帶限周期函數的Fourier 插值法在天線測量中的應用

付煜洲 楊佳蔚 王朕 商鋒

（1. 西安郵電大學電子工程學院,西安 710121；2. 廣東曼克維通信科技有限公司,廣州 510700；3. 西安空間無線電技術研究所,西安 710000）

引 言

現有的天線測量方法一般可分為遠場測量[1]和近場測量[2].近場測量是在微波暗室內，利用計算機控制一個特性已知的探頭，抽測出距離天線表面3～5 個波長的某個表面上場的幅度和相位分布，然后由近場測量數據、探頭特性和掃描面的形狀，通過近遠場變換算法計算出天線的遠場特性[3].根據掃描面的形狀，天線近場測量一般分為平面近場測量[4]、柱面場測量[5]和球面場測量[6].近場測量能夠得到天線遠場的三維方向圖數據，但系統成本高且測量時間長，誤差源較多[7-8].如只需要得到某一切面的方向圖數據，且場地條件滿足天線遠場距離，往往采用遠場法對天線進行測量.遠場測量因測試方法簡單、直觀，設備簡單，測試成本相對較低，能很快得到天線某一切面測試結果，成為天線測試的首選.

對具有高增益、窄波束特點的常用天線(例如陣列天線、反射面天線等)采用遠場測量時，采樣間隔往往要求小于待測天線3 dB 波束寬度的1/10[9].增大采樣間隔導致測量到的半功率波束寬度、副瓣電平等天線輻射參數不準確，造成測量誤差；減小采樣間隔會降低測試效率，尤其在多通道、多波束、掃頻測量中測試效率會顯著降低.

針對遠場測量效率低下的問題，本文給出了一種基于帶限周期函數的Fourier 插值法，采樣間隔相同的情況下仍然能夠顯著提高測試效率，得到的遠場方向圖角度間隔理論上可以任意小.仿真及實測結果表明，應用此方法插值后得到的遠場結果與實際遠場結果吻合非常好.

1 算法基本原理

周期為T的復值函數f(t)的Fourier 級數為

若存在有限的正整數N，使得當 |n|＞N時，Cn=0，即f(t)的最高諧波分量為，則稱f(t)為帶限周期函數，f(t)可表示為

當f(t)為帶限周期函數時，可以通過一個周期內若干個離散點的函數值來計算[10-11]，分析如下：

式(1)中取t=mT/J(m=0,1,···,J-1)，則有

命l=n+rJ，n=0,1,···,J-1;r=-∞,···,0,···,∞；則式(4)變為

式(7)實際上是一個離散Fourier 變換的形式，可以表示為

只需知道f(t)在一個周期內間隔J個點的函數值，就能精確求出Fourier 展開系數(n=0,···,J-1).

取樣點數J滿足J≥2N+1，Cn=0,|n|＞N時，Cn與有如下關系[12]：

將Cn代入式(3)，得到密度任意高的f(t).取t=mT/L(m=0,1,···,L-1)，L越大，密度越高，且可以用逆快速Fourier 變換計算.

由于場的單值性，天線方向圖f(φ)是 以 2π為周期的復值函數，且是帶限的[13-15]，即：

式中：N由天線尺寸和坐標原點的位置決定[16]，一般取2～10，λ 為工作波長，ρmin是以坐標原點(測量時天線轉臺的轉動中心)為中心作一個完全能夠包圍待測天線的最小圓柱的半徑，若坐標原點選在天線的幾何中心，則 ρmin為天線最大尺寸的1/2.

|f(φ)|為 幅度方向圖，常用 20lg(|f(φ)|)(dB)表示；ang(f(φ))表 示相位方向圖.f(φ)的 帶限為N，|f(φ)|帶限為2N.因此，由插值前的幅度方向圖恢復待測天線幅度方向圖時，式(3)、(8)～(10)中的N變為N′即可.

2 結果分析

2.1 數值仿真驗證

數值仿真中選取單元數目Ne=20，排列為如圖1所示的線陣，陣列幅度為-30 dB 的Taylor 分布，單元間距d=0.6λ.每個單元由兩個半波振子組成，為實現單向輻射，兩個振子x軸方向相距 λ/4，第n個單元后振子的激勵電流為In，前面振子的激勵電流為Ine-jπ/2，坐標原點取后排振子中心.該天線陣xoy面的理論方向圖函數可以表示為

圖1 天線模型Fig.1 The antenna model

天線模型3 dB 波束寬度約為5.3°，因此遠場測量時，傳統采樣間隔應在0.5°以下.應用本文方法，≈6λ，N0=8，則N=+8=46，J=2N+2=94，測量的角度間隔 dφ=

圖2 為采樣間隔為 dφ的幅度方向圖與相位方向圖.可以看出，此時方向圖因角度間隔太大，不能顯現方向圖細節，天線的半功率波束寬度、副瓣電平等天線輻射參數難以評估.用基于帶限周期函數的Fourier插值法求出角間隔為360°/4 096 的方向圖數據，與式(11)直接計算得到的幅度和相位方向圖進行比較，結果如圖3 所示.可以看出：應用本文方法得到的插值后幅度方向圖與理論方向圖吻合較好；插值后的相位方向圖與計算得到的相位方向圖不完全重合的地方幅度為0，由于振幅為0 相位任意的復數值仍為0，因此并無影響.

圖2 插值前仿真幅度和相位方向圖Fig.2 The amplitude and phase patterns before interpolation

圖3 插值后仿真方向圖與理論方向圖的比較Fig.3 The comparison between the pattern after interpolation and the theoretical pattern

從以上仿真結果可以看出，需要測試多任務時，例如對于200 個狀態(狀態數=通道數×波位數×頻點數)波束寬度1°的天線進行遠場或緊縮場測試，傳統采樣間隔為波束寬度的1/10，即0.1°，允許的最大采樣速度約為0.1°/s，測試一次需60 min.應用本文方法，采樣間隔為波束寬度量級，即1°，采樣速度不變，因此測試一次為6 min，大大提高了測試效率.

2.2 實驗驗證

在微波暗室內對頻率為12.225 GHz 的天線進行測量.天線旋轉中心到天線最遠點距離ρmin=43 mm，取N0=3，則N=14，J=2N+2=30，因此應用本文方法的采樣間隔dφ=120/J=12°，待測天線3 dB 波束寬度為15.6°.可以看出，應用本文方法采樣間隔接近天線3 dB波束寬度.

圖4 為應用本文方法以12°采樣間隔測得的幅度方向圖和相位方向圖.圖5 為插值后方向圖和以0.1°間隔實際測量的方向圖比較，可以看出，插值后的方向圖與實測方向圖吻合很好.

圖4 插值前實測幅度和相位方向圖Fig.4 The amplitude and phase patterns before interpolation

圖5 插值后實測方向圖與實測方向圖的比較Fig.5 The comparison between the pattern after interpolation and the measured pattern

如果僅采用幅度信息插值，應用本文方法，采樣間隔為6°，插值前方向圖如圖6(a)所示，插值后方向圖和實測方向圖如圖6(b)所示，吻合度也很好.

圖6 僅用幅度信息插值得到的方向圖與實測方向圖的比較Fig.6 The comparison of the pattern after interpolation with amplitude information only and the measured pattern

綜合仿真結果可以看出，應用本文提出的方法，采樣間隔可以減小到天線3 dB 波束寬度量級；如果僅采用幅度信息插值，采樣間隔為2 倍的3 dB 波束寬度量級，且恢復的幅度方向圖和相位方向圖與理論方向圖吻合很好.

3 結 論

本文給出一種基于帶限周期函數的Fourier 插值法，并將其應用在實際天線測量中，數值仿真結果和實測結果吻合較好，驗證了此方法的正確性和有效性.本文天線分析模塊應用于多通道、多波束、掃頻測試中，可大大減少采樣點數，從而顯著提高測試效率，已成功應用于航天504 所天線遠場測量系統中.