基于差分進化的隨機共振混沌小信號檢測

王海峰， 行鴻彥， 孫 江， 蘇 新

(1. 南京信息工程大學江蘇省氣象災害預報預警與評估協同創新中心， 江蘇南京 210044;2. 河海大學物聯網工程學院， 江蘇常州 231022)

0 引言

海雜波信號作為一類典型的雷達干擾回波，它是指海面雷達的后向散射回波，易受到各種外部自然因素影響，如風、潮汐、浪涌等，其物理機理復雜多變，非高斯、非線性和非平穩特性顯著，容易對雷達目標檢測造成干擾。研究海雜波背景下的混沌小信號檢測方法，對建立海洋安全觀測監測、海面目標檢測系統具有重要的理論研究和應用價值。

小信號檢測方法研究除了考慮信號與噪聲間的差異性來驗證小信號的存在之外，還可以從噪聲本身入手，利用隨機共振手段將噪聲能量轉移到小信號上以增強小信號，從而實現小信號的檢測。隨機共振理論由Benzi等在研究冰河時代周期性變化的氣候問題而提出，用于定性描述太陽公轉偏心率周期變化引起的地球冷暖氣候期交替的現象。此后，隨機共振理論大放異彩，被應用到物理、化學、信號處理等各類領域，國內外研究學者在微弱信號檢測領域也取得了豐富的研究成果。1998年，Barnes在研究弱電場和磁場信號時，利用隨機共振理論，通過增加弱信號的混沌功率譜密度來提高信噪比實現弱信號的檢測；Saha等于2003年提出了一種量化的隨機共振檢測器，適用于檢測噪聲中的弱正弦信號，且其檢測性能優于匹配濾波器的檢測性能；溫熙森等在2009年提出了基于隨機共振的機械故障早期檢測方法，對故障診斷及預測理論發展具有深遠的影響；2018年，行鴻彥等在研究海雜波背景下的微弱信號檢測方法時，提出了一種自適應隨機共振微弱信號檢測方法，實現了對Duffing振子隨機共振系統的多參數調優的工作，提升了檢測性能。

分析傳統隨機共振系統的缺陷，結合變種差分進化算法，提出一種新的海雜波背景下的隨機共振混沌小信號檢測方法。基于變種差分進化算法和隨機共振理論建立海雜波混沌小信號檢測模型，利用變種差分進化算法的快速收斂性對Duffing振子的,,進行尋優，以系統輸出信噪比為目標函數，完成變種差分進化算法的變異、交叉、選擇操作，最大化地增強小信號，保證在系統輸出信號的時頻特性分析中檢測到小信號的存在。對實測海雜波數據進行仿真實驗，以驗證變種差分進化算法優化隨機共振系統的實用性。

1 隨機共振理論分析

1.1 Duffing振子的雙穩態隨機共振系統

Duffing振子的隨機共振系統利用其混沌狀態下小信號、背景噪聲及系統本身發生的匹配協同關系，實現混沌小信號的檢測。

對于一個混沌小信號()和噪聲信號()共同作用的Duffing振子隨機共振方程組為

(1)

″+′-+=()+()

(2)

公式(2)是典型二階Duffing振子的隨機共振系統，通過分析公式得出，參數，，為決定Duffing振子隨機共振系統的核心參數，為接下來的尋優算法作鋪墊。

1.2 隨機共振基本理論

1.2.1 絕熱近似理論

隨機共振現象可通過加入適宜的噪聲或者調整系統參數來實現，從而達到增強小信號的目的。為了方便科學計量分析，本節只考慮調整系統參數，，的手段。將公式(2)轉化為動力學方程表達式：

(3)

利用福克·普朗克方程求解上述隨機過程中隨機變量(,)的概率分布函數可得

-+cos(2π))·

(4)

(5)

對于低頻輸入信號()而言，此時兩個吸引域各自達到平衡所花費的時間遠小于兩者整體趨于穩定的時間。換言之，可以認為吸引域各自趨于平衡穩定的操作是瞬間完成的，這一近似過程便稱為絕熱近似理論。

1.2.2 線性響應理論

線性響應理論最早就是為了解釋隨機共振現象而被提出，可以彌補絕熱近似理論不能解決的情形。對于輸入周期小信號()，經Duffing振子的隨機共振系統后輸出的信號也包含該周期項，設系統敏感函數為()，根據漲落耗散定理計算的幅值和相位分別為

=|()|,=-arctan[Im()Re()]

(6)

式中：

(7)

Im()=π()

(8)

(9)

()是系統敏感函數()的傅里葉變換，()是系統輸出信號零時刻的功率譜密度函數，依據公式(9)可以推導出線性響應理論分析的系統輸出信噪比為

(10)

對于線性響應理論下的隨機共振系統而言，當→+∞時，<()(0)>的值無限接近<()><(0)>，然而在實際計算操作中遠遠不能實現；此外，對于絕熱近似理論中不能研究的高頻輸入信號隨機共振，線性響應理論適用任意頻段的輸入信號，但是關于其時間尺度，為克萊莫斯逃逸速率，會隨著零時刻的系統勢壘函數及噪聲強度呈指數級減少，容易出現?不成立的情況，該情形下的隨機共振理論分析便又不能進行。

1.3 外差式隨機共振

絕熱近似理論是隨機共振分析理論中最主要、最常見的手段，它的局限性也十分明顯，需要滿足輸入信號和噪聲的強度均較小且輸入信號頻率較低的苛刻條件。對于研究海雜波背景下的混沌小信號而言，往往有時候包含其中的混沌小信號頻率較高，為了將絕熱近似理論運用到高頻段輸入信號的信號檢測中，可以考慮使用外差式隨機共振，其實現流程如圖1所示。

圖1 外差式隨機共振流程圖

根據圖1可知，外差式隨機共振原理就是利用混頻將低頻輸入信號遷移到高頻段中，得到一對中心頻率為載波信號頻率的信號：

()*()=[cos(2π)+()]*cos(2π)=

))+()*cos(2π)

(11)

經混頻后產生一高頻信號(+)和一低頻信號(-)，中心載波頻率將二者劃分為高低頻信號，所以低頻信號頻率遠小于高頻信號頻率，相應地，兩者的頻譜大小恰恰相反，即

(12)

其中，(-)是隨機共振系統的輸出信號頻譜，當≠時，外差式隨機共振系統會增強低頻(-)處的信號，通過在輸出信號頻譜圖中清晰看到該處的尖峰。然而當=時，輸出信號頻譜中的尖峰便會消失，可以利用這一點，靈活調節載波頻率來獲取輸入信號的頻率。

2 變種差分進化算法

差分進化算法是一種基于遺傳算法基本思想改變編碼方式、種群迭代方式、淘汰方式的改進型尋優算法。由于其大膽的劣者絕對淘汰方式不僅提升了算法的收斂速度、全局優化搜索能力，同時還保證了較強的魯棒性。差分進化算法使用浮點矢量完成編碼，采用父系差分向量完成變異，并與父系交叉生成子代，較遺傳算法收斂更快且效果更加顯著。但是這樣的操作背后，帶來的問題便是容易出現過早收斂，降低了全局搜索能力。針對這一問題，提出了一種變種差分進化算法。變種差分進化算法通過加入自適應變異算子，迭代初期能夠保證變異發生概率，維持種群多樣性，防止過早收斂；迭代后期能夠保護最優解，提高全局搜索能力。

為了解決傳統隨機共振系統獨立調參尋優效果差的問題，利用變種差分進化算法實現對二階Duffing振子隨機共振系統多參數的同步尋優，將系統輸出信號的信噪比作為尋優算法的目標函數，它能夠反映隨機共振系統對混沌小信號的增強水平，當目標函數取最大值時尋優過程結束。變種差分進化算法優化隨機共振系統多參數的具體步驟如下：

(13)

步驟2: 目標函數計算，對于一個二階Duffing振子的隨機共振系統而言，輸出信號的信噪比隨著系統參數的變化而變化，它能夠反映該系統對混沌小信號的增強水平，目標函數為

(,,)=((,,))

(14)

式中，(,,)為隨機共振系統輸出信號，((,,))為系統輸出信號的信噪比。

步驟3: 變異操作，采用差分策略進行對個體的變異操作，是區別于遺傳算法的標志之一。隨機選取兩個區別于待變異的父系個體進行差分縮放后并與該個體進行合成，得到

(+1)=1()+·(2()-3()),

≠1≠2≠3

(15)

(16)

式中，代表自適應變異算子，()代表迭代次后的第個個體，(())為最優個體的目標函數值，(())為當前個體的目標函數值，為最大目標函數值，為最小目標函數值。在整個變異過程中種群所有個體的取值均要求滿足邊界條件，即

(17)

步驟4: 交叉操作，對迭代后的第個個體()和變異個體(+1)進行交叉計算：

(18)

式中，為交叉因子，為[1,2,…,]的隨機整數。差分進化算法的交叉不同于遺傳算法中對每個個體進行交叉，它只對同一維度的個體進行交叉。

步驟5: 選擇操作，差分進化算法利用貪婪算法進行選擇操作

(19)

步驟6: 更新目標函數值，根據當前迭代次數優化的系統參數計算系統輸出信號信噪比，對比上一次迭代輸出的信噪比，如果較小則重新進行一輪迭代尋優；否則輸出尋優參數,,。

步驟7: 輸出最優隨機共振，當迭代次數達到最高迭代次數時，輸出滿足最大目標函數值對應的二階Duffing振子的隨機共振系統參數,,，根據所獲最優參數值對輸入信號進行隨機共振輸出，分析輸出信號的頻譜特性。

基于變種差分進化算法的隨機共振混沌小信號檢測方法流程如圖2所示。

圖2 基于變種差分進化算法的隨機共振混沌小信號檢測方法流程圖

3 實驗仿真分析

為了驗證變種差分進化算法優化隨機共振系統混沌小信號檢測的實用有效性，本節進行三組仿真實驗：前兩組實驗分別將低頻小信號和高頻小信號混合噪聲作為Duffing振子隨機共振系統的輸入信號，經變種差分算法優化系統參數后，得到系統輸出信號并分析其時頻特性驗證混沌小信號檢測效果；第三組實驗則是將實測海雜波數據作為背景噪聲輸入隨機共振系統，分析經優化后系統輸出信號的時頻特性判斷混沌小信號是否能被檢測。

3.1 低頻小信號檢測

二階Duffing振子的隨機共振系統參數,,直接影響系統的輸出效果，其中值與克萊莫斯逃逸速率密切相關，二者呈反比例關系；分析公式(1)可知，系統參數,直接影響勢壘高度和系統臨界值，的取值與兩者呈正比例關系，卻相反，根據圖3分析,分別取值為1時勢壘函數發生的變化。

圖3 參數a,b對勢壘函數的影響

考慮到發生隨機共振時系統參數較小，設置種群數量為50，變量維度為10，初始變異算子為0.4，交叉因子為0.1，最大迭代次數為200。輸入如下的低頻小信號：

(20)

圖4 變種差分進化算法優化隨機系統參數收斂圖

式中，小信號頻率為0.01 Hz，采樣頻率為5 Hz，采樣點數為800個。設定低頻信號幅值=01，0.08，0.06，0.04，0.02，對應噪聲強度=015，0.3，0.45，0.6，0.75，形成5組信噪比逐次遞減的輸入信號1，2，3，4，5，設置優化輸出系統參數尋優范圍為[0.001，2]，參數精度為0.001。以輸入信號幅值=01，噪聲強度=015為例進行詳細描述，利用變種差分進化算法，尋找當前輸入信號特性下Duffing振子隨機共振系統的輸出信噪比最大時對應的系統參數,,。如圖4所示，變種差分進化算法經過33次迭代尋優獲得系統當前輸入信號的最優參數，分別為=0226，=0315，=0691，該情形下輸出信號的信噪比最大為10.710 dB，對比輸入信噪比(-18.681 dB)提升了29.391 dB。圖5為變種差分進化算法在最優參數下的隨機共振圖，圖5(a)為輸入信號圖，可以看到混沌小信號被淹沒在噪聲中，如圖5(b)分析其頻譜特性也未能看出端倪。然而分析其輸出信號圖5(c)能夠簡約看出信號的輪廓，再分析其頻譜特性圖5(d)，能夠明顯觀察到小信號被增強，直接判斷出0.01 Hz處存在小信號。

圖5 低頻小信號變種差分進化算法隨機共振系統參數分析圖

為了驗證變種差分進化算法優化隨機共振系統參數的可靠性，表1給出5組輸入信號的參數尋優及輸出信號的信噪比結果。

從表1分析可知，對于輸入低頻小信號而言，差分變種進化算法優化的Duffing振子隨機共振系統能夠顯著地提升輸出信號的信噪比，換言之，該方法能增強淹沒在噪聲背景下的小信號，實現隨機共振系統中的小信號檢測。較混沌變長螢火蟲算法優化隨機共振系統，迭代收斂速度更快，信噪比增益平均提高1.98 dB，提取淹沒在強噪聲背景下的低頻小信號效果更好。

表1 5組輸入信號的參數尋優及輸出信號的信噪比結果

3.2 高頻小信號檢測

在絕熱近似理論中，要求輸入信號的幅值低、頻率低，噪聲強度低，但是實際工程應用中的輸入信號往往可能是頻率。針對這一難題，可以利用外差式隨機共振來解決。為了進一步驗證變種差分進化算法優化隨機共振的小信號檢測方法的可行性，輸入信號幅值=02，噪聲強度=21，信號頻率=20 Hz的高頻小信號，采樣頻率=5 Hz，采樣點數為800個，結合外差式隨機共振理論設定載波頻率=2001 Hz經混頻后輸出的低頻信號分量滿足絕熱近似理論要求，進行高頻小信號檢測實驗。

利用變種差分進化算法對隨機共振系統下的高頻小信號進行檢測，得到輸出信號信噪比最大對應的系統參數,,，分別為=0146，=0.419，=0304，輸出當前情形下最大的信噪比3.54 dB，較輸入信噪比(-23.22 dB)提升了26.76 dB。圖6為輸入高頻小信號情形下的優化隨機共振圖，從圖6(a)、(b)分析，輸入信號的時頻特性圖中均未能觀測出淹沒在強噪聲背景下的高頻小信號。然而在圖6(c)輸出信號圖中能夠較清晰地看出輸入信號的輪廓，對其進行頻率分析得到圖6(d)的輸出信號頻譜圖，能夠明顯看出小信號被增強，判斷=001 Hz處存在小信號，依據外差式隨機共振恢復原理，計算得出=-001=20 Hz，進一步推斷出增強的頻率代表輸入頻率為20 Hz，表明變種差分進化算法優化的Duffing振子隨機共振系統能檢測出高頻小信號。

圖6 高頻小信號變種差分進化算法隨機共振系統參數分析圖

3.3 海雜波背景下的混沌小信號檢測

為了驗證變種差分進化算法的實用性，進行基于隨機共振理論的海雜波背景下的混沌小目標檢測實驗，選用的是IPIX雷達收集的#54海雜波含目標信號數據，目標數據區間：主目標為8，次目標為7∶10。將含目標的海雜波數據取代Duffing振子的隨機共振系統的輸入信號，經變種差分進化算法優化后的系統，輸出信噪比最大對應的系統參數,,，分別為=0973，=0738，=0034，輸出信噪比為22.47 dB，較輸入信號的信噪比(-55.03 dB)提升了83.50 dB，海雜波背景下的隨機共振混沌小信號檢測效果如圖7所示，其中圖7(a)、(b)為輸入信號時頻特性圖，均不能分析出混沌小信號的存在，經優化后的隨機共振系統后，圖7(c)能夠隱約勾勒出淹沒在海雜波背景下的混沌小信號輪廓，圖7(d)能清晰地辨認出在頻率為0.016 32處出現頻譜尖峰，代表該處存在混沌小信號，達到實驗研究的效果。

圖7 海雜波背景下的隨機共振混沌小信號檢測效果圖

4 結束語

針對傳統隨機共振小信號檢測無法對多參數進行同步尋優的缺陷，本文提出了一種基于變種差分進化算法的隨機共振混沌小信號檢測方法，利用變種差分進化算法中加入自適應變異算子提升全局尋優搜索能力的同時避免了過早收斂，對Duffing振子的隨機共振系統參數,,進行尋優，選用系統輸出信號的信噪比作為目標函數，完成變種差分算法的變異、交叉、選擇操作。對低頻小信號輸入進行仿真實驗，與混沌變步長螢火蟲優化算法作對比，輸出信噪比平均提升1.98 dB，小信號檢測效果提升顯著；對高頻小信號輸入進行仿真實驗，結合外差式隨機共振理論能夠準確恢復出高頻小信號對應低頻段處的小信號，進一步推導出高頻小信號的存在；對實測海雜波數據進行仿真實驗，實驗結果表明該方法能夠有效地檢測出淹沒在海雜波背景下的混沌小信號。