新課標原教材背景下數學核心素養的培養路徑

南京師范大學課程與教學研究所 陳 蒨 徐文彬

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“數學新課標”）的頒布表明，數學核心素養正式成為義務教育數學課程的核心。那么，怎樣準確理解和把握數學核心素養、怎樣在新課標原教材背景下培養學生的數學核心素養等，都是亟待解決的問題。

一、數學核心素養的發展及其基本內涵

（一）數學核心素養的發展歷程

2014年，教育部印發《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，提出“研究制定學生發展核心素養體系”。 2015年，馬云鵬教授指出，《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011年版數學課標”）中提出的10個核心概念，從嚴格意義上講，表述為“概念”并不合適，它們是思想、方法或者關于數學的整體理解與把握，是學生數學素養的表現。因此，把這10個核心概念表述為數學核心素養是恰當的。2016年，教育部公布的《中國學生發展核心素養》明確提出“學生發展核心素養”是學生在接受相應學段的教育過程中，逐步形成的適應個人終身發展和社會發展所需要的必備品格和關鍵能力。2017年修訂完成的《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017版高中數學課標”）明確提出了“數學學科核心素養”，包括“數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析”，同時提出將“三會”作為提升學生數學素養的指導思想。2022年，數學新課標明確指出，“數學課程要培養的學生核心素養主要包括三個方面，分別是會用數學的眼光觀察現實世界、會用數學的思維思考現實世界、會用數學的語言表達現實世界（即‘三會’）”。至此，數學核心素養正式進入義務教育數學課程標準。

（二）數學核心素養的基本內涵

數學核心素養的內涵包括它的構成與主要表現，其構成就是“三會”，與核心素養的主要表現是密不可分的。可以說，主要表現是“三會”的具體化，而“三會”則是主要表現的內在依據。新課標指出，小學、初中、高中的數學核心素養是一致的，都是“三會”，其主要表現也是一脈相承的，具有整體性和一致性，但也有一些區別，不同階段有不同表現，所以又具有階段性（具體可參見表1）。由此可見，從小學到初中再到高中，數學核心素養的表現不斷抽象和加深：小學階段更具體，更側重意識；初中階段傾向于一般，更側重觀念、能力；高中階段則更為抽象和一般化。譬如，小學階段數學眼光方面的數感、量感、符號意識，到初中都合并為抽象能力，到高中則再上升為數學抽象。這其實體現出了數學核心素養表現的階段性和進階性。

表1 數學核心素養在小學、初中和高中的具體表現

（續表）

具體而言，“會用數學的眼光觀察現實世界”旨在引導學生通過數學的眼光來發現現實世界中的數量關系和空間形式，并通過抽象使之數學化，從而能發現和提出有意義的問題，并用數學的方式加以解決。在義務教育階段，數學眼光主要表現為抽象能力（數感、量感、符號意識）、幾何直觀、空間觀念和創新意識。 “會用數學的思維思考現實世界”旨在引導學生通過數學的思維方式來建立數學對象之間、數學與現實世界之間的聯系，并通過數學運算、邏輯推理等數學的思維方式來分析和解決數學和現實問題。數學思維在義務教育階段主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。 “會用數學的語言表達現實世界”旨在引導學生通過數學語言簡約、精確地描述現實世界中的數量關系與空間形式，通過數學語言建構現實世界的數學模型，通過數學語言描述現實世界的現象等，從而用數學的表達來描述問題、做出決策、解決問題。在義務教育階段，數學語言主要表現為數據意識或觀念、模型意識或觀念、應用意識。值得注意的是，“三會”的三個方面是不可分隔、不可孤立的，它們是一個統一的有機整體。數學眼光、數學思維、數學語言的發展相互融通，指向學生終身發展的正確價值觀、必備品格和關鍵能力。

二、課程目標視角下的數學核心素養及其培養路徑

（一）課程目標演變中的數學核心素養

對比幾次課程總目標的表述可以發現課標內容有兩次重大改變：一是從“雙基”“兩能”到“四基”“四能”的突破；二是從“四基”“四能”到“核心素養”的飛躍。

1.從“雙基”“兩能”到“四基”“四能”的突破

2001年版的數學課標在課程總體目標的表述中雖然也提到了數學活動經驗和數學思想方法，但主要還是強調“雙基”，同時還強調了“兩能”。“雙基”是基礎知識和基本技能，“兩能”是分析和解決問題的能力。2011年版數學課標則明確提出了“四基”和“四能”。“四基”是指基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗，“四能”是指發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。

（1）從“雙基”到“四基”的內涵意蘊

從“雙基”到“四基”的變化是在保留了基礎知識、基本技能的基礎上增加了基本思想和基本活動經驗。也就是說，數學課程需要培養學生的“雙基”，但僅僅有“雙基”是不夠的。馬云鵬教授在訪談中談道，“從‘雙基’到‘四基’是多維數學教育目標的要求”。基礎知識和基本技能是顯性的、可教的、可測的。然而僅僅關注這“兩基”，則會忽視其他也很重要的隱性的方面。所以2011年版數學課標明確提出了“四基”，把基本思想和基本活動經驗放到了與基礎知識和基本技能同樣重要的地位，這是非常正確而且重要的改變。數學教育的目標不能僅僅停留在學生對知識技能的理解和掌握上，它應該更加多元，更加關注學生長遠的數學發展。黃翔等學者指出：“數學基本思想、基本活動經驗是學生在學習過程中獲得的主觀性體驗與感悟，它們與‘雙基’互補，能克服單純的‘雙基’目標過于表層、追求熟練、缺乏對數學本質理解的弱點。”數學基本思想和基本活動經驗無疑是能根植在學生頭腦中的隱性的但對學生有長遠影響的數學素養。

（2）從“兩能”到“四能”的深層邏輯

2001年版數學課標強調的“兩能”是指分析問題和解決問題的能力，這是基于數學教育中對“問題解決”方面的目標和要求提出的。2011年版數學課標則在“兩能”的基礎上進一步拓展，提出了“四能”，也就是增加了發現問題和提出問題的能力。這個變化是非常重要的，有著它的深層邏輯。學生的數學能力不僅表現在拿到問題能分析、解決它，還需要有數學的神經、有發現問題的眼光、有提出問題的能力，這是關乎學生創造力的更加高階的要求。如果學生僅僅做到了分析和解決問題，那他們也就只是問題的操作工、問題的解決者。如果學生不僅有分析和解決問題的能力，還有發現和提出問題的能力，那就能用數學的眼光觀察現實世界，從現實世界中創造性地發現數學問題，用數學的語言提出現實世界中的數學問題，進而再抽象出數學模型，進一步分析和解決問題。

2.從“四基”“四能”到“核心素養”的飛躍

由此可見，2011年版數學課標明確提出“四基” “四能”是非常合理、科學和必要的，而且已經蘊含著“數學核心素養”的影子。2022年版數學課標在2011年版課標基礎上提出“數學核心素養”，同時保留“四基”“四能”。由此足見，“四基”“四能”是數學課程目標的合理內核。數學新課標保留了這一合理內核，在這合理內核的基礎上進一步提出“三會”。“三會”的表述不僅呼應了中國學生發展核心素養的總體要求，而且對通過數學課程培養的學生核心素養進行了生動、準確、科學的描述。這一改變，其實是在2011年版數學課標合理內核基礎上，用“三會”來統領“四基”“四能”，同時對“四基”“四能”提出了更高的要求。“四基”“四能”是發展學生數學核心素養的有效載體，也就是通過“四基”“四能”等目標的達成來進一步達成“三會”目標。“三會”對“四基”“四能”的統領和更高要求體現在“在發現和提出問題的同時要會用數學的眼光觀察現實世界，在分析問題的同時要會用數學的思維思考現實世界，在用數學方法解決問題的過程中會用數學的語言表達現實世界”。

（二）課程目標視角下數學核心素養的培養路徑

通過上面的分析可以看出，數學新課標的課程目標是以學生數學核心素養的發展為導向的，也就是要以“三會”來統領“四基”“四能”。怎樣落實新課標在課程目標中提出的要求，怎樣培養和發展學生的數學核心素養，是所有數學教育工作者需要思考和研究的問題。基于對新課標的研讀和思考，我們認為，義務教育階段學生數學核心素養的培養路徑應從真實情境出發，讓學生完整經歷發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。這一過程不僅要充分展開，而且還要指向學生的數學核心素養。

在這一過程中，應該圍繞數學核心素養的表現讓學生充分經歷數學化的過程，從而促進基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗等目標的達成，最終發展學生的數學核心素養。同時，評價也要圍繞數學核心素養來展開并貫穿始終。

圖1 義務教育階段學生數學核心素養的培養路徑

三、新課標原教材背景下培養學生數學核心素養的有效策略

（一）創設真實情境

數學新課標在課程理念中明確指出，“引導學生在真實情境中發現問題和提出問題”。同時，數學新課標還在核心素養、課程目標、課程內容、教學建議等多處提出要創設真實情境。情境對于學生的數學學習來說非常重要，它是溝通數學與現實世界的橋梁。數學新課標強調“真實情境”，就是要讓學生體會數學與真實世界的聯系，數學來源于真實世界又應用于真實世界。讓學生經歷從真實情境中發現問題和提出問題的過程，其實就是對學生數學眼光的培養。真實情境能引導學生用數學的眼光觀察真實世界，從真實世界中抽象出數量關系和空間形式，從而發現并提出數學問題。從真實情境中發現、提出問題的過程也是學生創新意識的體現，能夠促進學生主動參與數學學習。

“真實情境可以從社會生活、科學和學生已有的數學經驗等方面入手，圍繞教學任務，選擇貼近學生生活經驗、符合學生年齡特點和認知加工特點的素材。”譬如，針對“百分數”，數學新課標把它從“數與代數”移到了“統計與概率”。教師可以結合“百分數”作為一個統計量的特點和學生真實的生活經驗來選擇合適的素材，由此創設出如“派哪位球員參加罰球投籃比較合適”的情境。

首先，這一情境是真實的，是學生在學習、生活中常常接觸到的、比較熟悉的；第二，這一情境突出了“百分數”作為統計量的本質屬性；第三，這一情境能引導學生主動思考，用數學的眼光來分析這一問題，要解決選誰罰球的問題其實就是要解決誰投得最準這一問題；第四，在分析和解決誰投得最準這一問題的過程中，學生能逐步認識百分數、理解百分數、計算百分數、比較百分數，同時積累豐富的數學活動經驗；第五，這一情境能引導學生通過數據分析做出合理的決策，不僅體現了百分數作為一個統計量的價值，還能進一步培養學生的數據意識和應用意識。

（二）親歷數學化

“與其說學數學，倒不如說學習數學化。”數學化其實就是“現實世界—數學內部充分展開—現實世界”的全過程。在中小學生的數學學習過程中，數學化就是學生從現實世界中抽象出數學問題，然后完整經歷數學的學習和研究活動，最后解決問題并應用于現實世界的全過程。學生只有親身經歷這樣的數學化全過程，才能在學習和研究過程中獲得“四基”“四能”，發展數學核心素養。無論是基本思想的形成，還是基本活動經驗的積淀，抑或是數感、量感、符號意識等的培養，都離不開學生積極、主動地參與、實踐、思考和建構。所以，數學核心就是學生經歷完整數學化后所積淀和升華的產物。

眾所周知，數學新課標在數學核心素養的具體表現中比2011年版數學課標的核心詞新增了“量感”，“量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知”。譬如，就“面積單位”的教學而言，第一，以學生熟悉的貼紙為素材創設真實的測量情境。用小長方形、小正方形、小圓片等不同的小紙片密鋪后去量，得到的結果不同，從而引發認知沖突，引導學生理解統一度量單位的必要性。第二，在認識“平方厘米”這一面積單位時，進一步引導學生在測量情境中發現和提出數學問題：1平方厘米是什么？1平方厘米有多大？認識了1平方厘米有什么用？等等。第三，圍繞問題開展認一認、找一找、量一量、估一估等一系列數學活動，讓學生完整經歷認識1平方厘米、尋找身邊的1平方厘米、用1平方厘米的小正方形量物體表面或圖形的面積、估一估物體表面或圖形面積這些活動的全過程。在這一過程中，學生不僅認識了1平方厘米，在頭腦中建立起1平方厘米的表象，還會用1平方厘米的小正方形測量、估計物體表面或圖形的面積，從而發展關于面積單位“1平方厘米”的量感，積累豐富的學習、探索的活動經驗。第四，遷移認識平方厘米的經驗來認識平方分米和平方米。第五，結合現實生活，靈活運用平方厘米、平方分米和平方米。

這樣的教學其實就是引導學生親身經歷數學化的全過程，讓學生從現實情境中發現和提出數學問題，然后充分經歷認、找、量、估這樣的數學活動來分析和解決問題，讓學生的思維充分展開，獲得基礎知識、基本技能，積累活動經驗的同時發展量感，最后把所學運用于現實世界。

（三）評價貫穿始終

數學新課標在評價方面做了大刀闊斧的改革，提出了學業質量標準，建立了指向核心素養的多元評價體系，推進了考試命題的改革。評價對學生學習和教師教學都是至關重要的，好的評價能激勵學生學習、改進教師教學。由此可見，在教學中要充分關注評價。評價應該發生在數學課堂教學活動的每個環節，評價可以幫助教師了解學生在“四基”“四能”以及核心素養發展方面的情況，及時調整教學活動；同時也可以幫助學生了解自己的學習情況，從而促進他們調整自己的學習方式或者把新知納入自己的知識結構中。

數學新課標如此重視評價其實也反映出我們原來的教學對評價關注不夠。其實，沒有評價就沒有反饋，沒有反饋就無法判斷。在新課標原教材背景下，一線教師要高度重視評價，在課堂上要做到眼里有學生，及時根據評價來調整課堂教學，把評價貫穿始終。

首先，在教學設計時就要有對教學設計的評價。教師要反思和追問自己：學生的認知起點在哪里？這樣的設計是否合理？這樣的活動是否可行且高效？這些活動是否指向學生數學核心素養的發展？等等。這樣的課前評價能讓教學設計更加符合教學目標，指向學生的核心素養。其次，在課堂教學的每個環節也需要評價，而且要注意評價方式的豐富性、評價維度的多元性和評價主體的多樣性。評價方式的豐富性體現在可以用多種方式評價學生的學習情況，比如觀察學生參與數學活動的情況、傾聽學生課堂上數學語言的表達情況、用練習或操作判斷學生知識技能的掌握情況、關注學生在核心素養方面的達成情況等。評價維度的多元性就是評價要關注“四基”“四能”、核心素養表現等方方面面。評價主體的多樣性表現在評價不是教師的“一言堂”，學生自身還有同伴之間的評價對學生的學習也是非常重要的。最后，在課堂教學結束后仍需要方式豐富、維度多元、主體多樣的評價。

這樣貫穿始終的評價不僅關注學生學習的結果，也關注學生學習的過程，是指向學生數學核心素養發展的評價。

學生數學核心素養的發展并不是一蹴而就的，它是一個長期的過程，需要學生在一天天有效的數學學習中進行積淀。在新課標原教材背景下，一線教師要用新課標理念來指導數學教學，把握好與學生共同學習、成長的每一節課，促使學生的數學核心素養在每一節數學課、每一個數學活動中拔節生長。