二階非齊次偏微分方程特解的教學探究

桑彥彬 史娜 張健

1.中北大學數學學院 山西太原 030051；2.中國石油大學理學院 山東青島 266580

1 概述

近年來，對于二階非齊次線性常微分方程特解計算的教學探討受到了廣泛的關注。文獻[1]對經典的待定系數法求特解的方法進行了簡化。進一步，文獻[2]將矩陣方法和待定系數法進行了結合，建立了二階非齊次常微分方程特解的公式解。文獻[3]提出了伴隨方程的定義，將非齊次項分為三種不同的類型，分別給出了特解的求法。與上述文獻不同，文獻[4]通過常系數齊次方程的線性無關的特解，建立了對應的非齊次問題的特解，推廣了待定系數法和常數變易法。最近，文獻[5]改進了教材[6]中兩種類型的特解計算和文獻[7]的特定取值法。另一方面，微分算子法和微分算子級數法在非齊次常微分方程和偏微分方程特解的計算中也得到了一定的應用。文獻[8]通過引入微分算子，討論了線性常微分方程通解和特解的求法。進一步，文獻[9]研究了微分算子級數法在波動方程初值問題中的應用。文獻[10]介紹了幾類非齊次常微分方程特解的微分算子級數法，改進了微分算子法。數學物理方程教材[11]系統地論述了微分算子法在求解熱傳導方程和波動方程通解中的應用。

非齊次偏微分方程特解的求法在數學物理方程的教學實踐中是無法回避的，然而其計算并無通法，只能依據非齊次項的特征，針對不同的類型進行求解。本文研究了直接積分法和微分算子法在幾類非齊次偏微分方程中特解的具體應用。設二階常系數線性非齊次偏微分方程的一般形式為：

Auxx+Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Fu=f

2 直接積分法

(1)若F=0，f=C。

此種情形，可令uxx=uxy=uyy=0，進一步，ux=C，或ux=C。由于此時取一階偏導數為常數，二階偏導數必為零，直接積分即可得到方程的特解，進行這樣的假設是合理的。

例1 求4uxx+5uxy+uyy+ux+uy=6的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=0，進一步取

uy=0，或ux=0，

則ux=6，或uy=6。

故該方程的特解可取u*=6x，或u*=6y。

(2)若E=F=0，C≠0，f=C1y+C2。

由于此時非齊次項只含有y，不含x，f關于x的一階和二階偏導數均為零，則Cuyy=C1y+C2，對y直接積分可得其特解。

例2 求uxx+10uxy+9uyy+7ux=3y+2的特解。

解：令uxx=uxy=ux=0，則9uyy=3y+2。

同理，若D=F=0，A≠0，f=C1x+C2。此時非齊次項只含有x，不含y，可令uxy=uyy=uy=0，則Auxx=C1x+C2，也可直接積分可得其特解。

(3)A，B，C，D，E，F均不為零，且f=C1x+C2，或f=C1y+C2。

若f=C1x+C2，由于f只含有x，不含y，可設uxx=uxy=uyy=uy=0，此時退化為Dux+Fu=f，可借助于一階線性非齊次常微分方程通解公式獲得其特解；同理，若f=C1y+C2，由于f只含有y，可設uxx=uxy=uyy=ux=0，此時退化為Euy+Fu=f，亦可得出其特解。

例3 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3uy-2u=2x+1的特解。

解：令uxx=uxy=uyy=uy=0，則所求方程轉化為ux-2u=2x+1。將此時u=u(x，y)看作只與x有關，即可得到以下特解：

與文[3-5]相比，此處的直接積分法簡便易用，且對于非齊次項為僅含有單變元的線性函數均是適用的。進一步，該方法也可應用于更一般的初邊值問題。

3 微分算子法

若A，B，C，D，E，F均不為零，且f=C1x+C2y。

此時，f含有x與y，直接積分法和采用一階線性非齊次方程的特解求法均失效，而微分算子的引入提供了適當的框架。同時，可利用冪級數的展開式直接參與運算。

例4 求3uxx+7uxy+2uyy+ux-3ux-2u=2x+3y的特解。

即:

(Dx+2Dy+1)(3Dx+2Dy-2)u=2x+3y.

設:

解之:

=2x+3y-Dξ(2x+3y)

=2x+3y-(2xξ+3yξ)

=2x+3y-8

進而:

此即為所求問題的特解。

事實上提供了上述問題特解的積分表達式。應當指出的是，上述結論對二維和三維情形都是成立的。進一步，為便于計算，教材[11]給出了雙曲算子的冪級數展開式，若F(x)為任意階可微函數，則:

例5 求以下初值問題的特解。

(1)

解：問題(1)的特解可取為:

例6 求以下初值問題的特解。

(2)

解：問題(2)的特解可取為:

與文獻[8-10]相比，本文提供的微分算子法適用于非齊次項含有兩個變元的一般情形，突破了單變元的限制。進一步，由于微分算符的可運算性，該方法可應用于不同維數的波動方程的初邊值問題。應該指出的是，若非齊次項僅為單變元的線性表達式，則可以通過直接積分法獲得其特解。

例7 求以下初值問題的特解。

(3)

解：令uxx=uyy=uzz=0，則utt=2(y-t)，關于時間t直接積分兩次，可得問題(3)的特解：

結語

本文通過對二階常系數線性非齊次偏微分方程的系數和非齊次項的分類，給出了計算特解的直接積分法和微分算子法。值得強調的是，對于一些具有較特殊性質的變系數非齊次偏微分方程，也可采用類似的方法求取相應的特解。本文提供的方法具有較強的一般性和普適性，對今后的數學物理方程課程的教學具有一定的借鑒意義。