基于“三教”理念培育學生數學學科核心素養
——以二次函數與一元二次方程、不等式為例

邵 澤

(云南師范大學數學學院，云南昆明，650500)

培育學生核心素養是我國教育的應然要求，數學作為高中階段的一門重要學科，數學教學中培育學生數學學科核心素養不容忽視.教育部印發的《全面深化課程改革 落實立德樹人根本任務的意見》明確指出將立德樹人長效地貫徹在教育的每一個階段，對學科核心素養的培育即是落實立德樹人根本任務的主要要求之一.教師教學應從關注知識的傳授上升為關注學生人格的培養，在發展關鍵能力的基礎上，形成正確的價值觀和必備的品格.數學是學習物理、化學等學科的基礎，也是參加社會生產和生活的基礎，培養數學學科核心素養至關重要.數學學科核心素養是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現[1].在高中數學教學、學習壓力大的形勢下，數學教學中“唯分數論”現象明顯，教學以關注學生知識的掌握、考試成績為主，與立德樹人根本目標背道而馳.現代教育背景下，改變該現象迫在眉睫.

貴州師范大學呂傳漢教授于2014年提出在數學教學中教思考、教體驗、教表達(簡稱“三教”)的教育理念，在“三教”教育理念的引領下讓學生學會思考數學、體驗數學和表達數學，進一步培育學生的學科核心素養[2].教思考，旨在培養學生的數學思維；教體驗，旨在突出學生的主體地位；教表達，旨在培養學生的數學交流能力.教思考、教體驗與教表達“三教”并舉，讓學生在體驗中思考，思考中體驗，最終進行規范的數學表達，并在表達中進行再思考、再體驗.

在高中數學教學內容中，人教A版數學新教材二次函數與一元二次方程、不等式是由初中較為具體的數學知識到高中較為抽象的數學知識的過渡并與初中數學知識具有較強聯系，蘊含了豐富的數學學科核心素養.二次函數與一元二次方程、不等式內容與舊教材一元二次不等式及其解法內容相比變動較大，加強了與初中知識的聯系，將其與二次函數和一元二次方程結合起來，更具邏輯性.而在一定的程度上，教師教學該內容時仍不能脫離舊教材的形式，僅把一元二次不等式解法作為該節內容的教學重點，此背景下學生對其學習也存在一定困難，往往局限于求解一元二次不等式的形式上.為培養學生數學學科核心素養，本文選取二次函數與一元二次方程、不等式為例，借助呂傳漢教授的“三教”教學理念進行教學設計，旨在設計落實核心素養的高中數學教學案例，以期為一線教師提供參考.

1 二次函數與一元二次方程、不等式的教學設計

1.1 內容分析

一元二次函數、一元二次方程及一元二次不等式貫穿函數、方程及不等式內容，具有廣泛應用性，是學好后續函數、導函數性質等內容的基礎.本節內容用函數的觀點把方程和不等式聯系起來，突出函數觀點統一方程和不等式的數學思想方法，在教學過程中不僅要關注不等式的解法，更要重視對學生數學思想方法的傳遞.事實上，在初中的學習過程中，學生已經學習了一元二次函數及方程，掌握了用一次函數看一元一次方程和不等式的方法，且在前面等式性質與不等式性質的學習過程中對不等式有了深刻的認識.該節內容在學生已有認知上提升了對數學抽象等核心素養的要求，突出數學思想方法，教師教學必須利用學生已有基礎，培育數學核心素養，再次強調用函數觀點統一方程和不等式的思想方法.

1.2 教學目標及重、難點

教學目標及重、難點教學設計是整個教學設計的核心所在，教學過程設計往往是圍繞目標及重難點設計展開的.筆者在仔細研讀普通高中數學課程標準的基礎上，結合“三教”教育理念及學生已有認知設計合理的教學目標及重難點.

教學目標：從實際數學情境中認識一元二次不等式的定義；根據實際問題引發學生思考，為解決實際問題進行再思考再體驗；體驗具體二次函數的作圖過程，回顧一元二次方程的解，通過觀察二次函數圖象建立二次函數與方程的聯系，層層遞進建立二次函數與一元二次不等式的聯系；經歷特殊推廣到一般的過程，掌握二次函數與一元二次方程、不等式的對應關系；用嚴謹的數學語言表達解一元二次不等式的步驟，建立數學自信.

教學重點：了解一元二次不等式的定義，會求解一元二次不等式并用集合表示解集.

教學難點：掌握二次函數與一元二次方程、不等式的對應關系，體會用函數觀點統一方程和不等式的數學思想方法.

1.3 教學過程

數學教材是數學教學的重要資源，該教學設計主要圍繞教材展開，以教材為主線貫穿教思考、教體驗、教表達，培養學生數學核心素養.教學過程主要包含一元二次不等式定義構建、二次函數與一元二次方程、不等式關系構建；二次函數與一元二次方程、不等式關系表達；一元二次不等式應用及再思考四部分.以問題串的形式對每部分的教學進行設計，旨在讓學生在問題中思考、體驗并表達.

1.3.1 一元二次不等式定義建構

思考問題1：園藝師打算在綠地上用柵欄圍一個矩形區域種植花卉.若柵欄的長度是24 m，圍成的矩形面積要大于20 m2，則這個矩形的邊長為多少米？

首先將矩形一條邊長設為x，根據面積公式結合題意的(12-x)x>20，其中x∈{x|0

設計意圖：以生活中的實際問題為導向，讓學生體會到數學來源于生活又應用于生活.課堂一開始，立即激發學生對本節課的學習興趣，同時引發學生的“數學思考”，在“數學思考”的過程中培養學生用數學的眼光看世界的思維習慣.并在具體問題的解決過程中發現問題，提出新問題，抽象出一元二次不等式的定義.

值得注意的是，解決思考問題1這類問題的核心在于提取問題關鍵信息，構建恰當的數學模型.教師應該著重引導學生在頭腦中構建出柵欄模型，把文字信息轉化為數學信息，使實際問題數學化、直觀化，既做到把實際問題與數學問題緊密結合，又能培養學生邏輯抽象的數學學科核心素養.另外關于變量x的取值范圍學生也易忽視，應該著重強調，體現數學的嚴謹性，養成良好的數學學習習慣.

事實上，思考問題1屬于創設實際情境，引入課例環節.此環節中，教師容易忽視數學知識本質，僅以激發學生學習興趣作為情境目標顯然是不夠的.問題情境必須緊緊圍繞數學知識，以教會學生數學地思考為目標，在此基礎上激發學生數學興趣.因此必須對提出的問題深入探究直至解決.

1.3.2 二次函數與一元二次方程、不等式關系建構

思考問題2：要解決思考問題1，必須求出思考問題1中得到的不等式解集，即能得出種植花卉的柵欄矩形的邊長，問題1中不等式的解集應該如何求解？通過初中的數學學習，我們已經掌握了從一次函數的觀點看一元一次方程、一元一次不等式(三個“一次”)的思想方法，所以先解決如下問題：

a) 解方程2x+3=0.

b) 作函數圖象y=2x+3.

c) 解不等式2x+3>0及2x+3<0.

設計意圖：突破數學教學中常用的教師為主體的復習導入法，以問題解決的形式對已有知識進行回顧，再次引發學生深入思考回顧，喚起元認知，加深對已有知識的把握，同時為引出本節重點內容(三個“二次”)打下堅實基礎，因此在解決問題2的同時應引導學生結合問題1，以數學的眼光看待和發現問題，提出新問題3.

通過初中的數學學習，學生已經擁有了獨立解決該問題的能力，教師應該充分把時間還給學生，跳出“一言堂”的教學模式，時刻把學生的主體地位牢記于心并在實際教學中付諸實踐.教學中秉承不拋棄不放棄每一個學生的教學原則，針對本課例中銜接新舊知識的思考問題2，應該保證每一位學生都能準確解決，在解決問題的同時有所思考，這實質上也是一種把培養核心素養落到實處的教學行為.

思考問題3：與思考問題2類似，能否從二次函數的觀點看一元二次不等式，進而得到一元二次不等式的求解方法？考察探究以下問題：

d)解方程x2-12x+20=0.

e)作函數圖象y=x2-12x+20.

f)解不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0.

設計意圖：引導學生在思考問題2的基礎上通過類比的思想思考、解決上述問題，培養學生的數學抽象、邏輯推理和數學運算等核心素養，從已有的事實出發，類比推理得到不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的解.

值得一提的是對于思考問題3的教學難點在于引導學生通過觀察二次函數圖象y=x2-12x+20找到其與之對應得一元二次方程x2-12x+20=0解的聯系，在此過程中抽象出一般二次函數的零點概念，即使得ax2+bx+c=0的實數x叫做二次函數y=ax2+bx+c的零點.此基礎上進一步引導學生結合函數圖象觀察得出不等式x2-12x+20>0及x2-12x+20<0的幾何意義并表示出兩個一元二次不等式的解，通過這一過程的思考探究最終促使學生可以獨立抽象出求解一般的一元二次不等式解集的方法.

1.3.3 二次函數與一元二次方程、不等式關系表達

思考問題5：回顧以上探索過程，對于一般的一元二次方程、一元二次函數和一元二次不等式(三個“二次”)它們三者之間有什么關系？并把下面的表格表1補充完整，把它們之間的關系以表格的形式表達出來.

表1 二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系

設計意圖：以表格的形式引導學生梳理二次函數與一元二次方程、不等式的關系，引導學生清晰、有條理地表達所學知識，在表格填寫中突出數學中“自然語言”“符號語言”“圖形語言”的轉換.

問題5：回顧探究過程，我們是如何求解一元二次不等式的，請大家思考并交流求解一元二次不等式的具體步驟.提示學生思考時借助流程圖表達解一元二次不等式步驟，使其可視化，其中求解過程如圖1所示.

設計意圖：引導學生回顧上述求解一元二次不等式的數學體驗過程，達到在體驗中思考，在思考中體驗，并能夠最終把其具體步驟數學的表達的效果，把“教思考、教體驗、教表達”很好地融合起來，貫穿于教學活動的始終.這一教學環節實質上也是對數學核心素養的培育過程.

圖1 一元二次不等式求解步驟

2 一元二次不等式應用及再思考

思考問題6：解下列不等式：(1) 3x2-7x≤10；(2) -2x2+x<-3.

設計意圖：在掌握“三個二次”的關系的基礎上，了解解一元二次不等式的步驟，通過練習加強對知識的應用能力，在解決問題的過程中，加強數學體驗，使學生深刻感知數學學習的價值.在解不等式問題的設計中，一元二次不等式的二次項系數設置有正有負，學生能夠靈活思考并應用已學知識得出不等式的解集，這樣設計旨在培育學生數學運算的核心素養.

值得一提的是，若不將二次項系數為負的一元二次不等式化為正數的情形可以直接解一元二次不等式？讓同學們以小組形式討論，根據以上從二次函數圖像看二次項系數為正的一元二次不等式解，討論二次項系數為負的情形，加深學生對二次函數與一元二次方程、不等式的對應關系的認識.這一看似使問題變復雜的討論事實上是對學生數學思維的培養，通過學習，學生不僅要達到快速解題的目標，還應該發展數學思維，形成良好的學習習慣，學會多角度思考問題.

思考問題7：設m為實數，解關于x的不等式：mx2+2mx-3<0.

設計意圖：通過解含參不等式，進一步提升對一元二次不等式解法的應用，同時引發學生對于m<0，m>0或m=0不同種情況的分類思考，分類思考往往是學生學習過程中容易忽視的地方，教師除正確引導學生解決問題外，還應該引發學生對解一元二次不等式方法步驟的在思考，思考該解法的真正內涵所在，在此過程中培養學生的邏輯推理、數學運算等核心素養.

3 結束語

首先，本課例以“基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗(四基)”作為問題的出發點和歸宿設計問題串，學生在7個思考問題中深度探索，深度思考，獲得基礎知識的同時，也提高了基本技能.在思考的過程中教師應提倡為學生“讓學”的教育理念，其中“讓學”指在某一時段老師安排學生進行自主學習的課堂行為[3]，給予學生充分的自主學習時間，只有充分思考才能達到充分理解.

其次，本課例通過搭建“三個一次”關系的腳手架展開，學生以此為支架對求解一元二次不等式形成認識，最終建立“三個二次”的關系.在“三個一次”關系的腳手架中體驗一次函數作圖過程，體會一元二次不等式與一元二次函數、方程的聯系，在此基礎上進行更深層次體驗，體驗二次函數作圖及解一元二次方程過程，通過觀察建立“三個二次”的關系.通過學習掌握解一元二次不等式的方法，用其體驗解題的樂趣，建立學生的數學自信.基于體驗的學習方法認為學習者獲得技能和構建知識是體驗的直接結果[4]，課例中對一元二次不等式定義及“三個二次”關系的構建皆以教師引導學生自主構建為主，充分體現教師的主導地位和學生的主體地位，給予學生充分體驗的機會.

再次，學生在問題中充分思考和體驗后進行準確的數學表達，提升數學交流能力和數學表達能力.本課例主要涉及“三個二次”關系及解一元二次不等式步驟的表達，教師引導學生在“三個二次”關系中以表格的形式表達，在解一元二次不等式步驟中以流程圖的形式表達，更加清晰明了.

總之，教師在數學教學中應該給予學生充分思考、體驗及表達的機會，學生能在掌握數學知識的同時發展關鍵能力，其次教師應引導學生逐步形成正確價值觀及必備的數學品格，正確把握“三教”理念，培育學生數學學科核心素養[6].