基于改進互耦系數估計算法的自適應波束形成

蔣凱 李良榮

（貴州大學大數據與信息工程學院,貴陽 550025）

引言

自適應波束形成技術概念最早由Van Atta 提出，至今已有50 年的歷史.早期的自適應波束形成可以有效抑制干擾和噪聲.第一個自適應波束形成器是1965 年Howells 提出的旁瓣相消器[1]，隨后許多學者對旁瓣相消器進行了改進.郭慶華等提出了投影到信號子空間的改進方法[2]，但該方法在信噪比(signal to noise ratio,SNR)較低時其性能較差.1969 年Capon 提出的一種波束形成算法，使有用信號不失真通過的同時確保干擾信號和噪聲的功率達到最小，該算法成為劃時代的標志[3-4].此后一些穩健自適應波束形成算法被提出[5]：一類是基于特征空間的波束形成(eigen-subspace beamforming,ESB)算法，利用信號子空間特性但受限于信源數；另一類是基于協方差矩陣求逆(sampling matrix inverse,SMI)算法，該算法收斂速度快，但低SNR 時性能較差.

上述波束形成算法并不能很好地抵抗陣列互耦現象，近十年的研究中許多具有抗互耦效應的穩健自適應波束形成算法被提出.例如20 世紀90 年代著名的對角加載方法[6]，通過人為設置一個校準源來達到目的，但由于所用的校準信號源本身也會引入誤差，導致算法有一定誤差.2012 年，Yujie Gu 等提出了一種基于干擾與噪聲協方差矩陣重構和導向矢量估計的波束形成算法[7]，但通過在剝離掉期望信號的角度范圍內進行功率積分去除有用信號的分量來獲得干擾和噪聲的協方差矩陣，導致該算法無法利用所有陣元.Yang 等提出了協方差矩陣重構的抗陣列互耦算法[8-9]，該算法只需期望信號方向而不需要其他先驗信息便可達到良好的抗互耦效果.吳晗提出了基于互耦系數估計的抗互耦算法[10]，先進行互耦系數估計，然后重構算法所需的干擾和噪聲協方差矩陣.上述算法抗互耦性能較強，然而在低SNR 時性能衰退嚴重[11]，不能有效抑制噪聲.

本文提出一種基于互耦系數估計的抗互耦算法(mutual coupling coefficient estimate based，MCCEB)，針對原抗互耦算法在低SNR 下互耦系數估計誤差較大、波束形成性能相對下降的問題，對算法進行了改進.在輸入SNR 低于設定門限的時候，僅用干擾信號的導向矢量來參與互耦系數估計；當SNR 高于設定的輸入SNR 門限的時候，利用期望信號和干擾信號共同確定互耦系數.和原算法相比，改進算法降低了低SNR 下計算的復雜度，并通過改變期望信號在不同輸入SNR 下是否參與估計互耦系數，提高了算法穩健性.

1 算法原理

1.1 算法描述

假設信號是平穩的，統計特性不隨時間變化，定義輸出信號的協方差矩陣[12]

式中：mx(t)=E{x(t)}，且mx(t)=0.那么有

這里假設滿足以下條件：

1)陣元個數M要大于可能接收到的空間信號的個數N；

2)對于不同的信號方向 θi(i=1,2,···,N)，信號的導向矢量是線性獨立的；n(t)

3)噪聲 是均值為零的高斯白噪聲，

式中：σ2是噪聲功率；I是單位矩陣.

信號向量的協方差矩陣為

由式(2)～(4)可得：

證明Rx是非奇異的，且Rx=是正定Hermitain 方陣[13]，利用酉變換實現對角化，相似對角陣由M個不同的正實數組成，與之對應的M個特征矢量是線性獨立的.因此，Rx的特征分解可以寫成

式中：Λ=diag(λ1,λ2,···,λM)，且

即前N個特征值與信號有關，數值大于 σ2，且特征值的大小與相應信號的功率有關，功率越大，對應的特征值也越大.信號的功率較大，N個信號對應特征值λ1,λ2,···,λN的特征向量e1,e2,···,eN組成信號子空間Us，以其值為對角線元素的對角陣為 Λs.噪聲的功率較小，M-N個噪聲對應小特征值 λN+1,λN+2,···,λM(數值均為 σ2)的特征向量e,e,...,e組成噪聲子空間N+1N+2M Un，以其值為對角線元素的對角陣為 Λn.至此，可以將Rx寫為

即將接收信號的矩陣分解為信號子空間和噪聲子空間.

對于一個由M個陣元組成的陣元間距為d的均勻直線陣，設置忽略陣元互耦的門限為P個陣元間距，可知有互耦系數且參考處互耦系數是對稱的，即

可見互耦矩陣是一個循環帶狀的Toeplitz 矩陣.

定義互耦向量

cj(j=1,2,3,···,P-1)表示互耦門限以內，與參考點的距離為j的陣元互耦系數.方便起見，設定一個陣元與其自身之間的互耦系數為1，則可以得到陣列的互耦矩陣如下：

由此得到：

令

得到

式中，Q是N×((M-N)×P)階的矩陣.用qi表示Q的第i列，則式(11)可以表示為

可以得到：

式中，(·)+表示對矩陣求偽逆.利用式(17)求得所有的非1 互耦系數，得到整個互耦矩陣.令估計得到的互耦矩陣為C′，原估計得到的導向矢量為ai，則可以得到修正后的導向矢量為

獲得最新的導向矢量之后，進行Ri+n重構：

得到重構的干擾加噪聲協方差矩陣之后，便可利用最小方差無失真響應(minimum variance distortionless response,MDVR)[14]波束形成器得到最佳權矢量.

1.2 原算法仿真

為便于比較，所有仿真都是基于陣元間距為半波長的16 元均勻線陣，入射信號為兩個功率相等的干擾信號和一個期望信號，信號采樣點數為200.將期望信號的角度區間設為 Θ=[θd-7°,θd+7°]，θd=0°，則干擾和噪聲可能存在的區間為=[-90°,θd-7°)∪(θd+7°,90°].干擾信號設置來自± 30°，輸入SNR 為0 dB，信干噪比 (signal to interference plus noise ratio,SINR)為30 dB，互耦向量中包含5 個值，即互耦門限為5，互耦向量元素根據互耦門限原理設定為[1，0.433 01-0.351j,0.261 8+0.217 6j,0.141 4-0.141 4j,0.080 8+0.080 8j]，圖1 為基于互耦系數的抗互耦算法的歸一化方向圖.

圖1 基于互耦系數的抗互耦算法的歸一化方向圖Fig.1 Normalized pattern of anti-mutual coupling algorithm based on mutual coupling coefficient

從圖1 可以看出，期望信號來向對應主瓣，干擾來向對應零點.基于極其準確的干擾信號方向估計的前提下，該算法具有一定的抗互耦性能，但當干擾信號的來波方向有較大誤差時，對互耦矩陣的估計也相應地產生較大的誤差，波束形成的方向圖和輸出SINR 隨輸入SNR 的變化曲線也將偏離標準值.

2 改進算法

2.1 原算法存在的問題

在對上述算法進行研究后，可以發現在DOA 估計誤差準確或誤差極小時，該算法具有近乎完美的表現.但當輸入SNR 很小時，波束形成器的性能偏離理想曲線，即輸出SINR 會偏離最優波束形成輸出SINR.設置輸入SNR 為-10 dB，仿真得出的輸出歸一化方向圖如圖2 所示.可以看出，在低SNR 條件下，相比圖1，在干擾信號的來波方向無法形成較深的零陷，說明原算法在低SNR 時抗干擾性能較差，其波束形成器性能有所下降.針對這一現象將分析誤差產生的原因并作出對原算法的改進.

圖2 低輸入SNR 時波束形成輸出歸一化方向圖Fig.2 Normalized pattern of beamforming under low input SNR

2.2 改進算法

互耦條件下自適應波束形成器的接收數據為

將C乘在矩陣A左側即為接收信號，互耦所帶來的誤差全部作用在導向矢量上.

真實的導向矢量為

式中，期望信號

當互耦系數估計存在較大誤差時，相應算法性能會下降.圖3 為不同輸入SNR 下100 次仿真平均值計算出的互耦系數均方誤差(mean square error,MSE)的幅度和相位.可以看出，輸入SNR 較小時，互耦系數估計具有較大的誤差；SNR 較高時達到10 dB 后，互耦系數的估計誤差逐漸減小至接近理想情況.因此可設定10 dB 為輸入SNR 的一個門限，超過此值后可認為估計出的互耦系數沒有誤差.

圖3 互耦系數MSE 隨輸入SNR 變化Fig.3 Curve of MSE of mutual coupling coefficient with input SNR

從式(11)可以看出信號與噪聲兩子空間正交原理是互耦系數估計過程的主要依據.式(13)中為提高互耦系數估計的準確性，互耦系數估計過程中使用的是包括期望信號在內的所有信號，當數據協方差中含有較強期望信號時，互耦估計較為有效，期望信號與噪聲的正交性將減弱，相關性增強，說明期望信號和噪聲之間不是嚴格正交，而存在更高的相關性.將期望信號式(24)考慮進式(13)將會增大互耦系數的估計誤差.因此在小于門限值時應忽略期望信號，而大于門限值時則保留期望信號，這是改進算法的依據.依據互耦系數MSE 得出10 dB 為本算法門限.

由圖3 可以看到，在輸入SNR 逐漸增加至門限10 dB 時，認為估計互耦系數已經是最優情況.因此當輸入SNR＜10 dB 時，將式(13)改為

即在小輸入SNR 條件下，舍棄式(24)中期望信號所對應的部分；當輸入SNR ≥10 dB 時，仍采用式(13)Q矩陣形式：

從而降低了低SNR 情況下互耦系數的估計誤差，提高了相應波束形成器的性能.

2.3 改進算法性能對比

仿真條件設置為：輸入端SNR 為-10 dB，SINR為30 dB，期望信號入射方向為0°；空間中存在2 個干擾，干擾信號方向設為[-30°,30°]，信號采樣點數為200 點；互耦向量中含有5 個值，互耦系數設置為[1,0.433 01-0.351j,0.261 8+0.217 6j,0.141 4-0.141 4j,0.080 8+0.080 8j].

將傳統的ESB 算法、SMI 算法、干擾加噪聲協方差矩陣重構(interference-plus-noise covariance matrix,INCM)[15]方法、改進前MCCEB 算法與改進算法進行對比，幾種算法波束形成器的方向圖如圖4 所示.可以看出：改進算法主瓣對準真實的期望來波方向，在干擾信號來波方向形成較深零陷；SMI 算法主瓣并沒有對準期望信號來波方向，也沒在干擾信號來波方向形成零陷；ESB 算法主瓣對準了期望信號來波方向，但在多個干擾信號方向形成零陷；INCM 算法在干擾方向上沒有形成零陷；原MCCEB 算法在低SNR 時沒有形成較深的零陷.因此在低SNR 條件下改進算法性能優于其他對比算法.

圖4 幾種算法在互耦情況下的方向圖對比Fig.4 Direction diagram comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

同樣仿真條件下比較幾種算法輸入SNR 對輸出SINR 的影響，圖5 所示為幾種算法在互耦情況下的輸出SINR 曲線對比.可以看出：改進算法在低SNR 時輸出SINR 性能優越，與最優(Optimal)算法輸出SINR 重合，同時隨輸入SNR 增大而增大；SMI 和ESB 算法輸出SINR 隨輸入SNR 的變化較為混亂，且與Optimal 算法輸出SINR 相距較遠；INCM 算法輸出SINR 隨輸入SNR 的增大而增大，但仍略低于Optimal 算法輸出SINR；原MCCEB 算法與Optimal 算法輸出SINR 幾乎重合，但在低SNR 時仍低于Optimal 算法輸出SINR.綜上所述，本文算法性能優于其他幾種算法.

圖5 幾種算法在互耦情況下的輸出SINR 曲線對比Fig.5 Output SINR curve comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

3 結論

本文針對基于互耦系數估計的抗互耦算法在低輸入SNR 的條件下波束形成器的輸出SINR 曲線不理想的問題，對算法進行了改進，在輸入SNR 低于輸入SNR 門限時，用干擾信號的導向矢量參與互耦系數估計，當SNR 高于輸入SNR 門限的時候，與原算法一樣利用期望信號和干擾信號共同確定互耦系數.通過仿真對比分析，該算法提高了低SNR 下的抗互耦性能，與其他幾種算法相比，抗互耦和抗干擾性能更好，具有一定的理論意義與工程價值.