一種采用插值網格化Kriging方法的等值線 可視化技術

鄧波濤，曾 志，羅中良

（1.惠州城市職業學院 信息學院，廣東 惠州 516025； 2.惠州學院 計算機科學與工程學院，廣東 惠州 516007）

可視化是一種將結構化或非結構化數據轉換為可視圖表的方法，通過挖掘數據間的隱藏信息，更直觀展現的技術方法［1］.使用可視化技術，可以在盤根錯節的聯系中，把巨量的信息進行篩選與提煉，從而把數據的本質直接展示給讀者.到目前為止，通過系統進行可視化表達的技術有很多，如Web前端的Tabular［2］、ECharts等數據可視化技術［3］，及目前比較流行的Python語言，這些可視化表達技術僅是從數據處理的應用層面，并沒有就數學原理的角度揭示可視化表達的實現機制.隨著數據應用的不斷深入，可視化技術的應用領域正在不斷地拓展.然而，等值線圖形的形成機理是可視化分析中不可忽視的一項重要內容，透過某一類特殊的等值線，可以辨別出所有相同屬性值的位置信息.通過查看不同屬性值相等點間的距離，也可以大致地掌握所有數據的分布規律.因此，作為與人們休戚相關的環境要素（平均風速、平均氣壓和平均水汽壓），其可視化表示就顯得尤為重要.因為環境要素的可視化表達主要以等值線形式呈現，通過等值線圖的辨識，氣候分析人員可以更加直觀地通過氣壓、風速的變化、頻率的分布等環境狀況，對氣候的變化作出進一步研判.

等值線生成的過程中，空間中的鄰近距離越小的兩個離散點，其屬性值相似性越強，而屬性值相等點的值變化通常表現更為平滑，且服從于某種特定的統計穩定性關系.而不同領域，等值線生成算法也可能不一樣.如LiDAR點云數據的等值線繪制方法［4］，規則型離散點信息場的等值線圖的生成算法［5］，包括用于高次單元網格系統的等參數插值函數的算法［6］，或通過非線性訓練，求解對應節點的預測值，采用插補法完成等值線繪制［7］.通常，等值線的生成大多采用線性插值原理，等值點間連線的平滑度是衡量圖形質量的重要標志.目前已有的平滑方法很多，典型的有張力樣條法和五點加權平均法等［8］.其中，張力樣條函數法通過計算獲得相應的數據點來形成光滑曲線，缺點是計算量略大；而五點加權平均法相對較為直觀，易于實現.針對數據點少有斷層現象，文獻［9］在考慮了斷層兩邊數據點的空間相關性，這使得處理結果既與整體趨勢相一致又與斷層附近的變化趨勢相匹配，使得等值線有較好的視覺效果.與以往算法不同，本文主要關注在屬性值相同情況下，跨度較大的離散點間即數據缺失時，采用通過插值網格化方法實現等值線圖形的平滑方法，從而提升插入網格點的精度.

1 離散數據的插值網格化Kriging方法

一般地，大氣環境要素、地質、地球物理領域的應用等值線使用較為常見，比如海洋表面溫度場等值線應用［10］.一方面，等值線可以在二維空間中構筑某一屬性值的變化情況，甚至可以生成三維空間的曲面形態［8］.考慮到在二維空間中數據的分布是不均勻的，所以，在等值線圖生成之前，首先對數據采用網格化處理，即把不規則分布的源數據進行預處理，形成一個有規則空間矩形網格.源數據的不規則特點，常常造成數據間跨點距離較大，從而出現“空洞”現象，這就需要利用網格化的內插或者外推方法去插入數據點，填補這些“空洞”.常用的插值網格化或者空間插值方法有最近鄰方法和克里金方法等.在最近鄰法中，網格點P（x，y）的屬性值通常取為該點最鄰近點的屬性值.因此，最近鄰點插值的前提必須是數據均勻分布.其與KNN算法類似，針對某屬性使用C-均值算法對所有數據點進行分類，并求得每一類點的平均屬性值，最近鄰點的屬性值，取為該類數據點的平均屬性值.然而，克立金方法也是一種求最優、線性、無偏內插估計量的最優內插法，其作用對象是分布在空間上的數據.與常規算法不同， 克立金方法還考慮了源數據點的空間相關性，不但給出待估計點的數值，也給出衡量精度的方差.到目前為止，克里金方法獲得了多個改進的方法，包括普通克里金、泛克里金法等.兩種算法都是基于空間上變量較為平穩的情況，一方面，平穩指的是隨機函數Z（x）的數學期望m（x）=E｛Z（x）｝與其相對應的x己知，或者一個與x無關的數學期望值.另一方面，準平穩就是指隨機函數Z（x）的數學期望m（x）既不平穩又不是已知.在本文中，綜合考量各因素，空間格網插值運算將采用普通克里金方法進行［11］.

網格化處理前，可將制圖區劃分成m×n個網格數據點，并設X沿方向分割為j=1，2，…，n個點；沿Y方向的分割為i=1，2，…，m個點， 將任一網格點記為gDi，j.設沿X方向單位網格邊長為rN，沿Y方向單位網格邊長為cN，則網格點的坐標計算為：xi，j=j×rN；yi，j=i×cN.由此，網格點區域是由（m-1）×n條縱邊和m×（n-1）條橫邊組成.

假定有n個已知的數據點，通過采用線性組合的方式，可獲得影響范圍內任一點的估計值，即：

在式（1）中，λi表示各已知數據點Z（xi）對應待估值點數值的加權系數，通常為百分比.要解出公式（1）中的加權系數λi（i=1，2，…，n），滿足估值Zv*具有線性、無偏、最小估計方差的條件.由此獲得的λi被稱作Kriging權系數，估計量Zv*稱為Zv的Kriging估計值.此時，得到的估計方差也稱為Kriging方差為. 其求解過程包含2步.

（1）無偏差條件

由Kriging方法的特性可知，如果要滿足Zv*為Zv的無偏估計量，則有：E［Zv*-Zv］=0.或：E［Zv*］=.又因為：.則其無偏特性為：.

（2）估計方差最小條件（最優條件）

因為Kriging方法必須滿足估計方差最小條件的特性，所以其方差計算為式（2）：

在求無偏性條件中，估計方差的最小權系數λi（i=1，2，…，n），就必須求解條件極值，可以通過拉格朗日乘法進行計算.

即：

方程組（3）即為普通Kriging方程組.易知， 該方程組中有n+1個方程和n+1個未知數，方程組顯然是有解的.將n個權系數λi代入到式（1）就可以得出待估計點的數值，代入到式（2）就可以得出表示估計精度的Kriging方差.

2 等值線的生成步驟

到目前為止，通過網格點數據生成等值線的方法很多，其中之一是通過在網格邊做線性插值而得到等值點，再依照某一特定方位的方法對各等值點連線，便得到等值線.另一種方法則通過網格點數據擬合生成一個曲面函數，再細分網格產生更小的網格單元，接著通過曲面函數求解的值對網格點逐單元追蹤形成等值線.

在可視化實現中，使用較多的是網格序列法和網格無關法，它們均屬于等值線抽取算法.其中，網格序列法總體上是根據網格單元的排列順序，逐單元依序處理，追蹤每個單元相對應的點形成線段.此外，網格無關法則是從給定等值線的起點，依據附近點的某一屬性值，找到新的等值點.不斷重復找尋這些等指點，直到新點能與邊界區域連通，亦或回到給定的起點，等值線便形成.考慮到網格序列法遍歷的效率較差，網格無關法是其完善后的方法，效率相對較高.筆者采用的是網格無關法，現假定網格單元為矩形，則生成等值線的主要算法步驟為：（1）依次計算各網格單元特定屬性值和等值線的每一個交點；（2）依序連接每個網格交點，構建相應的等值線線段；（3）連接所有網格區域范圍內的等值線線段，形成該網格區域范圍內的等值線.

3 實驗與分析

3.1 數據來源

通常情況下，數據來源都是相關領域部門提供的，其中大部分是離散數據.規則分布數據多用于內插等值點數據，規律地分布在二維空間中兩組平行線上.格網數據要么來源于實際測量，源數據是通過規則的矩形或網格進行采樣；要么源于任意離散點數據插值.精度要求比較高的一般采用規則分布的數據，類似等高線和攝影測量方面的應用.而在實際生產活動中，得到的源數據大多數是隨機分布的離散型數據.然而，不管哪一類數據，均以離散型數據為主.本實驗所使用數據均來自中國氣象數據網（http://data.com.cn）.

3.2 代碼實現

IDL即交互式數據語言，是一種數據分析和圖像化應用程序及編程語言.簡單地說，它可以迅速地把數據轉化為相應的圖像（二維圖形與三維圖形都適用）.筆者使用的平臺是ENVI/IDL，采用插值網格化Kriging方法的IDL實現，其實現代碼為：

3.3 實現效果

實驗采用插值網格化Kriging方法IDL實現與不使用Kriging方法進行對比分析，獲得等值線效果見圖1；左圖均為未采用插值網格化Kriging方法IDL實現效果，右圖均為使用本文提出的插值網格化Kriging方法的實現效果圖.

從圖1可知：（1）未使用Kriging方法IDL實現效果實現等值線時，等值線的分布相對比較稀疏，這說明單位差值較小；其次，該等值線圖中的線條比較少，而且比較粗糙；另外，等值線的光滑度也不夠，從而影響等值線的分析，也并不能較好地體現出數據的內在含義.（2）使用Kriging方法IDL實現等值線時，等值線分布地比較密集；且等值線圖中的等值線數目較多，相對比較細致一點.不過，與未使用該算法生成的等值線不同，它的線條比較光滑圓潤，這說明在進行光滑處理時的效果不錯.（3）兩種方法中，雖然使用Kriging方法IDL實現相對復雜一點，但是平滑度效果很好，利于我們通過生成的等值線對相應的數據進行分析.因此，使用Kriging方法IDL實現等值線的可視化表達效果更加友好.

當前，實現等值線可視化方法很多，包括比較著名的徑向基函數法、線性三角網法等.衡量可視化的優劣除考慮圖形平滑效果外，還應考慮計算的效率，然而無論哪種計算方法，均與參加可視化運算的數據量有關.在保證一定數據可視化計算的基礎上，算法本身的難易程度與計算效率密切相關.經比較分析，總體上幾種算法在計算效率相當，考慮到篇幅有限，算法比較的性能圖在此不再呈現.

4 結語

筆者基于生成等值線的基本原理與計算方法，重點探討了等值線光滑的離散數據點的插值網格化方法——最近鄰方法和克里金方法，解決跨度較大的離散點間即數據缺失形成“空洞”的情形，通過實例驗證采用插值網格化方法實現等值線圖形的平滑方法，進而提升插入網格點的精度的問題.并針對本文提出的網格插值化Kriging計算方法進行IDL實現，分析得出采用網格插值化Kriging計算方法實現效果略優的一般性結論.當然，算法仍存在一些可以改進的地方，包括大數據體量下性能和可視化效果等，如何獲得更高效的方法生成等值線視圖，從而得到更加準確和美觀的等值線圖.