在操作猜想中建構(gòu)數(shù)學(xué)概念
——《平行四邊形的認(rèn)識(shí)》教學(xué)設(shè)計(jì)（二）

文|蘇中巧

一、借助直尺，勾勒平行四邊形樣態(tài)

（一）認(rèn)識(shí)直尺。

師：（課件出示）這是一把直尺，你能在這把直尺中找到哪些數(shù)學(xué)元素？

生：我看到了一些數(shù)字。

生：我發(fā)現(xiàn)尺子的對(duì)邊是互相平行的。

生：我發(fā)現(xiàn)尺子的鄰邊是互相垂直的。

師：大家對(duì)直尺都非常熟悉，平常我們都用直尺來(lái)干什么？

生：用直尺測(cè)量長(zhǎng)度。

生：用直尺畫(huà)圖。

生：用直尺玩游戲。

師：看來(lái)，（課件出示圖1）用一把直尺可以開(kāi)展很多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)。如果是兩把直尺合作，又可以開(kāi)展哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)呢？（讓學(xué)生觀看課件并想象）

圖1 圖2

【設(shè)計(jì)意圖：平行四邊形的命名和定義是相伴而生的，即用“平行和四邊形”的前概念來(lái)定義“平行四邊形”的概念。學(xué)生每天都和直尺在一起，是他們非常熟悉的學(xué)習(xí)工具。由此，選用直尺作為本課的研究素材，學(xué)生能充分認(rèn)識(shí)到直尺對(duì)邊互相平行的特性，促使深度建構(gòu)“平行四邊形”的概念。】

（二）揭示課題。

師：（出示課件圖2）如果將兩把尺子拼在一起，你覺(jué)得重疊部分是什么圖形？

生：平行四邊形。（板書(shū)課題）

【設(shè)計(jì)意圖：將兩把不透明的直尺重疊，學(xué)生看不到重疊部分的形狀，只能通過(guò)想象在頭腦中浮現(xiàn)重疊部分的形狀。這樣的操作，倒逼學(xué)生根據(jù)直尺對(duì)邊平行的特征，在頭腦中勾畫(huà)出圖形的形狀，對(duì)接以往認(rèn)識(shí)的“平行四邊形”形狀，勾勒出“平行四邊形”的樣態(tài)，為新課的學(xué)習(xí)做好鋪墊。】

二、玩轉(zhuǎn)直尺，建構(gòu)平行四邊形概念

（一）用直尺，玩一玩。

1.出示任務(wù)要求。

（1）同桌合作，將兩把直尺重疊（一把直尺有顏色，另一把直尺透明），觀察重疊部分的形狀。

（2）反復(fù)變化三次，記住這些圖形的樣子。

（3）思考：重疊部分還是平行四邊形嗎？為什么？

2.學(xué)生同桌合作。

3.教師收集學(xué)生作品。

（1）第一次展示：一般的平行四邊形。（拍攝學(xué)生作品并展示圖3、圖4）

圖3

圖4

師：這些圖片都是平行四邊形嗎？你是怎么看出來(lái)的？

生1：是平行四邊形，因?yàn)橹背叩膶?duì)邊是互相平行的，所以這些四邊形的對(duì)邊也都是平行的。

師：我們?cè)賮?lái)觀察一下其他組的作品，你覺(jué)得是不是都是平行四邊形？

生2：是的。

師：請(qǐng)你用一句話(huà)來(lái)說(shuō)，什么樣的圖形叫作平行四邊形？

生3：兩邊都平行的圖形是平行四邊形。

生4：不對(duì)，梯形也是兩邊互相平行的四邊形。我覺(jué)得，應(yīng)該改成“兩組”，有兩組邊互相平行的圖形是平行四邊形。

生5：不對(duì)，有些六邊形也有兩組邊平行……應(yīng)該是兩組邊平行的四邊形叫作平行四邊形。

生6：我覺(jué)得，是不是可以把“兩組邊平行”改成“兩組對(duì)邊平行”，這樣聽(tīng)起來(lái)就能想出四邊形的樣子。

（根據(jù)學(xué)生的回答，教師板書(shū)：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形）

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)平行四邊形的概念教學(xué)，我們經(jīng)常會(huì)讓學(xué)生觀察各種形態(tài)的平行四邊形，然后通過(guò)比較、抽象、歸納，得出平行四邊形的概念。這樣的教學(xué)方法，在心理學(xué)中稱(chēng)為“概念形成”（由具體實(shí)例概括出概念）。而本課采用的教學(xué)方法是，由兩組平行線(xiàn)交疊生成平行四邊形，這樣通過(guò)增添已知概念的屬性來(lái)定義新概念是典型的“概念同化”（由已有概念引出新概念）。這樣的教學(xué)方式，能幫助學(xué)生積累歸納數(shù)學(xué)概念的能力，幫助學(xué)生理解平行四邊形的本質(zhì)屬性。】

（2）第二次展示：特殊的平行四邊形。（長(zhǎng)方形）

師：剛才有幾位同學(xué)拼成的四邊形是這樣的，（課件出示）你覺(jué)得還是平行四邊形嗎？

生：不是，這個(gè)圖形是長(zhǎng)方形。

生：既是長(zhǎng)方形，也是平行四邊形。

（學(xué)生開(kāi)始爭(zhēng)論）

師：請(qǐng)大家討論一下，長(zhǎng)方形到底是不是平行四邊形。為什么？

生:我們覺(jué)得長(zhǎng)方形應(yīng)該是平行四邊形，因?yàn)殚L(zhǎng)方形也是“兩組對(duì)邊平行的四邊形”。

生：我知道了，長(zhǎng)方形應(yīng)該是“特殊”的平行四邊形。

師：特殊在哪里呢？

生：特殊在長(zhǎng)方形的四個(gè)角都是直角。

生：特殊在長(zhǎng)方形不僅對(duì)邊平行，且鄰邊互相垂直。

師：（教師借助教具演示：圖5）從平行四邊形變化出長(zhǎng)方形，整理平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形之間的關(guān)系（課件演示：圖6）。

圖5

圖6

師：現(xiàn)在，你能用一句話(huà)來(lái)歸納“什么樣的圖形叫作長(zhǎng)方形嗎”？

生：有兩組對(duì)邊平行，有四個(gè)角是直角的四邊形叫作長(zhǎng)方形。

生：剛才，我們用“四邊形”歸納“平行四邊形”，我覺(jué)得可以用“平行四邊形”來(lái)歸納“長(zhǎng)方形”。所以，我覺(jué)得可以這樣歸納：有四個(gè)角是直角的平行四邊形叫作長(zhǎng)方形。

生：我有補(bǔ)充，根據(jù)鄰邊垂直和平行的關(guān)系，我發(fā)現(xiàn)只要有一個(gè)角是直角，其他的三個(gè)角肯定都是直角。數(shù)學(xué)是追求簡(jiǎn)潔的一門(mén)學(xué)科，所以我覺(jué)得可以這樣歸納：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫作長(zhǎng)方形。

【設(shè)計(jì)意圖：人教版教材的編排順序是先學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形，再學(xué)習(xí)平行四邊形。這種“先入為主”的編排，對(duì)學(xué)生理解“長(zhǎng)方形也是平行四邊形”有一定的負(fù)遷移作用，這也成了本課教學(xué)的難點(diǎn)之一。如何突破呢？筆者在教學(xué)中，先借助平行四邊形的概念，讓學(xué)生在辨析中逐漸明白“特殊”的含義；然后，通過(guò)“概念同化”的教學(xué)方式，讓學(xué)生歸納“長(zhǎng)方形”的概念；最后，通過(guò)教具演示，變換平行四邊形的各種形態(tài)，溝通平行四邊形和長(zhǎng)方形的“從屬”關(guān)系，以此達(dá)到教學(xué)目的。】

（3）判一判：下面哪些圖形（圖7）是平行四邊形。

圖7 圖8

學(xué)生完成《作業(yè)單》之后，反饋。

生：（3）號(hào)和（5）號(hào)分別是長(zhǎng)方形和正方形，也是平行四邊形。

生：（2）號(hào)只有一組對(duì)邊平行，不是平行四邊形，應(yīng)該是梯形。

生：（1）號(hào)上下邊互相平行，我用一副三角尺驗(yàn)證了左右邊，發(fā)現(xiàn)也是互相平行的。所以，（1）號(hào)是平行四邊形。

生：我用一副三角尺分別驗(yàn)證了（4）號(hào)的上下和左右對(duì)邊，發(fā)現(xiàn)也都是互相平行的。所以，（4）號(hào)是平行四邊形。

教師通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示對(duì)邊是否真的平行（圖8）。

師：做了這些題目，你還有什么問(wèn)題要提？

生：我發(fā)現(xiàn)，正方形的四條邊是相等的，長(zhǎng)方形是對(duì)邊相等的。那么，一般的平行四邊形的對(duì)邊是不是也相等呢？

師：同學(xué)們能不能研究一下呢？（學(xué)生同桌合作操作、討論）

生：我通過(guò)測(cè)量，發(fā)現(xiàn)對(duì)邊是相等的。

生：我覺(jué)得不用測(cè)量，剛才老師把長(zhǎng)方形拉成了平行四邊形，邊的長(zhǎng)度沒(méi)有變化，所以，平行四邊形的對(duì)邊相等。

生：我用學(xué)具試了很多次，發(fā)現(xiàn)：如果上下、左右邊平行，那么，上下、左右邊肯定相等；反之，如果上下、左右邊相等，那么，上下、左右邊肯定平行。兩組邊是相互關(guān)聯(lián)的。

師：（板書(shū)：對(duì)邊相等）請(qǐng)每位同學(xué)都拿出學(xué)具，邊操作邊思考“為什么只要兩組對(duì)邊平行，就會(huì)有兩組對(duì)邊相等”。

【設(shè)計(jì)意圖：“因?yàn)槭瞧叫兴倪呅危詫?duì)邊相等。”這是一條重要的性質(zhì)。如何讓學(xué)生深度理解這樣的性質(zhì)呢？筆者認(rèn)為，除了讓學(xué)生通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)之外，更重要的是，讓學(xué)生能明白“為什么只要兩組對(duì)邊平行，就會(huì)有兩組對(duì)邊相等”的道理。理清了平行和相等的關(guān)系，學(xué)生才能深入理解“性質(zhì)”。】

（二）用直尺，畫(huà)一畫(huà)。

1.根據(jù)“對(duì)邊平行”或“對(duì)邊相等”的性質(zhì)畫(huà)平行四邊形。

師：請(qǐng)你用一把直尺，在點(diǎn)子圖中畫(huà)出一個(gè)平行四邊形。出示如下要求：

（1）學(xué)生操作。

（2）收集作品（課件展示），師生一起判斷。

（3）反饋交流。

師：你是依據(jù)什么來(lái)畫(huà)平行四邊形的？

生：我是根據(jù)“對(duì)邊平行”來(lái)畫(huà)平行四邊形的。先畫(huà)出一個(gè)角，再畫(huà)出分別平行的對(duì)邊。

師：上下平行比較好畫(huà)，你覺(jué)得畫(huà)左右平行的時(shí)候要注意什么？

生：角度要相同。

（學(xué)生演示，教師評(píng)價(jià)）

生：我是根據(jù)“對(duì)邊相等”來(lái)畫(huà)平行四邊形的。我先畫(huà)上下對(duì)邊相等，然后畫(huà)左右對(duì)邊相等。

師：左右對(duì)邊相等是怎么做到的？

生：先連接鄰邊，然后測(cè)量長(zhǎng)度，再畫(huà)圖。

生：我發(fā)現(xiàn)，只要上下對(duì)邊長(zhǎng)度相等，將上下對(duì)邊的端點(diǎn)聯(lián)結(jié)形成左右對(duì)邊，此時(shí)，左右對(duì)邊肯定平行且相等。

師：（課件驗(yàn)證：圖9、10）上下對(duì)邊相等的情況下，左右對(duì)邊聯(lián)結(jié)起來(lái)剛好平行且相等。

圖9

圖10

想象練習(xí)：連接線(xiàn)段端點(diǎn)，想象圖形的樣子。（課件出示：圖11）

圖11

師：（課件出示一組對(duì)邊）這是平行四邊形的兩條邊，請(qǐng)你根據(jù)這兩條邊，想象另外兩條邊的位置，比劃出平行四邊形的樣子。

（學(xué)生書(shū)空，教師課件驗(yàn)證）

【設(shè)計(jì)意圖：對(duì)邊相等、對(duì)邊平行這一性質(zhì)既可以用來(lái)定義平行四邊形，又可以作為判定定理，更重要的是可以用它來(lái)畫(huà)平行四邊形。本環(huán)節(jié)讓學(xué)生借助這樣的性質(zhì)來(lái)畫(huà)平行四邊形，學(xué)生在操作中進(jìn)一步感受到了這些性質(zhì)的價(jià)值，對(duì)于平行四邊形有了更加深刻的理解。】

師：同學(xué)們，看了剛才的這些平行四邊形，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：只要有兩條邊相等，就能畫(huà)出一個(gè)平行四邊形。

師：（課件變化下面線(xiàn)段的方向：圖12）這兩條線(xiàn)段也是相等的，你覺(jué)得畫(huà)出來(lái)是平行四邊形嗎？

圖12

生：不是。

師：我們剛才發(fā)現(xiàn)：上下對(duì)邊相等的情況下，左右對(duì)邊聯(lián)結(jié)起來(lái)剛好平行且相等。現(xiàn)在為什么不行了呢？

生：（短暫思考并討論）我知道了，是因?yàn)楝F(xiàn)在上下邊沒(méi)有平行了。

生：?jiǎn)螁慰匆唤M對(duì)邊相等還不行，還需要關(guān)注這組對(duì)邊是否平行。

生：也可以這么說(shuō)，只要一組對(duì)邊平行且相等，另一組對(duì)邊肯定也平行且相等。

師：也就是說(shuō)，一組對(duì)邊平行且相等的圖形是平行四邊形。

【設(shè)計(jì)意圖：“一組對(duì)邊平行且相等”這一判斷定理，在人教版教材的編寫(xiě)中并沒(méi)有涉及。但是，筆者認(rèn)為這一性質(zhì)的價(jià)值在于，能使學(xué)生從關(guān)注“兩組對(duì)邊平行”和“兩組對(duì)邊相等”到“一組平行且相等”的進(jìn)階過(guò)程，感受到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)越來(lái)越簡(jiǎn)單，圖形各元素之間的關(guān)系越來(lái)越微妙，最終提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。】

2.利用“一組對(duì)邊平行且相等”畫(huà)平行四邊形。

師：請(qǐng)你用剛剛發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)，畫(huà)一個(gè)與圖中形狀相同的平行四邊形。

師：展示學(xué)生作品。你是先畫(huà)什么？再畫(huà)什么的？

生：我是先畫(huà)出平行的兩條直線(xiàn)，然后在直線(xiàn)中截取與原平行四邊形一組對(duì)邊相等的兩段，這樣就做到了“一組對(duì)邊平行且相等”，這樣畫(huà)出來(lái)的平行四邊形就和原來(lái)的形狀相同了。

【設(shè)計(jì)意圖：本課始終圍繞著“畫(huà)一畫(huà)”展開(kāi)，讓學(xué)生在畫(huà)圖的活動(dòng)中深入理解性質(zhì)，掌握平行四邊形的概念屬性。】

三、鞏固練習(xí)（略）