下凡的精靈：投影向量*
——對投影向量的教學建議

?廣州市番禺區石北中學 廣東省吳和貴名教師工作室 姜寶松

1 問題的產生

《普通高中數學課程標準(2017版)》實施后，2019年人教版《普通高中教科書·數學·必修·第二冊》(后簡稱“新教材”)中出現了概念“投影向量”，取消了舊教材中“向量的投影”這一概念.有教師在講授這一知識時誤認為還是舊的概念，還有教師發現投影向量，只是在證明數量積的分配律時使用過，后面就如曇花一現般消失不見，不理解教材中為什么引入投影向量.

2 概念辨別

舊教材中向量的投影是一個數量，利用這個數量來解釋向量的數量積.有教師因為舊教材的教學經驗，先入為主地認為投影向量也是個數量，從而造成概念混淆.

圖1

3 投影向量的數學本質及其作用

3.1 勾股定理

圖2

3.2 點到直線的距離(向量推導)

設平面直角坐標系內點Q(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,求點Q到直線l的距離d.

圖3

推導：如圖3,在直線l上任取點P(x1,y1)，則有Ax1+By1+C=0.

3.3 點到平面的距離公式

圖4

同理，也可用投影向量得出兩異面直線間距離公式.

以上距離公式的推導過程，可以總結為：點到平面的距離，即是向量(點和平面內的任意一點形成)在平面法向量上的投影向量的模；點到直線的距離亦是如此.這一過程體現了投影向量在降維中的作用，投影向量就像是高維空間降到低維子空間的精靈，聯結起高維空間與低維子空間，舞動穿插于諸多數學知識中.

4 投影向量的教學建議

新教材中，在數量積的定義之后，給出了投影和投影向量的概念，并用較大篇幅探討明了投影向量的計算方法.教材至此對投影向量停止介紹，之后僅在數量積的分配律時使用過投影向量，在后續教材中不見蹤跡.這也是部分教師對投影向量地位認識不足，對教材中投影向量感到突兀的原因.結合上述投影向量的本質和作用，給出如下教學建議.

4.1 投影向量計算方法的改進

還可利用向量的代數特性，進一步推導出投影向量計算方法的另一種形式：

即投影向量的計算方法有兩中形式：

形式(1)體現出投影向量運算的幾何特征，形式(2)體現出投影向量的代數運算特征.由形式(2)還可以推導投影向量的模，推導如下：

圖5

例1、例2均為教材中的原題，借助幾何直觀，利用形式(1)可迅速求解.

例3、例4以及2019年人教版數學必修第二冊第89頁第15題，用形式(2)容易解決.

4.2 利用投影向量解釋數量積

下面為幾何解釋，如圖6所示：

圖6

圖7

圖8

例5、例6均可利用投影向量巧妙解答.用投影向量解釋數量積，在常用數量積計算方法上進行了補充，有助于學生直觀想象素養的提升，也能幫助學生進一步理解向量運算.

5 結束語

向量是溝通代數與幾何的橋梁，投影向量則把高維空間和低維子空間進行了聯結，像是高維空間“下凡”到低維空間的數學精靈.筆者認為，教師在講授新課時若能增加課時補充這一內容，或是新教材中補充用投影向量來解釋數量積運算的內容，可以更深入揭示向量數量積的運算本質，讓投影向量的作用體現得更加靈動.