（3+1）維Boiti-Leon-Manna-Pempinelli方程的新精確解

林慶慶，黃發進，張明俊*，劉廷青，崔靜易

（1.廣西科技大學 理學院，廣西 柳州 545006；2.柳州高級中學，廣西 柳州 545006；3.中國地質大學（武漢）數學與物理學院，湖北 武漢 430074）

0 引言

近幾十年來，非線性偏微分方程的精確解及其求法在研究非線性科學中具有重要意義，逐漸形成了考慮非線性自然現象的前沿和熱點，受到了國內外各領域學者的高度關注。在許多自然科學領域，如物理學、流體力學、生物科學等，很多非線性現象可以用一些高階非線性微分方程的數學模型來描述。因此，高階非線性偏微分方程的精確解求法成為了數學領域中的研究熱點，也是目前國內外數學和物理專家研究的主要對象，并具有非常大的挑戰性。

1 預備知識

借助簡單的線性常微分方程（式（2））來求解新的（3+1）維BLMP方程的變系數的新精確解。

2 古典（3+1）維BLMP 方程的新精確解

古典（3+1）維BLMP方程為：

令=+++，方程（3）轉化為：

進一步，方程（4）兩邊關于積分可得：

其中、、、由后面的計算過程確定。

于是可得如下新精確解的表達形式：

其中=+++，=-，=+4，為任意常數，為任意非零常數。當參數滿足式（7）的條件和關系時，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

當=0時，有關系式如下：

所得到解的形式為：

當=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，≠0，＜0時，

此種情況下，將上面的參數的關系式代入式（6）中，可得如下新精確解的表達形式：

其中=+++，=-，=+4，、為任意常數，為任意非零常數。當參數滿足式（11）的條件和關系時，上述的這些解就是所得到的新精確解形式。

當=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，=0，＞0時，

此種情況下，將上面的參數的關系式代入式（14）中，可得如下新精確解的表達形式：

其中=+++，=-，=，為任意常數，為任意非零常數。當參數滿足式（13）的條件和關系時，上述的這些解就是所得到的具體新精確解形式。

當=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，=0，＜0時，

此種情況下，可得如下新精確解的表達形式：

當參數滿足式（16）的條件和關系時，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

當=0，≠0，≠0，≠0，+≠0，≠0，≠0時，

此種情況下，可得如下新精確解的表達形式：

當參數滿足式（17）的條件和關系時，上述的這些解就是所得到的具體的新精確解形式。

對上述的不同情形下的解，給出相應的解的圖形。

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖1所示。

圖1 當B ≠0，Ω ＞0時，u1的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖2所示。

圖2 當B ≠0，Ω ＜0時，u2的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖3所示。

圖3 當B=0，Δ ＞0時，u3的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖4所示。

圖4 當B=0，Δ ＜0時，u4的圖形

利用MAPLE 軟件可以得到的圖形，如圖5所示。

圖5 當B ≠0，Ω ≠0時，u5的圖形

3 新的（3+1）維BLMP方程變系數的精確解

通過對舊的（3+1）維-BLMP 方程進行修正，得到新的（3+1）維BLMP方程：

設方程（19）有如下變系數形式的解：

其中a是關于、、、的函數。=()滿足如下的二階常微分方程：

解方程（21）有3種形式的解：

將方程（21）的解代入-，類似于文獻[6]，最后會得到多種不同的形式解。

下面給出這些解的圖形。以為例，在-4＞0、-4＜0、-4=0這3種情況下討論解的不同結構。

1）當-4＞0時，取=3，=2，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2。此時

利用MAPLE 軟件得到的圖形，如圖6所示。

圖6 λ2 -4μ ＞0時，u9-1的圖形

2）當-4＜0 時，取=1，=2.5，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2。此時

利用MAPLE軟件得到的圖形，如圖7所示。

圖7 λ2 -4μ ＜0時，u9-2的圖形

3）當-4=0時，取=4，=4，===(-)+(-)+，()=，===1，=2，=0，=1，=2，此時

利用MAPLE軟件得到的圖形，如圖8所示。

圖8 λ2 -4μ=0時，u9-3的圖形

4 總結

本文對古典的和新的（3+1）維BLMP方程分別從常系數和變系數的測試函數出發，得到了相應的新的精確解的形式。特別是對于新的BLMP方程來講是一種變系數的精確解形式，目前研究較少。這種思想可以推廣到求解其他的非線性偏微分方程的變系數精確解形式。這些精確解在進一步解釋自然界中的非線性現象方面具有一定的數學理論依據。