一種帶形狀參數的球域Bézier曲線

丁 格，李軍成，劉成志

(湖南人文科技學院數學與金融學院，417000，湖南，婁底)

0 引言

Bézier曲線[1]作為一種幾何造型工具，以表示簡單、使用靈活的特點被廣泛地應用于CAD、CAGD、CG等領域。但眾所周知，自然界中的任何物體都有厚度，而利用沒有厚度的Bézier曲線進行幾何造型僅僅是數學上的一種抽象或簡化。若把Bézier曲線的控制頂點換成球域，可得到球域Bézier曲線[2]。從幾何上看，球域Bézier曲線可視為具有可變厚度的空間Bézier曲線。因此，球域Bézier曲線可用于構造自然界中廣泛存在的管狀物體[3]。由于球域Bézier曲線與空間Bézier曲線的方程結構相似，故Bézier曲線的諸多算法可推廣到球域Bézier曲線，如球域Bézier曲線的拼接[4]，球域Bézier曲線的升階[5]，球域Bézier曲線擬合散亂數據[6]，球域Bézier曲線的能量極小化[7]等。

在利用球域Bézier曲線構造實體時，有時需要調整其形狀以滿足造型的需要。然而，當控制球保持固定時，球域Bézier曲線的形狀將無法調整，這為球域Bézier曲線在實體造型中的應用帶來了不便。在幾何造型中，為了解決傳統Bézier曲線形狀不易調整的問題，許多學者構造了帶形狀參數的Bézier曲線，例如，基于三角函數構造的C-Bézier曲線[8]與擬五次三角Bézier曲線[9]、基于雙曲函數構造的H-Bézier曲線[10]、同次擴展的Bézier曲線[11]、升階擴展的Bézier曲線[12, 13]。這些帶有形狀參數的曲線在控制頂點保持不變的情形下可通過修改所含參數的取值對其形狀進行自由調整。既然球域Bézier曲線是通過將Bézier曲線的控制頂點換成球域而得到，那么很自然地想到可將這些帶形狀參數Bézier曲線的控制頂點換成球域，從而得到相應帶形狀參數的球域Bézier曲線。為此，本文將α-Bézier曲線的控制頂點換成球域，構造出一種帶形狀參數的球域Bézier曲線，從而在控制頂球保持不變的情形下通過修改所含參數的取值實現對其形狀的自由調整。

1 α-BBC的定義

給定球心為點pi(xi,yi,zi)半徑為ri的控制球〈pi;ri〉(i=0,1,…,n)，n次球域Bézier曲線可表示為[2]

(1)

因此，球域Bézier曲線可視為由骨架pn(t)與半徑函數rn(t)構成的具有可變厚度的曲線，如圖1所示。

(a)三次球域Bézier曲線 (b) 四次球域Bézier曲線圖1 球域Bézier曲線

不難可知，當控制球保持不變時，球域Bézier曲線也將隨之固定，這在一定程度上限制了球域Bézier曲線的應用。為解決這一問題，可將式(1)中的Bernstein基函數替換為某種含自由參數的基函數，從而構造出帶自由參數的球域Bézier曲線，在控制球保持固定時通過修改自由參數的取值實現對球Bézier曲線的形狀調整。由于通過同次擴展所構造的α-Bernstein基函數[11]不僅含有1個自由參數，而且與傳統Bernstein基函數相比，其方程結構的復雜度并未明顯提高，故下面選取α-Bernstein基函數替換式(1)中的Bernstein基函數，構造出帶參數α的球域Bézier曲線。首先給出α-Bernstein基函數的定義。

定義1[11]：設0≤t≤1，0<α≤1，稱關于t的多項式

(2)

為三次α-Bernstein基函數，其中0<α≤1。進一步，稱

gn,i(α;t)=(1-t)gn-1,i(α;t)+tgn-1,i-1(α;t)，i=0,1,…,n

(3)

為n(n≥4)次α-Bernstein基函數。

基于式(2)與式(3)表示的n(n≥3)次α-Bernstein基函數，可定義對應帶參數α的球域Bézier曲線。

定義2：設0≤t≤1，給定球心為點pi(xi,yi,zi)半徑為ri的控制球〈pi;ri〉(i=0,1,…,n)，稱

(4)

為n(n≥3)次帶參數α的球域Bézier曲線，簡稱為α-BBC，其中gn,i(α;t)(i=0,1,…,n)為式(2)與式(3)表示的α-Bernstein基函數。

注1：由于當α=1時式(2)與式(3)表示的α-Bernstein基函數即為Bernstein基函數[1]，故由式(4)不難可知，當α=1時α-BBC即為式(1)表示的球域Bézier曲線。因此，α-BBC是傳統球域Bézier曲線的一種擴展。

2 α-BBC的性質

為方便討論，不妨記Qi=〈pi;ri〉，于是式(4)可改寫為

(5)

因此，α-BBC也可視為將α-Bézier曲線[11]的控制頂點替換為控制球而定義。根據α-Bézier曲線的性質，可得α-BBC的性質。

定理1：由式(5)表示的α-BBC具有如下性質。

1)對稱性：分別由控制球Qn-i(i=0,1,…,n)與控制球Qi(i=0,1,…,n)定義的α-BBC相同，但參數化方向相反，即

〈G〉(α;t;Q0,Q1,…,Qn)=〈G〉(α;1-t;Qn,Qn-1,…,Q0)

(6)

2)端點性：α-BBC在兩端點處滿足

(7)

3)幾何不變性：α-BBC的形狀僅依賴于控制球與參數α的取值，而與坐標系的選取無關，即在控制球與參數α保持不變時，α-BBC的形狀經過旋轉、坐標系平移、按比例伸縮等幾何變換后保持不變。

4)形狀可調性：當控制球保持固定時，參數α取不同值將得到不同形狀的α-BBC，即可通過修改α的取值實現對α-BBC的形狀調整。

證明：1) 由式(2)與式(3)經簡單計算可得gn,i(α;t)=gn,n-i(α;1-t)。于是，由式(5)有

此即表明式(6)成立。

2)由式(2)與式(3)經計算可得

于是，由式(5)經計算可得式(7)成立。

3)由于α-BBC可看作是將對應α-Bézier曲線中的控制頂點替換為控制球，故α-Bézier曲線滿足的幾何不變性同樣也適用于α-BBC。

4)由于α-BBC的表達式中含有參數α，故在控制球保持不變的情形下，修改參數α的取值顯然會改變α-BBC的形狀，如圖2～圖4所示。由圖2～圖4可知，隨著參數α取值的變小，α-BBC越來越遠離其骨架。故在實際應用中，可通過修改參數α的取值實現對α-BBC的形狀調整，這也是傳統球域Bézier曲線無法比擬的。

(a) α=1 (b) α=0.6 (c) α=0.4圖2 參數α取不同值時的三次α-BBC

(a) α=1 (b) α=0.5 (c) α=0.2圖3 參數α取不同值時的四次α-BBC

(a) α=1 (b) α=0.45 (c) α=0.01圖4 參數α取不同值時的五次α-BBC

3 α-BBC的拼接

設有2條次數分別為m與n的α-BBC，其表達式分別為

(8)

式中gm,i(α1;t)(i=0,1,…,m)與hn,j(α2;t)(j=0,1,…,n)為參照式(2)與式(3)定義的α-Bernstein基函數，〈pi;ri〉(i=0,1,…,m)與〈qj;sj〉(j=0,1,…,n)為2條α-BBC的控制球。

由于控制球的半徑各不相同時，球Bézier曲線的表面結構比較復雜，故一般只考慮2種情形下球域Bézier曲線的G1拼接[4]：1)圍繞拼接點的控制球半徑為零時球域Bézier曲線的G1拼接；2)所有控制球的半徑均相同且不為零時球域Bézier曲線的G1拼接。

因此，這里也僅考慮上述2種情形下2條α-BBC的G1拼接。為方便討論，不妨令式(8)表示的2條α-BBC的骨架分別為

于是，參照文獻[4]可得如下結論。

定理2：對于式(8)表示的2條α-BBC，當控制球的半徑滿足rm-1=rm=s0=s1=0時，若2條α-BBC的骨架p(t)與q(t)之間達到G1拼接，即

(9)

其中λ>0，則2條α-BBC之間達到G1拼接。

注2：若某條α-BBC的首、尾均需進行拼接，則由定理2的條件可知，該條α-BBC的次數至少應為5次才能滿足要求。

定理3：對于式(8)表示的2條α-BBC，當控制球的半徑滿足ri=sj=c(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n;c為不等于零的常數)時，若2條α-BBC的骨架p(t)與q(t)之間達到G2拼接，即

(10)

其中λ>0，μ∈R，則2條α-BBC之間達到G1拼接。

在實際問題中，可通過取定合適的控制球使得定理2或定理3成立，從而實現2條α-BBC的G1拼接。例如，對于式(8)表示的2條α-BBC，當控制球的半徑滿足rm-1=rm=s0=s1=0，球心pm-1、pm=q0、q1共線時，不難可知式(9)成立，此時2條α-BBC之間達到G1拼接。若修改其中一條α-BBC所含的自由參數，則僅會對該條α-BBC的形狀產生影響，此時可實現G1拼接α-BBC的局部調節，如圖5所示；若將2條α-BBC所含的自由參數取為相同，則可通過修改這個相同的參數實現對G1拼接α-BBC的整體調節，如圖6所示。

圖5 自由參數對G1拼接三次與四次α-BBC的局部調節

圖6 自由參數對G1拼接三次與四次α-BBC的整體調節

圖5中，三次α-BBC的參數取為α1=0.7且保持不變，四次α-BBC的參數分別取為α2=0.9與α2=0.5；在圖6中，三次α-BBC與四次α-BBC的參數相同，且分別取為α1=α2=0.7與α1=α2=0.9。

下面再給出2個由α-BBC進行實體造型的實例。圖7為利用三次α-BBC構造而成的燈籠，燈籠的頂部與底部為滿足G1拼接的三次α-BBC；圖8為利用三次α-BBC與四次α-BBC構造而成的蝴蝶。

圖7 燈籠造型

圖8 蝴蝶造型

4 結束語

本文將α-Bézier曲線的控制頂點替換為控制球，構造了一種帶形狀參數的球域Bézier曲線。該球域Bézier曲線與傳統球域Bézier曲線的性質類似，而且在控制球不變時可通過修改所含參數的取值實現對其形狀的自由調整，從而進一步拓寬了球域Bézier曲線的應用，也為具有可變厚度的管狀物體造型提供了一種有效手段。