定點證明，思維展開，結論推廣
——一道解幾題的探究

劉 云

(江蘇省泰興中學，江蘇泰興，225400)

1 問題呈現

(1) 求橢圓E的方程；

(2) 若N(s，t)是平面上的動點，從下面兩個條件中選一個，證明：直線PQ經過定點．

②t=2，s∈R，直線NC，ND與橢圓E的另一交點分別為P，Q．

此題以橢圓為問題背景，第一步求解橢圓的方程，比較常規，起點比較低；第二步以結構不良試題形式來創設問題，根據兩個不同方面上的動點與對應兩長軸(或兩短軸)的端點所對應的兩條直線與橢圓的另一個交點，形成一條新直線必經過定點來創設新的題型，在考查學生分析問題、解決問題能力，以及理解能力、探究能力、創新能力與應用意識等的同時，具有很好的開放性與創新性，

2 問題破解

解后反思：根據題目條件求解圓錐曲線的方程，往往是此類問題的第一小步，難度不大．可以依據條件構建方程(組)，或借助圓錐曲線的定義合理構建關系式來確定參數a，b，c的值，從而來確定圓錐曲線的方程．這是較為常規的設置，通常采用常規方法.

(2) 選擇條件①：

當t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸；

綜上所述，直線PQ經過定點(4，0)．

解后反思：設線法是解決圓錐曲線中的定點問題時比較常規的一種技巧方法，以直線的方程，與圓錐曲線的聯立，沿著常規破解直線與圓錐曲線的位置關系問題的基本思路加以推進，實現問題的解決．設線法思路常規，目標明確，但運算量大．

當t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸，所以直線PQ經過的定點應在x軸上；

直線PQ經過的定點應是切線l與x軸的交點(4，0)．

證明如下：(亦可以通過另一些特殊位置(如取t=1)分析出定點(4，0)．)

由(1)，不妨設A(-2，0)，B(2，0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

而動點N的橫坐標x=1，所以要證原命題成立，只需證明x=1是上述方程的根，

將x1=my1+4，x2=my2+4代入，只需證明3y1(my2+2)+y2(my1+6)=0，只需證明2my1y2+3(y1+y2)=0，

綜上所述，直線PQ經過定點(4，0)．

解后反思：先猜后證法吻合圓錐曲線中定點問題破解的基本思維過程，利用思維過程中先確定定點，再加以科學驗證的基本思路來展開，體現思路歷程．先猜后證法具有推理中分析法的特性，但過程比較繁雜．

當t=0時，P(2，0)，Q(-2，0)，直線PQ為x軸，所以直線PQ經過的定點應在x軸上，

不妨設A(-2，0)，B(2，0)，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定點M(m，0)，

綜上所述，直線PQ經過定點(4，0)．

解后反思：共線性質法是合理利用條件中三點共線所對應的直線斜率相等來合理構建對應的關系式，綜合圓錐曲線的定義、幾何性質等來合理聯系，從而實現問題的破解．共線性質法合理利用條件中的眾多點、線之間的聯系，邏輯推理性強．

而對于條件②，可以類比條件①中的解析方法，同樣可以得以有效解決．下面以設線法加以展開．

選擇條件②：

解：(設線法)N(s，2)，s為變量，由(1)，不妨設C(0，-1)，D(0，1)，

則直線NC的方程為3x-sy-s=0，直線ND的方程為x-sy+s=0，

當s=0時，P(0，1)，Q(0，-1)，直線PQ為y軸；

考慮到橢圓的對稱性，令x=0，

3 結論總結

根據以上具體問題與解析過程，對問題中的條件進一步加以深化、推廣與拓展，可以得到更具一般性的結論．

4 教學啟示

涉及圓錐曲線中直線過定點問題，破解的基本思維方法有兩大類：

(1) “一般推理，特殊求解”，主要是根據題設條件加以合理設參，或設點，或設線等，結合條件構建相應的關系式，進而加以推理、運算，借助消參數或參數的任意性，通過推理或運算得到相應的定點坐標，即可達到目的．

(2) “特殊探路，一般證明”，主要是根據題設條件從特殊情境、特殊位置等場合入手，確定定點坐標，再把問題進行合理轉化，朝著已經確定的定點方向，有目標性地推理或運算，“特殊探路”是確定目標，“一般證明”是完備過程，在解答題中兩者缺一不可，在選擇題或填空題中就可不必去證明．