高等數學幾個知識點的教學經驗體會

吳先兵

長江師范學院數學與統計學院 重慶 408100

1 無窮小量階的應用新技巧

1.1 無窮小量階的概念

注：(1)顯然xα(x→0)是α階無窮小量。

(2)顯然若f(x)-xα(α>0)，則f(x)是α階無窮小量。

(3)f(x)是無窮小量，若f′(x)是α階無窮小量，則f(x)是α+1階無窮小量。

(A)α，β，γ(B)α，γ，β(C)β，α，γ(D)β，γ，α

分析：α′=cosx2=1(x→0+)，則α′是0階無窮小量，因此α是一階1無窮小量。

β′=2xtanx-2x2，則β′是2階無窮小量，因此β是一階3無窮小量。

因此答案為(D)。

1.2 無窮小量的階在極限計算的新技巧

大家都知道等價無窮小量替換計算極限適用于乘除形式，不適用于加減形式。

=1-1

=0

二者答案是一樣的，但一個解題過程是錯誤的，一個解題過程是正確的。

顯然這個解法是錯誤的，因為不滿足極限四則運算的前提條件“極限存在”。

問題思考：以上兩例在解法中，例3通過拆開的方法，轉換成乘除形式利用等價無窮小量替換的解法是正確的；而例4通過拆開的方法，轉換成乘除形式利用等價無窮小量替換的解法是錯誤的。原因何在？通過觀察可以發現例3通過拆開的方法沒有違背極限四則運算的前提條件“極限存在”，而例4通過拆開的方法違背了極限四則運算的前提條件“極限存在”。因此，只要拆開的方法沒有違背極限四則運算的前提條件“極限存在”，就可以考慮拆開方法。事實上可以發現經驗：只要拆開后，分子無窮小量的階不小于分母分子無窮小量的階就可以拆開。

下面提出新的技巧解題方法——配階拆分法。

分析例4，分母是3階無窮小量，故配3階無窮小量。

解題分析：因為分母是3階無窮小量，故分子只要配出不低于3階的無窮小量就可以拆分。

例6:(2009考研數二)求極限：

解：

此時分母為4階無窮小量，可通過洛必達法求導將分母為4階無窮小量降為3階無窮小量，再配階分拆計算。

解：

例8：(2013考研數二)當x→0，時1-cosx·cos2x·cos3x與axn為等價無窮小，求n與a的值。

解題分析：axn為n階無窮小量，故只要1-cosx·cos2x·cos3x知道是幾階無窮小量即可。

2 多元抽象復合函數求偏導經驗

多元抽象函數求偏導是學生學習的一個難點，尤其求二階偏導更難。在這里總結求多元抽象復合函數偏導規律的如下，便于學生們參考學習。

經驗：(1)函數對第一位置的變量偏導乘以第一位置的變量(偏)導+函數對第二位置的變量偏導乘以第二位置的變量(偏)導+函數對第三位置的變量偏導乘以第三位置的變量(偏)導……

(2)抽象函數的偏導函數與原函數有相同變量構造，再次求偏導應重復(1)。

解題分析：該題主要考查多元抽象復合函數求導和全微分不變性，可用上面規律。

解題分析：該題主要考查多元抽象復合函數求導和極值問題。

又函數g(x)可導且在x=1處取得極值g(1)=1.

所以，g′(1)=0，故：

3 多元隱函數求偏導經驗

多元隱函數求偏導也是學生學習的一個難點，在這里總結求偏導規律如下：

經驗：(1)一個方程只決定一個函數，兩個方程決定兩個函數，根據所求結果決定變量中哪些是函數變量，哪些是自變量。

(2)對方程兩邊某自變量求偏導時，其余自變量視為常量，注意函數變量一定不能視為常量，即函數變量一定是該自變量的函數。

經驗運用舉例：例11：(2004考研數一)設u=f(x，y，z)連續可偏導，且函數z=z(x，y)，由xex-yey=zez確定，求du。

解題分析：該題有兩個方程，故有兩個函數變量，共涉及四個變量x、y、z、u，根據題設，可確定z、u為函數變量，x、y為自變量。該題考查多元抽象函數求偏導和多元隱函數求偏導兩個知識點，可考慮用上面兩個規律來求解。

解：兩個方程兩邊對x求偏導有:

兩個方程兩邊對y求偏導有：

解題分析：該題有三個方程，故有三個函數變量，共涉及四個變量x、y、z、u，根據題設，可確定z、u、y為函數變量以及x為自變量。該題考查多元抽象函數求偏導和多元隱函數求偏導兩個知識點，可考慮用上面兩個規律來求解，該題還考查了變限積分函數求導方法。

解：對三個方程兩邊對x求導，有:

(1)

(2)

(3)

聯立(1)(2)(3)解得: