多視角研究一道聯考解析幾何等角題

賀鳳梅

(新疆伊犁鞏留縣高級中學 835400)

1 問題呈現

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)證明：∠MFN=2∠PFN.

2 總體分析

解析幾何中的角度問題有些可以轉化為斜率來處理，比如角度是與坐標軸的夾角；也可以采用余弦定理解答；還可以利用平面向量解答；如果涉及到2倍角關系，還可以采用角平分線的性質或到角公式來進行求解.

3 試題解答

3.1 第(1)問解析

解析由c+a=4-c且c=1,解得a=2.

所以b2=a2-c2=3.

3.2 第(2)問解析

視角1借助直線的傾斜角與斜率的關系及正切二倍角公式解答.

解法1 由(1)知點A(-2,0).

結合圖1可知，

圖1

利用二倍角公式,得

①

②

所以tan∠MFN=tan(2∠PFN).

由條件知∠MFN,∠PFN∈(0,π)，

故∠MFN=2∠PFN.

評注此解法屬于常規解法，要證兩角相等，結合角的范圍，只需求兩角的正切值相等即可.而由圖象可知，兩角的正切值又與對應直線的斜率密切相關，于是問題等價轉化為：先求相關點，再求出相關直線的斜率，即得兩角的正切值，最后借助正切二倍角公式進行運算求解即可.這種解法充分體現了化歸與轉化和數形結合的數學思想.

視角2借助到角公式解答.

結合圖1，并利用到角公式可得

所以tan∠MFP=tan∠PFN.

結合角的取值范圍易得∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注現行教材對到角公式不作要求，感興趣的讀者可查閱到角公式，注意公式結構的特征和正切差角公式一致.很多題目用此公式還是切實可行的.建議學有余力的學生掌握，并能靈活運用.

視角3利用角平分線的性質解答.

即y0x-(x0-1)y-y0=0.

顯然，點P在FM的右側，

與②聯合，x0<4，化簡，得

所以d1=d2，FP為∠MFN的角平分線.

所以∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注此解法結合圖象及待證結論，發現只要證明FP為∠MFN的角平分線即可.而根據角平分線的性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.d2=|PN|=yP易求，求d1時，結合圖象的位置關系及x0的取值范圍，需要學生具備一定的觀察能力、邏輯推理能力和較高的運算求解能力.

視角4借助向量的數量積解答.

③

結合②整理可得

所以等式③成立，即∠MFP=∠PFN.

從而∠MFN=2∠PFN.

評注欲證∠MFN=2∠PFN，結合圖象，即證∠MFP=∠PFN，設法找到相關點的坐標，得出對應向量坐標，由向量的數量積公式可得cos∠MFP，cos∠PFN，通過以上求解得到cos∠MFP=cos∠PFN，問題也就迎刃而解了.這也是等價轉化的思想.

在新課程背景下，課程強調對學生創新精神和實踐能力的培養. 在教學過程中，多視角、多策略處理問題可以調動學生的積極性，培養他們的思維能力，提高學習效率. 而圓錐曲線涉及的概念多、性質多，在解答圓錐曲線類試題時經常會有多種解答方法. 因此，在學習這部分知識的過程中，我們要重視一題多解，整合知識，將問題轉化為函數、向量、不等式等代數問題來求解.幫助學生完備知識體系，提高學習質量，深挖他們的潛能，培養良好的思維品質.