，并展示了結構衍化過程及優化結果；張宏等[3]基于密度懲罰法，提出了一種連續體結構拓撲優化問題的優化準則算法，在橋梁概念設計中得到了理想的優化結果。

就大學生結構設計競賽而言，夏雨等[5]對紙質結構模型進行了極限承載力的實驗及結構優化；陳慶軍等[6]提出了如何在一個限定空間內，在滿足強度及剛度的前提下，找出一個最優或者較優的空間桿系結構；王文利等[7]在結構設計初始階段經過理論分析和不斷的模型試驗，嘗試了近50個模型之后得到滿足賽題要求的結構。

總的來說，拓撲優化能夠在概念設計階段通過對結構進行整體找型，避免橋梁設計和制作階段的盲目試載，節約大量時間并控制成本。

1 賽題簡介

賽題所要求的橋梁結構設計，應能夠承受分散作用的豎向集中荷載以及橋面移動荷載，亦即在限定的空間尺寸和加載條件下實現變參數（支座頂面標高、橋下凈空頂標高和豎向加載荷載）橋梁結構預定功能。

1.1 結構模型設計要求

模型設計時，需要考慮的空間尺寸限制條件（圖1）如下：（1）平面上橋梁結構設計須規避給定的4個陰影區域；（2）為保證通航要求，橋下凈空頂部標高H取值范圍為-150～-50mm，以50mm階梯取值；（3）②軸支座頂面標高V1=-160mm；（4）③軸支座頂面標高V2取值范圍為-160～140mm，以75mm階梯取值。

圖1 加載裝置圖

模型加載過程中，B軸和B1B2交點的位移測點最大變形不得超過10mm。結構所使用的竹材力學指標見表1，模型設計或制作可供選擇的竹材幾何截面尺寸見表2。

表1 竹材力學指標

表2 竹材規格

1.2 加載方式

8個豎向加載點處的荷載取值范圍為40～130N（取10N的倍數），各加載點荷載值不能重復。

（1）一級加載，8個加載點分別懸掛各自的待定荷載。

（2）二級加載，包括兩個步驟：步驟一，保持C1、C2加載點靜載不變，左側加載點或右側加載點中任選一個加載點將該加載點的所有荷載值轉移至另一側的任一加載點上；步驟二，將第一步移入荷載點上的所有荷載值，全部轉移至該加載點的B軸對稱點，或者移至第一步移出荷載點的B軸對稱點上。

（3）三級加載，保持上一級靜載作用，施加移動荷載50N。

2 參數取值與方案設計

待定參數的加入，不僅賦予橋梁結構設計競賽更多的靈活性，還提供了方案選擇的諸多可能。

2.1 支座頂面標高取值

支座頂面標高V2變參數設計取值范圍為-160～140mm，按照75mm階梯進行 取 值，有-160mm、-85mm、-10mm、65mm、140mm等5種情況。前3種支座標高均低于橋面，與橋身和支座相連的桿件主要受壓；后2種支座高度均高于橋面，與橋身和支座相連的桿件主要受拉。為充分考慮與橋身和支座相連桿件的受壓和受拉情況，分別選取支座標高低于橋面和高于橋面的三組取值-160mm、-85mm和140mm進行對比分析。

2.2 橋下凈空頂部標高取值

橋下凈空頂部標高H取值范圍為-150～-50mm，以50mm階梯取值，有-150mm、-100mm和-50mm等3種情況。

2.3 加載取值與方案設計

考慮變參數橋梁結構受不同荷載組合的影響，橋梁結構在滿足第一級加載的情況下，需要針對荷載施加方案中第二級加載方案進行探討。經過分析，選取以下兩組工況（表3）：工況一和工況二的一級加載均為最大荷載組合，其中工況一的荷載基本對稱布置，最大荷載130N布置在自由端，承擔一定的扭矩，工況二的荷載偏心布置，最大荷載130N布置在自由端，加大偏心影響；兩種工況下二級加載的移動荷載點的選擇均考慮最不利荷載（扭矩）組合影響；在此基礎上施加移動荷載50N完成三級加載。

表3 加載點取值方案(A1～D2）（單位：N）

3 結構優化

變參數橋梁結構優化一般可分為3個層次：拓撲優化、形狀優化、尺寸優化[8]，分別對應實際設計中的三個不同階段：概念設計、基本設計和詳細設計。拓撲優化是在給定的設計空間中，尋求滿足一定約束條件的最優構件或材料分布形式，優化的三要素包括設計變量、目標函數和約束條件，根據不同的問題建立相應的數學模型，尋找求解設計變量的合適方法[9]。

通過拓撲優化可以對變參數橋梁結構進行整體找型，使得設計部分能夠不受已有橋梁結構體系的思維束縛，從而得出不拘一格的結構形式[4]；形狀優化是用來發掘工程系統構件的合理內外邊界形狀的；尺寸優化則是以結構桿件外形或者孔洞形狀為優化對象，力求得到滿足工程安全要求的最輕結構。

3.1 優化模型建立

考慮到橋面板上部空間范圍內需要滿足移動荷載要求，為了賦予結構更多的可選設計空間，模型上部結構采用左右對稱的板殼結構，下部結構采用實體結構，如圖2所示。

圖2 結構初始模型圖

3.2 結構拓撲優化

通過拓撲優化得到初始結構最不利荷載的位置為D1、D2點處（圖3），經過找型后的模型以板面結構和桿件結構為主：橋面板采用桿件結構，上部結構采用板殼，下部結構采用板殼和桿件結構相結合的形式。有限元模型的單元類型采用梁單元，網格數量為677129，殼單元和實體單元均采用剛性連接。

圖3 結構找型后模型圖

3.2.1 支座頂面標高下的拓撲優化

考慮結構保留率50%時，對不同支座頂面標高=-160mm、-85mm和140mm進行拓撲優化，得到的刪除率依次為55.95%、55.54%、52.67%（圖4）。考慮到支座頂面標高對結構重量的影響以及冗余部分刪除情況，支座頂面標高V2取值-85mm時，優化后得到的結構質量相對更小。

圖4 支座頂面標高優化后結構圖

3.2.2 橋下凈空拓撲優化

當支座頂面標高取值V2=-85mm時，橋下凈空取值只能考慮H=-50mm（H=-100mm和H=-150mm無法滿足通航要求）。由于右側支座兩側荷載原因，橋下凈空拓撲優化結果見圖5。

圖5 橋下凈空優化后結構圖

3.2.3 加載取值拓撲優化

綜合考慮對稱荷載和不對稱荷載作用情況，保留率為50%時，上部結構能夠刪除冗余部分，甚至形成桿件，但部分區域仍然存在板殼部分或者桿件截面面積還具有優化的空間。經過多次拓撲優化后，得到滿足要求的不同方案結構保留率僅為26.50%、27.90%（圖6），此時對稱荷載作用下的結構質量為2.205kg，不對稱荷載作用下的結構質量為2.286kg。相比初始結構，優化后的質量下降84.86%、83.25%。

圖6 加載取值優化后結構圖

綜合考慮，選取工況二進行結構設計能夠同時滿足工況一加載要求，故后續優化設計僅對工況二進行討論。

3.3 結構形狀優化

由于實際工程的復雜性，拓撲優化的結果與實際需求相比，還遠遠不能達到工程應用要求[3]。形狀優化通過調整結構內邊界形狀來改善結構性能，其主要用來發掘構件的合理內外邊界形狀[2]。基于結構所用材料要求，形狀優化后的結構圖均為桿件，如圖7所示。

從圖7可以看出，形狀優化后的結構桿件集中在右側支座附近，和結構加載的主要受力情況吻合。

圖7 形狀優化后結構圖

3.4 結構尺寸優化

尺寸優化以構件外形為優化對象，對構件的截面尺寸進行調整，以適應不同加載需求。考慮不對稱荷載作用，按照表2所給竹材規格對圖7的結構進行尺寸優化，得到圖8所示的結構，優化流程具體如圖9所示。

圖8 尺寸優化后結構圖

圖9 優化流程圖

結構剛度的優化結果見表4。

表4 結構剛度優化結果

表4反映了結構優化過程中剛度的變化：結構從初始狀態的實體結構到支座標高下的拓撲優化過程中，模型剛度在增大（變形減小）；但從不連續的拓撲結構到竹材桿件結構，由于結構質量繼續減少，桿件結構的剛度也出現減小（變形增大），故需要進一步驗證最終優化后的結構是否能夠滿足承載要求。

3.5 結構內力及應力應變計算

為了判斷結構強度、剛度以及穩定性是否滿足要求，需要對拓撲優化后的結構（圖8）進行內力分析和應力應變計算，結果如圖10所示。

圖10 三級荷載作用下模型內力及應力應變圖

其中：A桿為軸向拉伸Nmax=654.9N，B桿為軸向壓縮Nmax=656.8N；C桿為最大剪力Qmax=4.7N，D桿為最小剪力Qmin=4.4N；C桿為最大扭矩MTmax=181.3N，D桿為最小扭矩MTmin=262.5N；C桿為最大正彎矩Mmax=504.5N·mm，D桿為最大負彎矩Mmax=851.1N·mm；A桿為最大拉應力σmax=43.4MPa，E桿為最大壓應力σmax=29.6MPa；A2點處最大位移值εmax=-11.270mm。

根據以上計算結果，列出結構在不同工況作用下的桿件最大應力及應變值，如表5所示。

表5 結構應力應變計算結果

由表5可知，結構在不同工況情況下，強度均能滿足要求。位移最大值出現在A2加載點，其位移εmax達到了-11.618mm和-11.270mm，位移測點的變形εmax僅為-2.642mm和-2.823mm。

對于受壓桿件結構，即便強度滿足要求，但如果變形過大，也會導致其出現失穩破壞。因此還需要結合桿件截面尺寸和內力組合情況進行穩定驗算，表6給出了橋梁結構在工況二情況下主要桿件的允許承載力Pcr。

表6 主要桿件穩定性驗算結果

結合表5和表6可以得出：經過拓撲優化后，受力桿件和整體結構均能滿足強度、剛度以及穩定性要求。

4 結語

對于變參數橋梁結構，通過拓撲優化可以方便地對結構進行整體找型：（1）在滿足預定功能時左右對稱最不利荷載情況下的結構保留率為26.50%時，優化后的冗余部分刪除率為76.57%；（2）左右不對稱最不利荷載情況下的保留率為27.90%時，優化后冗余部分刪除率為69.57%。亦即刪除冗余部分過程中，不同荷載分布的作用影響不大。

基于拓撲優化結果和賽題所給材料進行形狀優化，得到斜拉式的橋梁上部結構，再結合竹材規格進行尺寸優化得到最優截面：（1）左右對稱最不利加載情況下，結構模型質量為290.2g，桿件最大拉應力σmax=34.5MPa、最大壓應力σmax=-27.9MPa，最大位移ε=-12.002mm（測試點位移滿足要求）；（2）左右不對稱最不利加載情況下，結構模型質量為294.2g，桿件應力和位移值同樣能夠滿足要求。表明滿足不對稱加載的變參數橋梁結構也能夠滿足對稱加載要求。

綜上所述，拓撲優化能夠在橋梁概念設計階段通過整體找型功能，結合形狀和尺寸修改，得到滿足強度、剛度以及穩定性要求的結構，從而避免盲目試載，節約時間和控制成本。