RBF 神經網絡在靜電懸浮位置控制中的應用*

陸瀟曉 劉曉珂 李 虎 鄭 福 孫志斌 于 強

1(中國科學院國家空間科學中心 北京 100190)

2(中國科學院大學計算機科學與技術學院 北京 100049)

0 引言

靜電懸浮是一種研究新型材料的無容器懸浮技術，在測量難熔材料熱物性、分析材料凝固機理、探索新型材料等方面有著廣泛應用[1]。靜電懸浮技術通過給電極接通高壓，使表面帶電的樣品克服重力，懸浮在電極之間的電場中，避免了容器壁對材料的接觸和污染。相比聲懸浮、氣懸浮、電磁懸浮等其他懸浮方式，靜電懸浮有著擾動小、材料適用范圍廣、加熱控制與懸浮控制相互獨立等優勢，易于使樣品獲得更深的過冷程度[2]。

國際空間站[3]和中國的空間站[4]上都配備了靜電懸浮實驗裝置，2021 年發射的中國空間站將在空間開展眾多樣品的靜電懸浮實驗。但在空間開展靜電懸浮實驗的成本極為高昂，實驗機會極其稀少，難以滿足大量的材料科學實驗需求。為配合完成空間靜電懸浮實驗，需開展大量地基驗證實驗，提供堅實的技術支持。

1993 年Rhim 等[5]在美國研制了第一臺地基靜電懸浮無容器設備，隨后日本[6]、德國[7]、韓國[8]也先后研制了靜電懸浮裝置并開展材料深過冷實驗。目前，中國的西北工業大學[9]、中國科學院國家空間科學中心[10]和中國科學院空間應用工程與技術中心[11]也開展了靜電懸浮技術的研究工作。

樣品的位置控制是靜電懸浮實驗的基礎，后續實驗操作是在樣品穩定懸浮基礎上完成的。靜電懸浮位置控制系統通過控制高壓源的輸出電壓來改變樣品受到的電場力，抵消重力場的作用力，從而控制樣品的懸浮位置。因此，樣品的表面電荷量直接影響其懸浮狀態。在實驗過程中，當使用加熱激光器對樣品進行加熱操作時，樣品的體積、表面帶電量等性質會發生變化，并且靜電懸浮位置控制系統自身有著非線性的特點，傳統PID（Proportion Integration Differentiation）算法對于系統受到的擾動不能很好地抑制，難以自適應獲得穩定的控制效果。尤其是當材料加熱過程中因表面狀態變化而使表面電荷量驟減，或者熱電效應導致表面電荷量驟變時，不及時調整控制參數易造成實驗的失敗。Nakamura 等[12]使用高速CCD（Charge Coupled Device）代替PSD（Position Sensitive Detector）傳感器，研制了以高速CCD 作為樣品位置探測器的靜電懸浮位置控制系統，減小了位置傳感器非線性部分的影響。但是高速CCD 比PSD 傳感器成本高且圖像采集、傳輸及處理過程需要極大的計算量，限制了控制周期進一步的調整。Meister 等[13]采用局部線性化和極點配置的方法，設計了一種基于插值的靜電懸浮增益調度控制器，但其僅以估計的樣品帶電量作為調度變量，忽略了樣品體積、質量、激光強度等因素的影響。同時，對于不同樣品，通過插值進行增益調度的方法在實際工程中存在一定難度。

神經網絡技術的興起為控制技術提供了新的方法和途徑。在各種神經網絡中，RBF（Radial Basis Function）神經網絡是一種性能良好的三層前饋神經網絡，具有較好的全局逼近性質，能夠逼近任意的非線性函數，并有較快的學習收斂速度[14]。在進行控制器設計時，RBF 神經網絡不需要知道系統的精確模型，即可實時對模型參數和擾動進行估計補償[15]，因此在航天工程[16]、伺服系統[17]、控制領域[18]、環境科學[19]等領域有著廣泛應用。

針對靜電懸浮位置控制系統非線性和時變性的特點，為提高其自適應性和魯棒性，本文推導了靜電懸浮位置控制系統的機理模型，提出RBF-PID 自適應控制方法，對靜電懸浮實驗中樣品的位置控制進行研究，并通過仿真與實驗驗證該方法的控制穩定性和抗干擾能力。

1 靜電懸浮位置控制系統及建模

1.1 靜電懸浮位置控制系統構成

圖1 給出了靜電懸浮位置控制系統工作原理。靜電懸浮位置控制系統中垂直方向的懸浮電極由上電極和下電極組成，上電極與高壓源的輸出端連接，下電極接地，在上下電極之間形成向上的電場，使帶正電的樣品受到向上的電場力與重力平衡，實現懸浮。位置控制系統使用PSD 位置傳感器作為檢測裝置，PSD 傳感器型號為DL100-7 PCBA3，分辨率為1 μm，測量噪聲為15 nV·Hz–1/2。平行光源發出波長632.8 nm、直徑2 cm 的光斑，覆蓋整個上下電極之間的空間。PSD 傳感器位于平行光源的正對面，接收平行光束，并根據樣品的陰影位置輸出相應的電壓信號，電壓信號經放大電路和采集電路處理后被控制器讀取。

圖1 靜電懸浮位置控制系統工作原理Fig. 1 Position control system of electrostatic levitation

靜電懸浮位置控制系統主要包括位置測量（PSD 傳感器）單元、數字控制器（包含位置信號采集電路和放大電路）、執行器輸出（高壓源）和被控對象（材料樣品位置）4 部分，樣品的位置控制回路如圖2所示。

圖2 樣品位置控制回路Fig. 2 Control loop of sample position

控制系統通過PSD 傳感器獲取樣品的位置，并與系統設定值進行比較，將二者之差輸入給數字控制器，數字控制器通過偏差改變輸出的控制信號，使高壓源輸出的高壓相應地變化，達到控制樣品位置的目的。

1.2 靜電懸浮位置控制系統機理模型

實驗的環境為真空環境（真空度為10–5Pa）。在懸浮過程中，樣品在垂直方向上受到4 個力的作用：重力、庫侖力、上電極鏡像力和下電極鏡像力。其中，庫侖力和上下電極鏡像力的合力用以抵消重力，實現樣品的懸浮。

假設樣品的表面形狀是規則的球形，上電極接高壓源負極，下電極接地。這里將樣品視為位于樣品重心處重量為m、帶電量為qs的質點。在懸浮的開始階段，樣品放置于下電極上。因為上電極連接了負高壓U，負電荷會在上電極表面逐漸累積，相應地，正電荷會在下電極和樣品表面逐漸累積。假設上下電極是無窮大的平面，則上下電極之間會形成一個方向向上的勻強電場，樣品在電場中受到的庫侖力

其中,Fc為樣品受到的庫侖力，qs為樣品的表面電荷量，z為上下電極的間距，U為高壓源的輸出電壓。

此外，樣品還受到上下極板對樣品的鏡像力作用。鏡像力是一種電荷感應力，當接地平面無限大導體外(距離為r)放置一個正電荷(+q)時，則該電荷將在導體表面上感應出負電荷( -q)，這兩個正負電荷之間相互吸引，該吸引力可以采用鏡像電荷計算[20]。樣品受到上電極的鏡像力為其中，ε0為真空介電常數，d為樣品距離下電極的高度，qs為樣品的表面電荷量，z為上下電極的間距。

樣品受到下電極的鏡像力為

假設上下電極間距10 mm，樣品質量為70 mg，帶電量為10–9C，根據式（4）計算樣品穩定懸浮時，樣品位置與所施加電壓的關系，結果如圖3 所示。由圖3 可以看出，樣品在靠近上電極和下電極的位置時，所需懸浮電壓會急劇變化。

圖3 位置平衡處樣品位置與控制電壓的關系Fig. 3 Relationship between the sample position and the controlling voltage when sample position is in equilibrium

假設樣品在起跳后所帶電荷量qs保持不變，且最后穩定懸浮于上下電極的正中間，對式（4）進行線性化，可得在平衡位置附近靜電懸浮位置系統的傳遞函數

由此可見，從控制角度來看，在靜電懸浮位置控制系統平衡點附近，從高壓源電壓輸入到樣品位置輸出的傳遞函數結構是近似二階的。但是樣品偏離平衡狀態的程度較大時，該傳遞函數與實際實驗模型會存在偏差。

2 RBF-PID 自適應控制

2.1 RBF 神經網絡

RBF 神經網絡具有很強的非線性擬合能力，在實時辨識系統方面有著許多應用[21,22]。典型的RBF 網絡是一個三層前饋網絡，包含輸入層、隱含層和輸出層，如圖4 所示。

圖4 RBF 神經網絡結構Fig. 4 Structure diagram of RBF neural network

其中,cj為第j個神經元高斯基函數的中心矢量，σj為第j個神經元高斯基函數的寬度。RBF 網絡隱含層到輸出層之間為線性映射，轉換函數為

其中，ωj為第j個神經元的輸出權重。

2.2 RBF-PID 控制器的設計

考慮到在實驗過程中，樣品的體積、重量、帶電荷量等因素變化都會導致位置控制系統狀態的變化，且這些變化是隨機的、無重復性、無特征性。在這種情況下，為了增強模型在多種狀態下的適用性以及位置控制系統的魯棒性，使用RBF-PID 控制方法調節RBF 神經網絡的結構與權值，并根據模型預估值與目標值之差調整PID 控制參數?；赗BF-PID 控制器的總體控制回路如圖5 所示。

圖5 RBF-PID 控制器結構回路Fig. 5 Structure loop diagram of RBF-PID controller

首先，手動設置kp，ki，kd參數的初值，以及RBF神經網絡的隱含層節點數、學習速率和動量因子。RBF-PID 控制器根據系統的輸入與輸出，使用梯度下降法[24]調整內部神經網絡的節點中心矢量、基寬度和輸出權值，實時快速辨識系統的狀態，有

其中，η為學習效率，α為動量因子，ωj為神經元節點的輸出權值，σj為神經元節點的基寬度，cji為神經元節點的中心矢量。式(8)～(11)為迭代更新。

在獲得模型狀態的情況下，RBF-PID 控制器根據網絡預測值與給定目標值之間的差值，修改PID 三個控制參數，達到自適應控制的效果，有

式(12)～(15)為PID 控制參數迭代調節方法。

最后，更新PID 參數，并使用更新后的PID 參數對系統進行控制，有圖6 為靜電懸浮位置控制系統的非線性仿真結果，RBF-PID 模塊包含PID 控制器和RBF 神經網絡，系統模型模塊包含輸入電壓、樣品的受力和運動情況。在RBF-PID 控制器中，RBF 網絡辨識模塊的輸入參數有三個，即當前時刻樣品的位置、速度與控制高壓。根據經驗，設RBF 隱含層結點個數為250，基函數半徑σ為0.12，學習速率η為30，動量因子α為0.04，初始PID 參數P=10000，I=120，D=20000，PID 學習速率分別為ηp=500，ηi=850，ηd=350。系統仿真參數列于表1。通過樣品更新后的數據調整RBF 網絡節點的中心位置和寬度，計算出更新的

表1 系統仿真參數Table 1 Parameters of system simulation

圖6 靜電懸浮位置控制系統非線性仿真結果Fig. 6 Nonlinear simulation result of position control system of electrostatic levitation

3 仿真與實驗

3.1 仿真分析

PID 參數，并更新電壓與樣品位置，以此類推。

為驗證RBF-PID 控制器的魯棒性，將傳統PID控制器與二次型目標函數最優整定后的PID 控制器對比，仿真結果如圖7 和圖8 所示。

圖7 為樣品在起跳懸浮階段時三種控制方法的初始響應曲線。從圖7 中可以看出，傳統PID 控制器的控制效果并不理想，雖然最后樣品可以懸浮至設定位置，但是在懸浮上升階段系統有著大幅振蕩，且上升時間較長。二次最優整定PID 控制器的I 參數初始值較大，比RBF-PID 控制器早0.008 s 起跳。在懸浮上升階段，兩種控制器的響應曲線都很平滑，沒有振蕩現象。在接近設定目標值時，RBF-PID 控制器無超調發生，而最優整定PID 控制器有0.5 mm的超調。從開始起跳到穩定懸浮，最優整定的PID 控制器耗時約0.1 s，RBF-PID 控制器耗時約0.065 s。因此，RBF-PID 控制器的上升時間更短，超調更小，到達穩定所需時間更少。

圖7 各控制器的初始響應曲線Fig. 7 Initial response curve of different controllers

圖8 為樣品的表面電荷量突變為原來的0.5 倍、2 倍和3 倍時，傳統PID 控制器、最優整定的PID 和RBF-PID 三種控制器對抗擾動的響應曲線。

圖8 電荷量突變時各控制器的響應曲線Fig. 8 Response curve of different controllers when the charge changes suddenly

從圖8 中可以看到，當電荷量突增或驟減時，傳統PID 控制方法需要較長時間到達穩定狀態，且伴隨有高頻的振蕩。最優整定的PID 控制器在控制的過程中有多次較小的振蕩現象出現，且會有超調情況出現； RBF-PID 控制器對應的響應曲線較為平滑，無振蕩現象，從擾動出現到樣品位置控制穩定需要的時間最少。仿真實驗的對比分析列于表2。由此可以認為當樣品電荷量突變時，RBF-PID 控制器更穩定、更快速，有著更強的抗干擾性和魯棒性。

表2 仿真結果對比Table 2 Comparison of simulation results

通過仿真實驗可以看出，RBF-PID 控制器與傳統PID 控制器和最優整定的PID 控制器相比，在起跳時具有更快的響應速度，懸浮控制過程更加快速平穩、無震蕩；在樣品表面電荷突變時，RBF 神經網絡可以快速辨識系統狀態，并實時更新控制參數，使輸出依舊能很好地跟蹤輸入。

3.2 實驗驗證

為了驗證所提出的控制方法在靜電懸浮位置控制系統中的有效性，使用直徑2 mm 的鋯球樣品作為控制對象，依據仿真結果對位置控制參數進行實時調整。實驗系統的采樣和控制頻率為300 Hz。圖9 為靜電懸浮實驗裝置。樣品鋯的懸浮實驗如圖10 所示。實驗環境的真空度為10–5Pa。

圖9 靜電懸浮實驗裝置Fig. 9 Experimental facility of electrostatic levitation

圖10 樣品鋯懸浮實驗Fig. 10 Diagram of sample zirconium in levitation state

圖11 為室溫下三種控制方法的控制效果對比。從圖11 可看出：常溫下，傳統PID 控制器樣品位置誤差在–0.13～0.11 mm 之間，平均絕對誤差為0.0384 mm；最優整定的PID 控制器樣品位置誤差在–0.08～0.11 mm 之間，平均絕對誤差為0.0269 mm；參數實時調整后樣品位置誤差在–0.095～0.08 mm 之間，平均絕對誤差為0.0172 mm，控制效果比傳統PID 方法提高55%。

圖11 室溫下各控制器的樣品位置對比Fig. 11 Sample position comparison of different controllers at room temperature

當使用紅外激光器給樣品加熱時，由于體積、表面電荷量等因素的變化，樣品會出現大幅振蕩現象，尤其是當樣品初次處于半融化狀態時，樣品電荷量突增和驟減的情況發生最頻繁，樣品位置振蕩最劇烈，位置控制系統的干擾量最大。當樣品處于初次熔化的過程中，三種控制方法的樣品位置誤差如圖12所示。從圖12 可以看出，傳統PID 控制器的樣品位置誤差在–0.43～0.69 mm 之間，平均絕對誤差為0.1879 mm；最優整定的PID 控制器樣品位置誤差在–0.143～0.296 mm 之間，平均絕對誤差為0.0685 mm；控制參數實時調整后樣品位置誤差為–0.14～0.185 mm，平均絕對誤差為0.0416 mm，控制效果比傳統PID 提高70%?；赗BF 神經網絡實時調整控制參數的方法與傳統PID 控制器和最優整定的PID 控制器的控制效果對比引于表3。

表3 實驗結果對比Table 3 Comparison of experimental results

圖12 加熱狀態下各控制器的樣品位置對比Fig. 12 Sample position comparison of different controllers at heating state

4 結論

根據靜電懸浮位置控制系統及其理論模型，提出了一種基于RBF 神經網絡的靜電懸浮位置系統的控制方法。該方法利用RBF 神經網絡，通過系統的輸入與輸出量，實時辨識系統狀態，并根據網絡模型更新PID 控制參數，實現靜電懸浮位置系統的自適應控制。仿真結果表明：當樣品帶電量從10–9C 突變至3×10–9C 時，RBF-PID 控制器只需0.1 s可使系統達到穩定狀態。依據仿真結果對控制參數進行實時在線調整，實驗結果表明：室溫條件下，參數實時調整后系統的平均絕對誤差為0.0172 mm，比PID 控制效果提高55%；加熱狀態下，參數實時調整后系統的平均絕對誤差為0.0416 mm，比PID 控制效果提高70%。所提的控制方法對系統有較高的辨識精度，當系統存在較大擾動時可以快速抑制干擾，使輸出良好地跟蹤輸入，具有比傳統PID 控制方法更高的穩定性、魯棒性和抗干擾性。