線性規劃模型及其應用

鄭秋沛

（西藏自治區體育運動技術學校 西藏 拉薩 850000）

模型是揭示某一研究對象的性能和特征而建立的結構，咱們所說的數學模型是一個數學結構而不局限于一個函數關系式，以往數學規劃也被稱為最優化問題。那么我們為什么要選擇建立數學規劃模型？因為通過建立模型經常能揭示出許多不明了的關系，建立模型后，人們可以利用數學工具對它進行分析，從而幫助我們提出那些不是顯而易見的行動方針。根據決策變量、目標函數和約束條件的不同，數學規劃可分為：線性規劃、（線性）整數規劃、非線性規劃、動態規劃。[1]本文所探討的便是這其中的一個分支：線性規劃，這是求解最簡單的一種規劃問題。如果能利用線性規劃描述一個規劃問題，則說明我們得到了一個簡單容易處理的模型結構，而簡單容易處理是模型好壞的重要判別依據。

1.簡單線性規劃在高中教學中的應用

在高中階段的數學學習中，我們經常會遇到一些光靠筆算推理解決不了的問題，比如在含不等式的函數中的求取值范圍的問題，按照一般思路，我們很難求解，如果我們運用簡單線性規劃構建模型的方法便能輕松解出。因此，我們將高中所學線性規劃問題進行歸類，這樣有助于高中學生更好的學習并使用線性規劃。解題策略方面，我們大致可總結出四種結論：（1）利用縱截距（2）利用兩點間距離（3）利用斜率（4）利用點線距離。線性規劃課程基本按照“畫”“作”“求”“答”四個步驟，是以程序化的模式組織起來的邏輯體系。

我們高中所學線性規劃問題大致可分為以下幾類：

（1）簡單線性規劃在函數與不等式中的應用

例1 設函數f（x）=ax2+bx,且-1≤f（-1）≤2,2≤f（1）≤4,求f（-2）的取值范圍。

分析：在我們沒學習線性規劃的之前，做這樣的題，我們只能先求出a,b的范圍，之后才能求出f（-2）的范圍，但是，求a,b的范圍我們是很容易出錯的，而現在我們學習了線性規劃知識，那就無需按照老方法計算這樣的題。

做出以上不等式組所表示的平面區域，即可行域，并做出平行線族4a-2b=Z，如圖。然后再從圖中尋找特殊點分別代值，即可求出目標函數的最大值與最小值。

通過上述舉例論證，我們可以得出，簡單線性規劃對解決不等式問題很有效。因為這種方法的習得，大大的方便了我們對高中數學學科中難度問題的研究。雖然線性規劃知識在高中數學課程里是一個相對獨立的知識系統，但它與直線方程、不等式、函數、圓錐曲線都是有緊密聯系的，學生解這一類題需要完美的將線性規劃知識和直線方程、不等式等知識相結合，通過老師在課堂上反復的給學生講解和操練，加強學生對數形結合思想的理解與掌握，學生在理清各種約束條件及目標函數后，通過作圖建立可行域，便可將此類問題輕松解出。

（2）簡單線性規劃在應用性問題中的應用

例24枝郁金香與5枝丁香的價格之和小于22元，而6枝郁金香與3枝丁香的價格之和大于24元，則2枝郁金香和3枝丁香的價格比較的結果是什么？

分析：首先，這道題并不是很難，學習過線性規劃知識的同學都能知道，題干中涉及兩種花的價格比較，這里可以直接采用設未知數來解決。我們就設郁金香價格為x元，丁香價格為y元，然后直接將兩者價格代入題干所給的信息，直接能得到幾個不等式，我們將所得不等式建立好模型。

解：設郁金香價格為x元，丁香價格為y元

目標函數為Z=2x-3y

作出一組平行線2x-3y=t（t為參數），該平行線族會經過可行域內的點，此時只需觀察t的正負即可。

由于直線4x+5y=22與6x+3y=24的交點為A（3，2）,直線2x-3y=0恰好經過點A，因此經過可行域的點且斜率為2/3的直線在y軸上的截距為負，即從而t＞0,所以目標函數Z=2x-3y的值總是大于0.所以2枝郁金香比3枝丁香貴。

應用型題目這些年來頻繁在各地中高考中出現，而調配人力、物力、資金的問題更是屢見不鮮，只能說明現在的中高考出題也越來越貼近生活。這方面也確切說明了解決生活中很多問題也離不開線性規劃知識的學習。同樣又體現了這一類問題雖然常常是考生覺得棘手的但又是不得不掌握的。不過現在我們學習了線性規劃，這類問題還是比較好解決的。

（3）簡單線性規劃在解析幾何中的應用

利用線性規劃“同側同號，異側異號”的結論，不僅可以求動直線和定線段問題，無需畫圖，又可避免討論，而且還可以延伸到解決圓錐曲線中的問題，簡潔明快。[2]

由上述可知，線性規劃在我們整個高中學習生涯中占了一定的主導地位，學好有關它的知識，對我們將來的學習和發展都十分有利。比如，有些愛好數學的小伙伴大學時填報與數學有關的專業，你有一定的有關線性規劃的基礎，你在學習運籌學、解析幾何、數學建模等課程就比其他人多一點優勢；再比如你想學習物理或計算機方面的專業，有時候建立模型也離不開我們之前學的線性規劃知識；再比如，一些小伙伴以后想從事與經濟、管理等等有關的工作，這也離不開線性規劃知識的應用。

2.線性規劃模型在生活中的應用

線性規劃在生活中的應用就可謂是無孔不入，它不像高中數學只是某幾個板塊才需要，而是大部分生活問題的解決都需要用到線性規劃知識。在實際生活中，我們所得到的約束條件可能就不像筆者在前面所舉例的題目中那小小的兩個了，所要求解的目標函數可能也不止那么簡單了。

首先，線性規劃的數學模型的一般形式為：

目標函數：max（min）z=c1x1+c2x2+...+cnxn

滿足的約束條件：

這就和我們之前涉及的只是兩個變量兩個約束條件完全不是一個檔次了。一般來講，我們所建立的數學模型具有這幾個特點：（1）每個模型都有若干個決策變量，且這些變量都是非負的。（2）目標函數是決策變量的線性函數，根據具體問題可以最大或最小化，二者統稱為最大化。（3）約束條件是線性函數。

我們將線性規劃的知識運用到企業中去，可以使企業適應市場激烈的競爭，并及時、準確、科學的制定生產計劃、投資計劃、對資源進行合理配置。過去，企業在制定計劃、調整分配方面很困難，考慮到諸多因素，企業不可能做什么決定都去進行人工測算，那樣真的是耗時耗力又耗資源，先不說在進行人工測算之后所做的決斷對企業來說到底是盈利還是虧損，但這前期的投入可能就付諸東流了。[3]再者，人工預算也不能做到靈活機動，若市場稍微出點變動，之前所做的測算可能就得從頭再來。但是，如果我們運用線性規劃知識并配合計算機建立模型進行測算，就顯得主動很多，這種方式簡便易行，在短時間內就能拿出最優方案，不僅降低了成本，還提高了企業決策的科學性和可靠性。

將實際生活中的線性規劃問題，抽象為數學形式，目的在于找到解決問題的方法。為此，我們作以下一些討論。

例3：某工廠在計劃期內要安排生產Ⅰ、Ⅱ兩種產品，已知生產單位產品所需的設備臺時及A、B兩種原材料的消耗，如表1所示：

ⅠⅡ設備 1 2 8臺時原材料A 4 0 16kg原材料B 0 4 12kg

該廠每生產一件產品Ⅰ可獲得2元，每生產一件產品Ⅱ可獲利3元。問應如何安排計劃，使該工廠在限定條件下獲利最多？

顯見，這個問題可以用以下的數學模型來描述：

設x1,x2分別表示在計劃期內產品Ⅰ、Ⅱ的產量，因為設備的有效臺時8，這是一個限制產量的條件，所以確定產品Ⅰ、Ⅱ的產量時，要考慮不超過設備的有效臺時數，即可用不等式表示為:x1+2x2≤8.同理，因原材料的限量，可以得到兩個不等式：4x1≤16,4x2≤12.用z表示利潤，這時z=2x1+3x2,綜合上述，此計劃問題可用數字模型表示為：

數：z=2x1+3x2

根據約束條件作出可行域，找出滿足目標函數的最優解便是最大獲利。這里只涉及兩個變量，因此我們可以不用計算機構建模型。

企業在生產、運輸、市場營銷等方面，不能很好的利用線性規劃進行合理的配置，往往會造成增加企業生產卻不能使企業利潤達到最大化的局面，還有可能會造成另一種更為嚴重的局面，就是實踐模擬了一大堆之后發現計劃落了空，不管是哪一種局面，都會為企業造成不必要的資源浪費。在競爭日益激烈的今天，如果某個企業的管理還按照老辦法制定決策時采用人工測驗，那么這個企業的發展前景是堪憂的。通過以上一系列舉例說明以及陳述，我們便能看出，線性規劃不光能解決高中課程中遇到的問題，比如高中數學中的不等式及函數應用，還能解決我們生活中遇到的各種問題，比如求最大利潤或最小消耗等問題的最優解。隨著線性規劃模型的發展，我們已經看到了運用線性規劃模型的必要性和重要性。