層間多次波傅里葉有限差分偏移成像

黃建東， 胡天躍， 王尚旭

1 北京大學地球與空間科學學院， 北京 100871 2 中國石油大學(北京)油氣資源與探測國家重點實驗室， 北京 102249 3 清華大學數學科學系， 北京 100084

0 引言

要實現深層復雜構造的高精度成像，多次波是一個不可忽視的問題.在勘探地震學領域，多次波指的是在地層中發生過一次以上向下反射且被地表檢波器接收的地震波.按照反射層位不同，多次波可分為表面多次波和層間多次波.在傳統成像方法中，多次波通常被認為是一種噪聲，會使反射波發生畸變.在深層地區，層間多次波能量高于反射波能量導致拾取不準確的速度譜，嚴重影響地震偏移成像和解釋精度.因此，地震數據中的多次波必須被壓制，這個過程也稱為去噪.多種方法被用于壓制層間多次波，有逆散射級數法(Weglein et al., 2003；Araújo et al., 1994；Yang and Weglein, 2017)，拉東變換法(Sacchi and Ulrych, 1995；Sacchi and Porsani, 1999；Abbad et al., 2011)，預測反褶積方法(Peacock and Treitel, 1969；Taner, 1980)，虛同相軸方法(Ikelle, 2006；吳靜等，2013；Liu et al., 2018)等.

研究發現多次波攜帶的構造信息比反射波更加豐富，包括小角度信息，且有更高的橫向照明孔徑和覆蓋范圍(如圖1所示).因此，許多學者致力于研究多次波成像.多次波成像研究大致可分為以下幾類：一種是將表面多次波轉化為反射波，再利用傳統的逆時偏移方法進行成像(Berkhout and Verschuur, 2003; Verschuur and Berkhout, 2005).或者是將炮集數據作為正傳波場，基于預測方法獲得表面多次波數據作為反傳波場，再利用互相關方法進行偏移成像(Liu et al., 2011；Liu et al., 2015).還有一些學者基于反演思想，利用最小二乘方法對表面多次波進行成像，提高成像質量(Liu et al., 2016, 2020).葉月明等(2019)提出只利用一階和二階表面多次波進行成像，進一步提高多次波的成像效果.Wapenaar等(2014)詳細推導了Marchenko方程，創新性地提出利用Marchenko方法對層間多次波進行聚焦成像，但是目前只是停留在理論階段.Berkhout (2014a,b)提出利用伴隨方法對層間多次波進行成像.Li和Wang(2019)提出基于稀疏約束反演的表面多次波成像方法.劉伊克等(2018)詳細推導并分析了多次波成像的基本原理，指出多次波成像的巨大挑戰在于不同階次多次波對應的地震波場之間互相關將產生大量的串擾噪聲.目前有效降低串擾噪聲方法有最小二乘逆時偏移成像(劉學建和劉伊克，2016)，或是將一次波和多次波進行聯合反演成像(Lu et al., 2011).上述可知，多次波成像研究在表面多次波方面比較完善，在于表面多次波傳播機理比較簡單，容易進行預測和識別，與一次波具有一定的周期性關系.而層間多次波形成機理復雜，研究難度大，對層間多次波研究比較少.但是層間多次波的存在嚴重影響深層地震勘探研究，尤其對于陸地勘探，層間多次波極為發育，嚴重影響地震數據的處理和解釋.在中國西北和西南地區，碳酸鹽巖儲層的層間多次波發育，嚴重降低該地區儲層成像和解釋的準確度.利用層間多次波成像可以增加復雜構造區域的有用信息，輔助勘探區塊解釋.對于油氣勘探來說，層間多次波成像是非常重要的.但是，由于其成像的復雜性，科學界對利用層間多次波進行成像的研究也相對較少.

圖1 地震波傳播示意圖Fig.1 Diagram of seismic wave propagation

本文通過修改傳統傅里葉有限差分偏移方法，使得該方法適用于層間多次波成像.將層間多次波作為反傳數據，利用修改的相關成像條件對層間多次波進行偏移成像.針對不同階層間多次波之間產生的串擾問題，基于波場延拓和全波場方法獲得對應階的上下行波場，對分離波場分別成像.在數值部分，利用不同的模型驗證層間多次波傅里葉有限差分偏移方法的有效性和適用性.

1 層間多次波成像原理

1.1 方法和理論

傳統地震波成像方法是在每一個深度點利用一次反射波的正傳波場和反傳波場在t=0時刻進行互相關成像(如圖2a所示).但是接收到的實際地震資料不僅包含一次反射波，還有不同階次的多次波.多次波成像條件與一次反射波成像條件不同，利用傳統互相關方法對含有多次波的地震數據進行偏移成像，會形成許多虛假的同相軸，影響地震剖面的構造解釋.表面多次波逆時偏移成像基本原理是利用一次反射波作為震源激發正傳波場與表面多次波作為震源激發反傳波場進行互相關成像(如圖2b所示).

圖2 互相關成像示意圖(a) 一次反射波成像； (b) 表面多次波成像.Fig.2 Diagram of cross-correlation imaging(a) Migration imaging for primaries; (b) Migration imaging for surface multiples.

本文提出利用傅里葉有限差分偏移方法進行層間多次波成像，基本原理如圖3所示，在每一個深度點對正傳多次波波場和反傳波場進行互相關成像.對于M1成像路徑來說，正向傳播波場傳播至x1點與M1檢波點的反向傳播波場相遇成像；對于M2成像路徑，正向傳播波場傳播至x2點與M2檢波點的反向傳播波場相遇成像.對于其他類型層間多次波成像路徑，可以此類推.圖中的紅色圓點表示層間多次波成像的位置.

根據Liu等(2011)提出的多次波成像理論，本文進一步發展完善，提出一種只針對層間多次波的成像公式，其表達式為

(1)

其中，Im表示成像結果，MF表示正向傳播波場，MB表示反向傳播波場，tmax表示最大的接收時間.符號M表示所有階次的層間多次波，進一步將其展開可得：

圖3 層間多次波成像示意圖Fig.3 Diagram ofmigration imaging for internal multiples

M(x,z;t)=M1(x,z;t)+M2(x,z;t)+M3(x,z;t)+…+Mn(x,z;t)，

(2)

其中，M1表示一階層間多次波，M2表示二階層間多次波，Mn表示n階層間多次波.把公式(2)代入公式(1)中展開可得：

+…，

(3)

式中，第一項表示不同階次層間多次波的真實成像結果，第二項和第三項表示假成像結果.根據公式(3)可知，假成像結果的組合數明顯多于真成像結果.因此利用層間多次波進行成像，由于不同階數多次波之間的成像條件不同，對多次波使用單一成像條件時，會導致不同階數多次波之間形成串擾噪聲，降低成像質量.劉伊克等(2018)、劉學建和劉伊克(2015)文章中也指出過表面多次波成像的串擾噪聲問題.但是對于層間多次波來說，其成像條件更加復雜，不僅不同階數的多次波之間會形成串擾，即使是同階層間多次波之間也會形成串擾.這是層間多次波區別于表面多次波的特征之一，也是目前無法對實際地震資料中層間多次波進行有效成像的根本原因.但是進一步的試驗發現，利用層間多次波成像形成的真實構造同相軸能量比虛假構造的同相軸能量更強，且具有一定周期性，可利用一些疊后去噪方法消除虛假構造，如疊后虛同相軸方法，濾波方法等.本文不考慮去噪問題，對所有成像結果沒有進行壓制處理.

1.2 傅里葉有限差分偏移

橫向非均勻介質中的二維頻率域單程波方程表達式為

(4)

(5)

(6)

和

(7)

其中，方程(5)是相移算子(Gazdag, 1978)；方程(6)是慢度修正算子(Stoffa et al.,1990),Δl=1/v-1/v0表示慢度；方程(7)是橫向上強速度差異的修正算子(Huang and Fehler, 2000)，a和b為優化系數.

基于傅里葉有限差分延拓算子和全波場(FWM)方法(本文不再贅述，具體原理可參考Berkhout，2014a，b；匡偉康等，2020；Huang et al., 2021)，可以得到不同階次層間多次波對應的上行波場和下行波場.再由上一部分提供的層間多次波成像理論依據，推導得到多炮頻率域層間多次波互相關成像條件為

R(zm,xn)=

(8)

其中，R表示反射系數，即成像結果，N表示炮數，σ表示穩定常數，[·]*表示[·]的共軛.基于層間多次波的互相關成像條件，可在每個深度點上對層間多次波進行偏移成像.而上下行波場分別成像可在一定程度上壓制層間多次波成像中的串擾噪聲.

2 數值實驗

本節中，若干個模型被用于驗證本文所提出層間多次波成像方法的有效性和適用性.第一個模型用于測試方法的正確性；第二個模型用于測試方法對橫向不均勻介質的適應性.最后，基于SEG/EAGE鹽丘模型和Sigsbee模型產生的層間多次波進行偏移成像，驗證了利用層間多次波偏移成像對一些特殊構造如斷層，孔洞，裂縫等擁有更高的成像精度.

2.1 層狀介質模型

構建一個三層層狀模型，如圖4所示.模型的大小為2000 m×2000 m，網格大小為10 m，縱向和橫向上分別有201個網格點.炮間距為100 m，總共21炮.模型速度從上到下依次為2300，1500，3000 m·s-1，產生兩個強反射界面.介質的密度為2000 kg·m-3，震源為30 Hz的雷克子波，時間采樣間隔為 1 ms.利用Berkhout(2014a,b)提出的全波場方法，可以得到全波場地震記錄，包括反射波，各階表面多次波和各階層間多次波.

圖4 層狀介質模型Fig.4 Layered media model

本文主要是研究層間多次波，假設模型表面為吸收邊界條件.圖5是被地表檢波器記錄的反射波，一階和二階層間多次波炮集數據.基于本文修改的互相關成像條件對層間多次波進行偏移成像.對于該層狀模型來說，不同階次的層間多次波成像路徑如圖6所示，紅色圓點表示成像點.利用層間多次波的正傳波場和反傳波場在每個層位點進行互相關成像.圖7是反射波和不同階次層間多次波偏移成像結果對比，其中(a)是一次反射波偏移結果，(b)和(c)分別是一階和二階層間多次波偏移結果.從偏移結果可知基于圖6成像路徑，應用層間多次波層上成像，由于層間多次波在第一個反射界面上沒有成像點，無法在該層位進行成像(圖7b和c).和原始速度模型對比可以看出第二個反射界面構造通過層間多次波偏移成像準確恢復.該實驗結果驗證了本文修改的層間多次波成像方法的準確性和可用性.

圖5 合成地震記錄(a) 全波場記錄； (b) 一次波； (c) 一階層間多次波； (d) 二階層間多次波.Fig.5 Synthetic seismic record(a) Full wavefield record; (b) Primaries; (b) First-order internal multiples; (b) Second-order internal multiples.

2.2 傾斜界面模型

簡單的層狀介質模型驗證了本文方法的正確性.為了進一步驗證其對復雜模型的適用性，一個傾斜界面模型被構建，速度結構如圖8所示，該模型含有一個較陡的傾斜界面，兩個平層界面.模型大小為2000 m×2000 m，速度從上到下依次為3000、4000、4500和3500 m·s-1.利用上面所提出的成像條件對該模型的層間多次波進行偏移成像.圖9是層間多次波偏移成像結果，從圖中可以觀察到除了真實的地層層位，還有一些虛假的層位結構產生，并且第一個反射界面缺失.橙色箭頭所指的是真實層位的同相軸，而黑色箭頭所指的是虛假層位的同相軸.通過前面理論部分對層間多次波成像的原理分析，可以知道虛假構造是由于同階層間多次波之間相互串擾導致的.但是進一步觀察發現，真實層位對應的同相軸比虛假層位的同相軸能量更強，且它們之間存在一定的周期性關系.和原始的速度模型對比，可知恢復的真實層位同相軸很好地反映了模型的地層結構.

圖6 層間多次波偏移成像示意圖(a) 一階層間多次波相關成像； (b) 二階層間多次波相關成像.Fig.6 Diagram ofcross-correlation imaging for internal multiples(a) First-order internal multiples cross-correlation condition; (b) Second-order internal multiples cross-correlation condition.

圖7 平層模型地震波偏移成像結果(a) 一次波偏移結果； (b) 一階層間多次波偏移結果； (c) 二階層間多次波偏移結果.Fig.7 Seismic wave migration of horizontal layer model(a) Migration imaging for primaries; (b) Migration imaging for first-order internal multiples; (c) Migration imaging for second-order internal multiples.

圖8 傾斜界面模型Fig.8 Tilt interface model

圖9 層間多次波偏移成像結果 橙色箭頭表示真實層位構造(能量強)，黑色箭頭 表示虛假層位構造(能量弱)Fig.9 Migration imaging for internal multiples, where the orange arrow indicates the real structures (strong energy), and the black arrow indicates the false structures (weak energy)

2.3 SEG/EAGE鹽丘模型

由于地下鹽丘高速體的存在，對地震波傳播有一定屏蔽作用.常規的反射波成像無法恢復鹽下構造，導致鹽下構造成像不清楚，而層間多次波成像對鹽下構造恢復擁有一定的優越性.本文利用SEG/EAGE鹽丘模型進行層間多次波成像.圖10是鹽丘速度模型，該模型含有多種復雜的構造—高速鹽丘體、復雜的斷層和裂縫.使用主頻30 Hz的雷克子波作為震源，最長的記錄時間為6 s，1ms采樣間隔.該模型橫向上有1341個網格點，縱向上有301個網格點.

圖10 SEG/EAGE聲波速度模型Fig.10 SEG/EAGE acoustic velocity model

圖11是一階層間多次波下行波場偏移成像結果.從圖中可觀察到鹽丘模型主要層位都得到了準確的恢復，但是由于不同層位產生的同階層間多次波存在成像串擾，所以會出現一些虛假同相軸.受高速鹽丘體的影響(速度差異大)，在鹽丘體附近的層間多次波能量非常強，多次波偏移成像結果更加清楚.而遠離鹽丘體地區，由于地層之間波阻抗差異小，導致多次波不發育，多次波成像效果不明顯.圖12是反射波偏移成像結果，可以觀察到淺層以及鹽丘體上面的構造恢復非常好.但是鹽丘體下面構造的同相軸能量非常弱，甚至缺失，成像非常不清楚，這是由于高速鹽丘體的屏蔽作用造成的.圖13是一階層間多次波上行波場偏移結果，可以看到鹽丘體附近的構造恢復非常好，尤其是鹽下地層和裂縫構造非常清楚.這是由于鹽丘體附近波阻抗差異大，產生的多次波能量強，成像效果也更好.但是不可避免地產生了串擾噪聲.通過對比圖12和13，可以觀察到層間多次波對于鹽丘體以及斷層構造的成像具有良好的優越性.在反射波偏移結果中，由于高速鹽丘體的存在，掩蓋了鹽下構造，層位恢復不明顯，甚至缺失.而對于層間多次波，鹽下構造成像非常明顯，斷層和裂縫同相軸信息得到準確恢復.紅色箭頭表示地層的同相軸對比，黃色框內的同相軸表示裂縫構造.結果說明層間多次波成像可以彌補反射波成像的不足，增加偏移成像的構造信息，對于復雜的構造，也比反射波擁有更高的成像優越性.多次波成像也為地下成像提供了額外的照明度.圖14是反射波偏移和層間多次波偏移的照明度對比，在右邊使用相同炮數的疊加結果.可以看出層間多次波在橫向上擁有更寬的照明度.

圖11 層間多次波下行波場偏移成像Fig.11 Migration imaging for first-order internal multiples based on down-going wavefield

圖13 層間多次波上行波場偏移成像Fig.13 Migration imaging for internal multiples based on up-going wavefield

圖14 地震波照明度對比(a) 反射波； (b) 層間多次波.Fig.14 Comparison of seismic wave illumination(a) Primaries; (b) Internal multiples.

2.4 Sigsbee 2B模型

Sigsbee 2B模型是非常復雜的儲層模型，包含有不同尺度和不同組合的孔洞，高速鹽丘體，斷層等構造，速度結構如圖15所示.利用本文的層間多次波傅里葉有限差分偏移方法對其進行成像.層間多次波成像結果如圖16所示，由于地層結構非常復雜，利用層間多次波進行成像，串擾噪聲非常嚴重.噪聲嚴重掩蓋了真實的地層層位，但是高速的鹽丘體形態大小非常清楚，以及鹽丘體附近的能量非常強，孔洞組合形態也很清晰.

圖15 Sigsbee 2B 速度模型Fig.15 Sigsbee 2B velocity model

圖16 層間多次波偏移結果Fig.16 Migration imaging for internal multiples

圖17 局部放大圖(a) 區域1； (b) 區域2.Fig.17 Zoomed view(a) Area 1 ofFigure 16; (b) Area 2 ofFigure 16.

圖17是圖16局部區域1和2的放大圖，和原始的速度模型對比，發現利用層間多次波成像方法得到的構造與真實層位構造都可以準確對上.即使多次波的串擾噪聲嚴重，地層的結構也是非常清楚.不同地層之間會產生成像串擾噪聲，但是真實層位恢復的能量比虛假層位能量高.數值實驗的結果也驗證了本文方法的可靠性.

3 討論和結論

層間多次波傅里葉有限差分偏移是單程波偏移方法進一步的發展，通過循環方式可獲得不同階次的層間多次波場，同時將層間多次波進行反向傳播，與正傳多次波場相關成像.和反射波偏移方法相比，本文通過修改傳統成像條件獲得適用于層間多次波偏移的成像條件.

層間多次波傅里葉有限差分偏移方法利用層間多次波進行偏移成像，可以準確恢復地層的結構，同時也會產生許多的串擾噪聲.數值實例證明層間多次波成像方法對鹽下構造恢復、裂縫和斷層成像效果更加明顯.而一次反射波對簡單構造成像精度高，對鹽下構造成像精度不足，利用層間多次波成像正好可以彌補這一缺點.層間多次波在波阻抗差異大的地區更加發育，成像也更加清楚.層間多次波偏移成像可以幫助恢復鹽丘體下方的地層結構，為下地表成像提供額外的照明.同時層間多次波成像也為地震波成像提供了一個可用的思路，將地震波中的一次反射波和層間多次波進行分離，分別進行成像.但是層間多次波的形成機理非常復雜，不同地層的層間多次波波場會相互之間形成串擾，導致其成像困難，這也是我們下一步解決的問題之一.同時該方法也可進一步發展到三維層間多次波成像.