在問題的驅動下構建精彩紛呈的數學課堂

陳建興

浙江省德清縣第六中學 313200

問題是促進學生發展的動力源，是促進思維發展的加速器，是開展探究性學習的動因，是培養學生創新精神的起點和關鍵點.因此，在數學教學中有必要創設一些問題，開展一些探究活動，從而發展學生的數學思維，提高教學效率.但在現實教學中，部分教師對探究性學習的認識不夠充分，片面認為探究在一定程度上會影響課堂教學進度和教學秩序，不利于教學活動的開展，因此在日常教學中，尤其在新知教學中，部分教師還是習慣使用“照本宣科”的講授法，依舊是課堂中的主體，學生難以提出有價值的問題，學生的思維能力和學習能力難以在問題的驅動下得到較大提升.為了改變這一現象，在日常教學中，教師有必要設置一些探究性問題，讓學生在問題的引領下自主發現、自主探究，從而獲得屬于自己的知識，將思維引入更深處，提高學生解決問題的能力［1］.

借助實際問題，開展數學探究

實際問題更具生活味，更易于引發學生共鳴，更易于激發學生探究熱情，因此開展探究性學習時，教師要善于借助實際問題為學生提供主動發現、主動探究的學習條件［2］.

1.借助生活味，激發學生的探究欲

在日常教學中，教師應站在學生的角度，巧妙地將教學內容進行整合和重組，為學生提供真實的、有思考價值的問題，如生活素材、熱點話題等，引導學生用數學思維去看待和解決實際問題，進而激發學生思維活力.

案例1三角函數的應用.

真實情境：某電力公司需要一臺62 m的混凝土泵車對相關機組進行“泵車注水”冷卻作業.已知該機組高46 m，而泵車只能在距離該機組9.6 m以外的區域進行作業，那么該泵車是否能夠滿足作業要求呢？

問題：假設泵車高AB=3.2 m，三段臂長BC=30 m，CD=25 m，DM=7 m.機組為底邊長48 m，高46 m的正四棱柱，注水方案要求如圖1所示.AB⊥AF，DM∥AF，出水口M需至少伸入機組寬度的，問該泵車是否滿足作業要求？

圖1

解析：如圖2所示，設∠DCT=θ，出水口M伸入機組的寬度為y，由題意可以求出NG，CG，GT的值.因為y=GT+DM，GT可求，已知DM，故可得y.

圖2

設計意圖：該設計從實際問題出發，讓學生親身體驗數學在實際生活中的重要應用價值，從而提升學生的數學應用意識.在教學中，通過真實情境與數學問題相對比，使“生活”與“數學”完美地融合于一體，進而使生活問題更具體，使數學問題更具親和力.

2.設置遞進式探究問題，激發學生的潛能

數學知識是抽象的，因此學習時學生難免會產生畏難情緒，然設置一些遞進式、緩坡度的問題有助于學生了解數學，讓學生感覺數學知識并不是遙不可及的，完全可以通過自己探索、分析、歸納、總結而獲得，從而幫助學生建立良好的數學情感，激發學生學習的興趣和潛能［3］.另外，通過自主探究獲得的知識一定更易于學生記憶和理解，更易于學生建立屬于自己的獨特的認知體系，更易于提高學生解決問題的能力.

案例2幾何概型.

問題1：若A=｛1，2，3，4，5，6，7，8，9｝，從A中任取一個數，試求這個數不大于3的概率.

問題2：若A=［0，9］，從A中任取一個數，試求這個數不大于3的概率.

設計意圖：對于問題1，大多數學生都能夠利用古典概型輕松求解，這樣幫助學生實現舊知鞏固，為新知探究做好鋪墊；問題2是問題1的變式，通過設置懸念讓學生思考A=［0，9］中有多少數是不大于3的.在問題1的鋪墊下，理解問題2會更加自然、舒暢，有助于提升學生的探究信心.

問題3：取一根長9米的細線，任意選擇一個位置將細線剪成兩段，你能算出這兩段的長度都不小于3米的概率嗎？

設計意圖：與問題1和問題2形成對比，讓學生理解和區分“有限性”和“無限性”，為得出幾何概型定義和后面靈活應用奠基.

問題4：在面積為20平方分米的圓盤內印有一個面積為0.3平方分米的圓形花紋圖案，若在圓盤上任取一點，該點落在圓形花紋圖案內的概率是多少？

問題5：現有一杯1 L的水，水中有1個雜質，若從中任意倒出0.1 L的水，求倒出的水中含有雜質的概率.

設計意圖：面對此類與長度、面積、體積等有關的概率問題時，已經難以用古典概型進行解決，學生迫切需要尋找新的模型，因此幾何概型的引出既必要又自然.通過以上問題的設置，引發了學生的認知沖突，使得學生對新知形成了深刻印象，同時也讓學生進一步理解了兩種概型（古典概型和幾何概型）的區別和聯系，為以后靈活運用奠定了堅實的基礎.

在教學中，教師應合理創設一些符合學生認知規律、順應思維發展的問題來激發學生的探究欲，這樣既有利于幫助學生更好地理解新知，又能促進學生思維的發展.在本案例中，無論是新知引入還是新知建構，問題的設計都是合理的，尤其在新知建構時，先從一維的長度出發，與前面古典概型問題形成對比，為新知的探究埋下伏筆，接下來從二維的面積和三維的體積進行合理建構，讓學生的認知和思維在遞進式問題的驅動下盤旋上升.

借助生成性問題，開展數學探究

有些問題是教師為了達到某種效果提前預設的，而有些問題則是學生在探究的過程中自然生成的，這些自然的生成性問題往往更能激發學生的潛能，更能培養學生的獨創精神.但在現實教學中，為了保證教學進度，部分教師并沒有合理看待和應用這些寶貴的生成性問題，這使得學生因提出的問題未能得到正面回應而喪失了探究問題的積極性，這顯然不利于問題解決，也不利于學生創新意識的提升.要知道，學生是探究的主體，只有讓學生參與進來，并提出問題，才能使探究更有價值.因此，教學中教師要為學生提供一個主動探究的平臺，讓學生在探究中學會提問、學會分析、學會合作、學會自主學習，構造一個精彩的、生動的課堂.

1.建構探究平臺，為探究性問題的生成創造條件

學生是學習的主人，是探究的主體，是課堂的參與者和建構者，每個學生都是鮮活的個體，都具有無限發展的潛能.學生對問題有著自己獨特的見解和感悟，教學中若能合理激發、有效共享，一定可以使課堂豐富起來、生動起來.

案例3探究“阿波羅尼斯圓”.

片段1：創設問題情境.

師：之前我們學習了橢圓和雙曲線，我們知道橢圓研究的是在平面內“到兩定點的距離之和的點的軌跡”問題，雙曲線研究的是“到兩定點的距離之差的點的軌跡”問題，如果讓你繼續研究，那么你想研究什么問題呢？

生：“到兩定點距離之商或之積的點的軌跡”問題.

設計意圖：從舊知出發，通過類比方法引導學生自主提出問題，這不僅可以有效激發學生的探究欲，而且為學生指明了研究的方向.

在課后調研中發現，在教師提出這個問題前，沒有學生思考或研究過此問題，可見學生主動思考、主動探究的意識不強，學習缺乏探究深度和廣度.那么是什么原因造成這一情況的發生呢？其實這與教師的教學習慣息息相關.在現實教學中，教師往往講得過多，而安排學生思考的時間又過少，沒有培養學生良好的思考和提問的習慣，當學生面對有規律的問題時，往往視而不見，學生學習是被動的.因此，教學中教師需要多設計一些探究性問題，培養學生主動思考、主動提問、主動創新等良好的思維品質.

2.體驗知識生成過程，讓學生成為真正的探究者

數學學習過程就是“舊知—新知—舊知”交替變化的過程，在日常教學中應多帶領學生去體驗這一變化過程，從而讓學生在掌握“雙基”的基礎上，還能獲得更多的情感體驗，培養學生正確的學習觀.

片段2：學生活動.

問題1：在同一平面上有兩定點A，B，其坐標分別為A（－2，0），B（4，0），若動點P滿足，則點P的軌跡方程是________，其軌跡是________.

問題給出后，教師沒有讓學生急于求解，而是先帶領學生回顧求軌跡方程的一般步驟，為后面變式探究活動的開展做好鋪墊.從教學反饋來看，學生對求軌跡方程有著清晰的認識，因此解決問題1顯得得心應手.在求解問題1時，設點P（x，y）后，結合題設信息，根據兩點間的距離公式建立已知與未知的聯系，化簡后得到軌跡方程（x+4）2+y2=6，其軌跡是圓.全班學生都能順利完成該題，為了繼續探究，引導學生發現一般規律，教師又給出了如下探究問題：

結合問題1的探究經驗，學生輕松地求得軌跡方程為x=1，是一條直線，且該直線為線段AB的中垂線.

對于不確定值問題的探究，容易造成學生畏難情緒，因此教學中教師需借助幾何畫板進行展示，讓學生結合直觀體驗發現隱含其中的規律.

設計意圖：在該定理的教學中，教師并沒有直接給出定理，而是通過恰當的問題情境為新知探究做好鋪墊，接下來運用變式和信息技術引導學生親歷“阿波羅尼斯軌跡定理”的形成過程，讓學生在解決問題的過程中不僅獲得了知識，而且提升了解決實際問題的能力.

3.借助多元問題，培養學生創新意識

剛剛的定理不是教師直接給出的，而是學生自己探究發現的，使得學生的學習熱情被迅速激發了出來，接下來教師繼續引導學生去發現、去探究，使該定理與基本知識點相關的內容同化或異化，從而得到更有探究價值的問題，以此讓學生體會探究活動既是自然的，又是有著明確方向和目標的，培養學生發現問題的能力.

片段3：知識建構.

師：想一想該定理的題設是什么？結論是什么？（為了便于觀察，教師用PPT展示定理）

生：題設為：①給定了相異的兩點A與B；②同一平面內動點P滿足=λ（λ＞0且λ≠1）；結論是：點P的軌跡為圓.

師：說得很好，如果將題設和結論重新組合，你能夠提出哪些新問題？

師：若將題設中的“給定了相異的兩點A與B”與結論“點P的軌跡為圓”互換呢？（教師發現部分學生并沒有理解上述問題，及時給予引導）

問題2：已知點A（－2，0），P是圓C：（x+4）2+y2=16上任意一點，平面上是否存在這樣的定點B，使得？

設計意圖：引導學生將有限的資源進行改編，從而形成新問題、新探究，激發學生的創新意識.同時，為了讓學生明晰探究方向，教師將問題1進行了改編，從熟悉的問題出發，更易于探究活動開展和知識生成.

變式：已知P是圓C：（x+4）2+y2=16上任意一點，x軸上是否存在這樣的兩定A，B，使？

設計意圖：通過問題2和變式的探究，引導學生得出新猜想：若點P為某圓一動點，則平面一定存在兩定點A，B，使得為常數λ（λ＞0且λ≠1）.

在本案例的探究過程中，通過由淺入深的問題引導，學生經歷了從特殊到一般的數學探究過程，獲得了良好的數學體驗.教學中教師應鼓勵學生多一些思考，多一些嘗試，多一些聯想，多一些變換，讓學生在掌握基礎知識和基礎技能的同時，經歷知識產生、形成和發展的過程，更好地獲得積極的數學體驗，以此提高學生的創新意識.

總之，教學中教師要充分發揮好領導者的作用，根據學生實際情況創設一些真實的、多元的探究性問題，在問題的驅動下讓學生主動去嘗試、去聯想、去發現、去探究，從而讓學生成為課堂的探究者、開拓者，讓數學課堂充滿無限生機和活力.