龍洗振幅的模擬研究

肖瑩瑩 叢小涵 楊子涵 葉晴瑩

（福建師范大學物理與能源學院，福建福州 350117）

龍洗是古代的一種薄壁盥洗用具，一般為青銅材質，形似現在的臉盆.盆底裝飾有魚紋的，稱“魚洗”；盆底裝飾有龍紋的，稱“龍洗”（如圖1）.龍洗出現的時間，最早可追溯至公元前五世紀，后在唐宋時期逐漸發展成熟.［1，2］該器物最初是工匠為皇宮設計的，后逐漸流傳至為民間.圖1、圖2所示龍洗底部扁平，盆底刻有4條龍，龍口位置位于圖2中a、b、c、d4處，盆沿左右兩邊各有一個把柄，稱為雙耳（如圖1）.龍洗的外觀并不復雜，但奇妙之處在于：用手緩慢有節奏地摩擦盆邊兩耳，盆會像受擊撞一樣振動起來，盆內水波蕩漾；倘若手法得當，4個龍口均可以噴出水花.［3］雖然龍洗的噴水原理已被廣泛認可，［4］但對其振動模型的研究卻多為定性研究.為了研究龍洗振動的細節，本文結合駐波方程，并利用Matlab建模，［5-8］模擬出龍洗振動幅度的空間分布圖像.

圖1 龍洗構造圖

圖2 龍洗的龍口和十字線標注圖

1 理論分析

當雙手以一定頻率摩擦龍洗雙耳時，在雙耳產生兩個方向相反、頻率相同的相干波源，兩列波相干疊加，呈現出穩定的駐波狀態.［9］摩擦時，雙手緊挨雙耳，雙耳可視為固定端，處于波節位置.［9］則根據波的疊加原理，駐波方程為［10］

其中，L表示圖3中以右耳A點為起點，沿逆時針方向的盆沿長度，λ為波長，f為頻率，u為L處的振點偏離平衡位置的位移，φ表示以右耳A點處為起點，沿逆時針方向旋轉的角度.

圖3 駐波方程參數示意圖

由（1）式可知，龍洗模型側壁振動時的波節和波腹各有4個.［11］實驗現象（圖4）表明，龍洗噴水范圍對稱分布在的a、b、c、d4處，此4處即為（1）式中的4個波腹位置，亦即圖2中的a、b、c、d4個位置.從圖4中可見a、b、c、d之間有4個波節（位于圖4中4個白點位置），這一結果與（1）式的結果相符.

圖4 龍洗噴水實驗

根據駐波形成條件，可知相鄰兩波節或波腹間的距離為半個波長，可得

其中R為水面半徑.

將（2）（3）式代入（1）式可得

由（4）式可得龍洗各質元隨位置變化的振幅函數（其中質元是龍洗洗壁上產生振動的每一個微元）

為了進一步得到不同高度洗壁振幅的關系，利用柱面坐標的波動方程和簡化邊界條件［12］可解出龍洗噴水時洗壁各質元偏離平衡位置的位移如（6）式所示.這一過程中，為了簡化模型，我們將龍洗視為柱形容器.［13-15］

（6）式中b為盆內水體總高度，z為任意水高位置.Am為與角度φ相關的常數項，An為與任意水高位置z相關的常數項.am為φ函數的初相位，與（3）式的φ一致，則

聯立（6）～（8）式獲得的振幅函數表達式為

與（5）式對比，可發現：當z=b，k=0時，（9）式與（5）式一致，說明（5）式是（9）式的特例，而（9）式是（5）式在空間上的延伸和拓展.

2 模擬方法與模擬結果

采用Matlab 對函數進行模擬.為了方便模擬，計算中取A′=A1／A1max.圖5模擬了不同半徑（R）的龍洗，側壁（也稱“洗壁”）振幅的空間分布圖像，圖色的深淺程度與洗壁輪廓上振幅的大小成反比.為方便觀察，圖5中采用直角坐標系，任意位置到（0，0，0）的水平距離為R.

圖5 不同半徑R 的洗壁波節和波腹的位置示意圖

2.1 龍洗洗壁振幅與半徑R 的關系

圖6展示的是R=19cm 時龍洗洗壁振幅空間分布的散點圖，更方便讀者定位龍洗壁沿的波節及波腹位置.

圖6 洗壁波節和波腹的位置示意圖

2.2 龍洗洗壁振幅與水高z的關系

取b=4.5cm，模擬（9）式可得圖7.為了方便模擬，計算中取A″=A2／A2max.從圖7 中可以看到，該圖完美呈現了4峰振型的現象，且4個波腹處的振幅隨著z值的增大明顯增大，而波節位置位于圖2中十字線位置.

比較圖5和圖7：圖5分析了同一高度、不同半徑R的洗壁質元的振動隨位置變化的空間分布，得到同一高度的洗壁振幅隨半徑R的變化圖像，進而確定了洗壁振動引起噴水過程的波節和波腹；圖7則定量分析了整個系統中洗壁質元隨位置變化的三維空間分布圖像，不僅明確了龍洗噴水過程中的波節和波腹，并且獲得了洗壁振幅隨水深的變化情況.由圖7 可以發現，不同半徑（R）的龍洗，洗壁振幅都具有4峰振型的特征，即波腹波節均有4個，依次交替出現.

圖7 龍洗半徑R 不同時，洗壁振幅空間分布圖像（b=4.5cm）

模擬結果與實驗現象（圖4）吻合.

為更好地展示龍洗洗壁各質元振幅，我們作了不同z值的振幅分布橫向剖面圖，圖8 為z=1.5cm、z=3.0cm 和z=4.5cm 的振幅分布橫向剖面圖.對比圖8（a）、（b）、（c）發現，振幅的空間分布與圖5吻合，且當z=b時［如圖8（c）］，模擬結果和實驗現象（圖4）高度一致.圖8中，隨著z值增加，各波腹位置的振幅明顯增大.且圖8各分圖中顏色最深位置呈“十”字交叉，此即對應圖2 中“十”字交叉位置.

圖8 b=4.5cm 時，不同z值的振幅空間分布橫向剖面圖

從龍洗設計來看，龍洗中“龍吐水”的雕刻位置（圖2中a、b、c、d4處）需設計在圖8（c）中z=b時對應振幅最大的位置（即波腹位置，亦即圖8（c）中a、b、c、d4處）.在沒有定量公式和數值模擬的古代，我們的祖先卻可以在青銅龍洗制作過程中準確定位“龍吐水”的位置，實在令人嘆為觀止.

2.3 龍洗洗壁振幅與角度φ 的關系

圖9是圖7中經過（0，0，0）點平行于z軸的縱剖面圖.從圖9（b）中可以看出，z取不同值時，φ=90°的振幅都為0，此處即為波節位置.而從圖9（a）（c）中可以看出，隨著z值的增加，波腹各質元振幅逐漸增大，在z=b時，龍洗洗壁的振幅達到最大值，實驗現象（圖4）呈現為龍洗的噴水現象.

圖9 不同φ 值的振幅空間分布縱向剖面圖

2.4 龍洗洗壁振幅與水體高度b的關系

為了研究水體高度b不同時的龍洗振動圖像，我們模擬了b分別為1.5cm、3.0cm、4.5cm和6.0cm 的龍洗洗壁振幅空間分布圖像，如圖10.

圖10 水體高度b不同時，洗壁振幅空間分布圖像

比較圖10 與圖2，可以發現：對于4 節線（4峰）振動的振型，圖2中a、b、c、d4點對應圖10中不同b值的波腹位置，該處的振幅大于同一水平面的其他位置；4個波節位于圖2中十字線位置；對于任意b值，當z=b時龍洗洗壁振幅最大；沿著洗壁，壁沿的振幅呈現出周期性變化，相對振幅如圖10所示.

3 結論

通過Matlab模擬，我們可以清晰地看到龍洗洗壁上振幅隨空間分布圖像，研究發現，洗壁振幅與角度φ和水高z密切相關，其振動為典型的4峰振動，當z=b時洗壁振幅最大.該研究將抽象的龍洗噴水原理轉化為形象直觀的仿真圖，更好地解釋實驗現象，為龍洗噴水理論和實踐研究提供了有效的數據基礎.