一道期末試題的背景揭示與破解研究

271400 山東省寧陽縣復圣中學 張志剛

一、 試題呈現

試題(2020屆浙江寧波高三上學期期末試卷)已知45x2-12xy+52y2=20，求3x2+4y2的范圍.

本題是二元二次方程約束條件下的二元函數范圍問題，試題設計簡潔清新，構思別具匠心，解法靈活多變，飽含數學思想，凝聚命題專家的智慧.但由于涉及知識點多、綜合性較強、思維跨度較大，呈現出較強的綜合性與選拔性，解答過程需要考生具備較高的數學抽象、邏輯推理、數學運算、直觀想象等核心素養，以及轉化與化歸、函數與方程、分類討論、換元法、配方法等典型數學思想和方法，頗具挑戰性和選拔性.

二、 命制背景

其幾何意義是，設給定目標函數為f(x,y)，約束條件是φ(x，y)=0.如圖1，曲線L為約束條件φ(x，y)=0，f(x,y)=C為目標函數的等值線族.在f(x,y)，φ(x,y)偏導數都連續的條件下，目標函數f(x,y)在約束條件φ(x，y)=0下的可能極值點M(x0,y0)，從幾何上看，必是目標函數等值線族中與約束條件曲線的切點.

圖1

拉格朗日乘數法主要有兩個優點.一是把目標函數和等式約束統一到一個拉格朗日函數中；二是將條件極值問題轉化為無條件極值問題，即通過引入拉格朗日乘數將含有n個變量和k個約束條件的約束優化問題轉化為含有n+k個變量的無約束優化問題.因為在構造的拉格朗日函數中無論約束條件φ(x，y)=0如何，都滿足限制條件.另外，L(x,y)=f(x,y)+λφ(x,y)，其中φ(x，y)=0，不難發現求z=f(x,y)的極值點其實就是求L(x,y)的極值點，兩者的極值是等價的，且與λ無關，至于增加λ的目的在于用待定系數法確定此拉格朗日函數.拉格朗日乘數法能夠保證在取得最優乘數的情況下兩者解的一致性，顯然通過求解拉格朗日函數的最優解來求得原目標函數的最優解是一種更經濟、更便捷的做法.應用該法解答如下.

令L(x,y,λ)=3x2+4y2+λ(45x2-12xy+52y2-20)，

三、 試題解答

拉格朗日乘數法作為一種應用廣泛的約束問題優化算法，其理論上的優越性顯而易見.然而,在實際操作中，學生對拉格朗日乘數法求極值原理的理解需要一個過程，對于求偏導數也是陌生的，此外，聯立方程組求解時對學生運算求解能力要求較高.那么，本題如何用初等數學的方法解決？在高中階段，解決此類問題可以分別從方程有解，函數最值(三角代換或導數)，不等式(如重要不等式、基本不等式、柯西不等式)等途徑尋求突破，消參減元轉化是解決這類問題的基本原則，把雙變量問題轉化為一元函數或方程，再輔助以相應的數學知識和方法解決.

思路1:應用判別式法.對于二元函數取值范圍問題，設目標函數f(x,y)=k，轉化為方程有解，利用判別式Δ≥0構造不等式，也是處理該類試題的常見思路.例如，本題利用目標函數可構造二次齊次式，分子、分母同時除以x2(或y2)，借助換元法將二元方程轉化為一元二次方程有解問題，利用判別式Δ≥0求解.

評注：上述解答過程中，分子分母同時除以x2前，要關注x2是否為0，必要時進行分類討論，以保證邏輯推理的嚴密性、等價性.類似地，當y2≠0時，也可以分子分母同時除以y2.

思路3:重要不等式法.重要不等式a2+b2≥2ab(a,b∈R)(當且僅當a=b時取等號)是探索范圍(最值)問題的有力工具.逆用重要不等式，可將a，b的乘積項放縮為平方和的形式.在本題中，已知條件45x2-12xy+52y2=20中，除了x，y的平方和外，還有x，y的乘積項.而本題目標式是平方和的形式，因此解題的方向也逐漸趨于明朗，即考慮將12xy進行放縮，積極向所求平方和結構3x2+4y2靠攏，其中系數的調控往往需要通過“拆項、添項、配湊”等常見技巧實現.具體過程如下.

評注：解法4、解法5雖然思維方向相反，但都是對條件(或結論)進行變形、配方為平方和為1的典型模式，聯想到三角函數基本關系式sin2θ+cos2θ=1，于是考慮進行三角換元，把雙變量問題轉化為單變量三角函數值域問題，再利用正余弦函數的有界性輕松求解.

思路5:幾何意義.思路4中的兩種解法都是通過變形整理為“兩式平方和為1”的結構，進而進行三角代換解決問題的.那么,如果不化成上述結構形式，例如保留等式右側的數值“20”，是否依然能夠解決問題？另一方面，通過高中解析幾何模塊的學習，可以知道每一種圓錐曲線都與一個二元方程相對應，在討論圓錐曲線的性質時，也總是試圖從圖形中獲取靈感.根據這樣的學習經驗，可以發現本題中已知條件即是二元方程，于是猜想它在幾何上表示何種曲線，能否從幾何視角萌發解決問題的思路，帶著這些疑問進行如下探究.

評注：本題條件是關于x，y的二次方程，容易聯想到圓錐曲線.為此，將方程等價變形，經過旋轉變換后變成橢圓的標準方程，欲求的范圍就是橢圓上的點到中心的距離最值問題.逆向來看，本題的已知條件就是一個經歷旋轉變換之后的橢圓.從幾何視角考察問題顯然更直觀形象，一目了然，也為認識問題的本質提供了全新的視角.

四、 強化訓練

以拉格朗日乘數法為背景的二元方程約束條件下的二元最值問題，歷來是高考和競賽考查的熱點問題，試題一般是函數、方程與不等式知識的綜合應用，技巧性較強，難度較大，可以從函數單調性、導數法、不等式工具等角度考慮，尋求解題靈感，如下面的兩例.

案例1(“超級全能生”浙江省2020年聯考B-10) 已知實數x,y滿足x2-4xy-5y2=5，則x2+2y2的最小值為( )

解析：本題是二元二次方程約束條件下的二元最值問題，可考慮通過上述思路求出極值.限于篇幅，現給出最常用的解法.

思路1:利用導數法.利用目標函數構造齊次式，然后分子、分母同時除以x2(或y2)，換元后將目標函數轉化為一元函數的最值問題，然后通過導數研究函數的單調性，進而求出最值.

①當y=0時，x2+2y2=x2=5.

思路2:運用基本不等式.觀察條件x2-4xy-5y2=5，發現該等式可以通過因式分解等價變形為(x-5y)(x+y)=5，由“積為定值”的結構特征，聯想到進行換元s=x-5y，t=x+y，從而將關于x，y的二元函數轉化為s，t的二元函數，進而借助基本不等式可求出最值.

思路3:拉格朗日乘數法.

案例2(2017清華大學能力測試-12) 已知實數x,y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值是( )

解析：參考案例1，答案為A.

五、 結語

《中國高考評價體系》提出：高考關注與創新密切相關的能力與素養，比如獨立思考能力、發散思維、逆向思維等.而追根溯源可以直擊命題意圖，橫跨縱聯也利于培養學生的發散思維等創新性思維.對于諸多高考真題和模擬題，教師要充分挖掘其意境高深悠遠、再生能力強、探究空間大的優勢，引導學生分析條件，捕捉信息，抓住關鍵，挖掘本質，揭示所求，尋求聯系，形成設想，構建方案，啟迪學生運用開放性、創新性的思維方式應對問題情境.而學生在感知確認、抽象概括、合情推理、語言轉換、審美想象、操作運算、揣摩切磋、思路調整等思維活動中全方位、多角度、多層次地思考問題，綜合運用各種方法，提出新視角、新觀點、新設想，逐步學會有邏輯地思考數學問題，為數學核心素養的落地提供支撐，如此，才是藝術追求、智慧生成、活潑生動的生態課堂.“一題多解”“一題多變”“多題一法”也充分體現了教學的簡約性功能，在盡可能短的時間內傳播盡可能多的數學思想，對題海戰術也是一種“反動”.[2]

需要注意的是，在引導學生探究時須充分考慮學生認知過程的階段性，注重整體設計、分步實施、有序落實、螺旋上升，循序進階.