基于響應面法的斜拉橋動力模型修正方法

張立業，汪 波，王兵見，陳 可，呂竟銘

(1.交通運輸部公路科學研究院，北京 100088；2.安徽省公路管理服務中心，安徽 合肥 230022)

0 引言

建立能夠精確反映實際橋梁結構特性的基準有限元模型是進行結構分析、損傷識別和狀態評估的關鍵[1-2]。由于實際橋梁結構的物理參數存在隨機性和離散性，有限元模型采用的物理參數很難與實際橋梁結構一致，且建模過程中往往需要對邊界條件和連續條件進行簡化，致使橋梁結構有限元模型計算的特征參數與健康監測的特征參數存在一定的差異，進而影響橋梁結構分析、損傷識別和狀態評估的準確率。獲得能夠精確反映實際橋梁結構的有限元基準模型需要借助健康監測數據和模型修正(Model Updating)技術。模型修正是通過優化結構有限元模型的幾何物理等參數，使有限元計算的特征參數接近于結構健康監測的特征參數，其核心是最優化問題[3-4]。

常用的橋梁結構模型修正方法包括靜力模型修正法[5-6]和動力模型修正法[7-8]。通過靜力法測得的特征參數具有準確率高、抗干擾性強、適應性好等優點，但需要對橋梁結構進行荷載試驗，獲得靜力響應數據，其加載方式單一,實測數據量有限,通常需要中斷交通，因此,采用靜力法進行橋梁結構模型修正是比較困難的。動力模型修正法以橋梁結構的模態參數作為特征參數，因模態參數反映了橋梁結構自身的特性，與加載方式無關，可通過環境激勵的方法測得，無須中斷交通[9],且大量研究表明：基于模態參數的損傷識別和狀態評估方法對實際橋梁結構比較有效[10]。因此，動力模型修正方法更適用于實際橋梁結構，在橋梁結構健康監測中具有很好的應用前景[11-12]。

有限元模型修正的核心是最優化問題，構建合理的包含結構主要響應信息的目標函數是有限元模型修正的關鍵問題[13-14]，目前已有不少學者基于實際橋梁結構或者室內試驗模型的靜動力測試數據[15-16]，提出了比較有效的模型修正方法[8,17]。任偉新等[18]提出了一種基于響應面的模型修正方法；宗周紅等[19-20]提出了一種基于響應面模型修正的橋梁結構識別方法，并應用于橋梁健康監測的有限元模型確認中；馬印平等[21]提出了基于響應面法的鋼管混凝土組合桁梁橋多尺度有限元模型修正方法；周林仁等[22]提出了基于徑向基函數響應面方法的斜拉橋有限元模型修正方法；王曉光等[23]將穩健估計法引入響應面優化求解過程，提高了基于響應面模型修正的可靠性；Sanayei等[24]提出了一種基于多響應面數據的有限元模型修正和損傷識別方法。本研究在斜拉橋健康監測和參數化有限元分析技術的基礎上，基于響應面法建立了斜拉橋動力模型修正方法，解決了斜拉橋有限元動力模型難于修正的問題，研究結果表明：修正后的有限元模型能夠精確模擬實際斜拉橋結構，對斜拉橋的模型修正具有很好的適應性。

1 模型修正的基本原理

為了使有限元模型能夠精確地反映實際橋梁結構的力學特性，除了建模過程中盡可能準確地選用符合實際的結構有限元模型參數,合理地處理邊界條件和連續條件外，更重要的是要借助試驗測試或橋梁監測結果修正有限元模型，這是獲得高精度橋梁結構有限元模型的關鍵。

結構健康監測數據包括結構位移、應變、加速度等監測指標，特征參數指監測指標的極值、均值等時域特征，以及頻率、振型等頻域特征。由橋梁結構健康監測數據獲得的1組特征參數為yi,m(i=1,2,3，…n)，由橋梁結構有限元模型計算得到的1組與yi,m相對應的特征參數為yi,c(i=1,2,3，…n)。由于橋梁結構監測指標是實際橋梁結構的真實響應，其特征參數反映了結構的真實狀態，因此，可以認為橋梁結構健康監測數據獲得的特征參數yi,m是準確且可靠的。模型修正的主要任務是優化有限元模型參數xj(j=1,2,3，…,k)，使yi,m和yi,c之間的誤差最小。

橋梁結構有限元模型計算得到的yi,c可以看成是有限元模型參數xj的函數yi,c(xj)，可以將yi,c(xj)和yi,m之間的誤差函數作為有限元模型修正優化問題的目標函數。構造目標函數的途徑有最小二乘法、Bayesian概率方法等，其中廣泛應用的是最小二乘法。

(1)

式中，γi為各特征參數的權重，反映了各特征參數對有限元模型的影響程度，通常可以通過重要度或靈敏度方法來確定。

2 動力模型修正方法

振動頻率、振型等模態參數是橋梁結構的固有特性，反映了橋梁結構幾何尺寸、質量和剛度等主要幾何物理量的分布特征。這些模態參數與加載工況無關，避免了監測過程中荷載工況差異所帶來的誤差。動力模型修正方法的一般過程包括：(1)建立待修正橋梁結構的初始有限元模型(FEM)；(2)通過重要度或靈敏度等分析方法確定各幾何物理參數權重并選取待修正參數xj;(3)根據待修正參數的重要度或者靈敏度確定待修正參數的變化倍率；(4)進行FEM計算,得到與實測結果對應的特征參數；(5)采用最小二乘法等回歸算法分析FEM的計算結果,得出響應面方程；(6)建立形如式(1)的目標函數，確定各特征參數的權重系數；(7)采用最優化算法得出目標函數最優解,確定待修正參數的修正值。有限元模型修正的具體流程如圖1所示。

圖1 有限元模型修正流程Fig.1 Flowchart of finite element modification

由于橋梁結構動力響應與待修正參數通常存在著難以表達的隱性函數關系，響應面法可以通過建立響應面方程近似模擬這種隱性函數關系，其中，多元二次響應面方程是常用的響應面方程形式：

Y=AX,

(2)

其中

Y=[Y1Y2…Yi]T,

(3)

X=[1x1x2…xjx1x2x1x3…x1xj…

(4)

(5)

式中，A為響應面特征點參數；Y為橋梁結構特征參數向量；X為待修改正參數向量；Yi為橋梁結構特征參數;xj為待修正參數;aik為待定系數;i,j,k分別為橋梁結構特征參數、待修正參數和多元二次響應面方程待定系數的個數。

上述響應面方程反映了橋梁結構特征參數與待修正參數的函數關系，待定系數需要通過最優化方法得到，從而得出響應面方程。結合實際橋梁結構監測的特征參數，便能夠建立起模型修正的目標函數。

3 基于頻率監測的斜拉橋模型修正

頻率是斜拉橋監測的重要指標，測試成本低且精度高,因此，基于頻率監測指標來修正斜拉橋有限元模型的可行性較高。這里選用東海大橋主航道斜拉橋作為研究對象，其主跨為420 m，采用雙向六車道加緊急停車帶的高速公路標準。橋寬31.5 m，設計時速80 km/h。

3.1 修正參數的選取及其變化倍率

斜拉橋的主梁、橋塔和斜拉索的參數都會影響到斜拉橋的振動頻率，因此選用主梁鋼材密度、主梁鋼材彈性模量、主梁混凝土密度、主梁混凝土彈性模量、主塔彈性模量和斜拉索彈性模量6個待修正參數。相對而言，斜拉橋頻率對主梁鋼材的參數更為敏感，故主梁鋼材密度和彈性模量的變化倍率為1±0.2，其余參數的變化倍率為1±0.3，具體如表1所示。

表1 待修正參數及其變化倍率Tab.1 Parameters to be corrected and their change rates

3.2 試工況及有限元分析

采用參數化有限元分析技術，建立全橋初始有限元模型，選用Beam4單元模擬主梁混凝土，通過模態分析，得出各階振動頻率計算結果，由于低階振動頻率能夠較好地反映橋梁結構狀態，其中豎向振動頻率影響最大，橫向和扭轉振動頻率影響次之，且現實工程中很少發生。因此，選用前5階振動頻率進行修正，包括前3階豎向振動頻率，一階橫向和一階扭轉振動頻率。恰當地選擇頻率修正階數，可使模型修正精度既滿足工程需要，又節約計算資源。實測和修正前頻率如表2所示。

表2 實測頻率與修正前頻率Tab.2 Measured frequency and frequency before modification

有限元分析的振動頻率和振型如圖2所示。

圖2 模態分析振型圖Fig.2 Mode shapes for model analysis

為了建立響應面方程，采用中心復合設計法來設計響應面的試驗工況，由于待修正參數為6個，所以因子數為6，立方點數為64，軸向點數為12，α值為2.828。各代表性試驗工況的有限元分析結果如表3所示，其中工況1～64為立方點，工況65～76為軸向點，工況77～82為中心點。

表3 代表性試驗工況的有限元分析結果Tab.3 Finite element analysis result of representative test cases

由表3可以看出，各階頻率隨著修正參數的倍率變化而變化，變化倍率越大、變化參數越多，對各階頻率影響越大，計算結果用于構建響應面方程，包括立方點(工況1～64)、軸向點(工況65～76)和中心點(工況77～82)。

3.3 響應面方程及目標函數

(6)

利用響應面方程的計算值與橋梁結構的實測值，建立的目標函數如下：

(7)

式中γi為各特征參數的權重值。

3.4 動力響應權重系數的確定方法

由式(7)可以看出，權重系數γi是影響目標函數優化結果的重要因素。本研究采用固定變量法分析各權重系數對目標函數的影響規律，用以選擇最佳的動力響應權重系數，進而得出模型修正的最優化結果。

敏感性理論分析可知，式(7)中各動力響應權重系數對目標函數值的敏感性是不盡相同的，對于不同的工程應用情況，由于動力特征不同，其最優的權重系數也會有所不同，一個比較可行的方法是采用數值模擬的方法，具體工程具體分析。

擬定權重系數區間為0～1，采用固定變量法逐個分析γ1，γ2，γ3，γ4，γ5與振動頻率變化率的相關系數，分析結果如表4所示。

表4 權重系數與振動頻率變化率的相關系數Tab.4 Correlation coefficient between weight coefficient and vibration frequency change rate

由表4可知，權重系數與各階振動頻率的相關性存在較大差異。對于該橋梁，權重系數γ1，γ2，γ3，γ4和γ5分別與豎向二階、橫向一階、橫向一階、豎向二階和豎向三階的相關性較高，其相關系數分別為：-0.756 3，-0.358 3，-0.563 6，-0.236 7和0.190 2。選用相關系數的最大值作為權重系數可以得到均衡的全局最優化結果，對于有特殊要求的情況，可以選擇關心階次頻率的相關系數最大值，以此保證在關心階次頻率上得出最優化的結果。

3.5 模型修正結果對比

由前面模態分析可知，前5階模態中包含了豎向、橫向和扭轉振動頻率。根據前面分析結果，這里選用相關系數的最大值[-0.756 3 -0.358 3 -0.563 6 -0.236 7 0.190 2]作為權重系數，得到均衡的全局最優化結果。

采用最優化方法求解目標函數，得到的優化結果為x1=0.923，x2=0.922，x3=0.773，x4=0.927,x5=1.384，x6=0.949。修正前與修正后的頻率對比結果如表5所示。可知經過模型修正，有限元模型計算的振動頻率值更接近于實際橋梁結構監測的振動頻率值。

由圖3可知，通過模型修正，有限元模型計算的振動頻率值與實際監測的振動頻率值的誤差絕對值由2.03%～7.95%變化到0.05%～1.27%，其中一階振動頻率由-4.59%變化到-0.05%，幾乎與實際監測的振動頻率值一致。

表5 模型修正前與修正后的頻率對比Tab.5 Comparison of frequencies before and after model modification

圖3 模型修正結果Fig.3 Model modification result

4 結論

本研究建立了基于響應面法的斜拉橋動力模型修正方法，實現了斜拉橋有限元模型修正和健康監測數據快速分析。解決了響應面方程建立、目標函數求解和最優化算法等斜拉橋動力模型修正的關鍵問題，得出了斜拉橋動力模型修正的一般流程。實際橋梁結構算例表明：修正后有限元模型計算的振動頻率值與實際橋梁結構監測的振動頻率值的誤差由2.03%～7.95%變化到0.05%～1.27%，其中一階振動頻率由-4.59%變化到-0.05%，幾乎與實際監測的振動頻率值一致，修正后的有限元模型能夠精確的模擬實際斜拉橋結構，表明該方法對斜拉橋結構的有限元模型修正具有很好的有效性。