正交法/響應(yīng)面法四點(diǎn)接觸桃形溝球軸承參數(shù)優(yōu)化＊

高福生 賈瑞超 姜淑鳳③ 閆朝竣 王俊峰

（①齊齊哈爾大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161001；②齊重?cái)?shù)控裝備股份有限公司，黑龍江 齊齊哈爾 161005；③黑龍江省智能制造裝備產(chǎn)業(yè)化協(xié)同創(chuàng)新中心，黑龍江 齊齊哈爾 161001）

四點(diǎn)接觸球軸承屬于分離型軸承的一種，可以承受徑向載荷和軸向載荷，使其承載性較高，常應(yīng)用于風(fēng)力發(fā)電、重型機(jī)床、精密儀器以及軍工領(lǐng)域等[1-2]。這類(lèi)零部件在使用過(guò)程中，其幾何參數(shù)決定了承載性能與使用壽命，而加工這類(lèi)零件的過(guò)程中其幾何參數(shù)也決定了加工精度。因此，研究如何提升四點(diǎn)接觸球軸承的幾何參數(shù)優(yōu)化，提升軸承使用壽命有著非常重要意義。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)四點(diǎn)接觸球軸承進(jìn)行了大量的研究。例如，Rivera G 等人[3]等人、Joshi A 等人[4]和Chen L 等人[5]研究了四點(diǎn)接觸軸承的運(yùn)轉(zhuǎn)矩陣、摩擦力矩控制方法及剛度分析；何培瑜等人[6]分析了球直徑對(duì)軸承性能的影響；陳月等人[7]研究了四點(diǎn)接觸球軸承內(nèi)圈和外圈圓度誤差對(duì)軸承旋轉(zhuǎn)進(jìn)度的影響；伍黎等人[8]采用有限元軟件模擬了四點(diǎn)接觸球軸承的接觸特性和載荷分布規(guī)律；張占立等人[9]分析了四點(diǎn)接觸轉(zhuǎn)盤(pán)球軸承的負(fù)游隙與摩擦力矩的關(guān)系。以上各種研究中主要集中在對(duì)四點(diǎn)接觸球軸承幾何參數(shù)的復(fù)雜關(guān)系，對(duì)于四點(diǎn)接觸球軸承壽命的提升研究較少。

為了研究如何提升四點(diǎn)接觸球軸承壽命，本文以軸承壽命為目標(biāo)函數(shù)，以滾子數(shù)量、滾子直徑、墊片角和軸承游隙為影響因素，基于正交試驗(yàn)法和響應(yīng)面法對(duì)其進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 軸承優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的建立

四點(diǎn)接觸球軸承的內(nèi)、外圈溝道截面圖呈現(xiàn)桃型，被稱(chēng)為“桃形溝”，當(dāng)軸承不受載荷作用時(shí)，軸承中的鋼球和“桃形溝”只有四點(diǎn)接觸，進(jìn)而被稱(chēng)為四點(diǎn)接觸桃形溝軸承。四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)如圖1 所示。

圖1 四點(diǎn)接觸球軸承結(jié)構(gòu)示意圖

圖1 中Dw為滾子直徑、α為墊片角、Z為軸承滾子和Gr為軸承游隙。這是四點(diǎn)接觸桃形溝類(lèi)軸承的主要幾何參數(shù)，影響加工精度與使用壽命。

1.1 四點(diǎn)接觸球軸承壽命計(jì)算方法

研究球軸承壽命的決定因素時(shí)將基本額定壽命作為目標(biāo)函數(shù)，如式（1）所示，L為基本額定壽命。

將式（1）轉(zhuǎn)化為以時(shí)間為單位的Lh表示。

式中：C為軸承徑向基本額定動(dòng)載荷；P為軸承徑向當(dāng)量動(dòng)載荷；ε為軸承壽命指數(shù)，原始設(shè)計(jì)中取值四點(diǎn)接觸球軸承中ε=3；n為軸承轉(zhuǎn)速。

當(dāng)四點(diǎn)接觸球軸承滾子直徑Dw的取值小于25.44 mm 時(shí)，徑向基本額定動(dòng)載荷C的計(jì)算公式為

式中：bm為常用優(yōu)質(zhì)淬火軸承剛和良好加工方法額定系數(shù)；fc為軸承零件幾何形狀、制造精度及材料有關(guān)的系數(shù)；i為滾動(dòng)體列數(shù)；α為公稱(chēng)接觸角；Z為滾子數(shù)；軸承徑向當(dāng)量動(dòng)載荷P計(jì)算公式為

式中：X為徑向動(dòng)載荷系數(shù)；Y為軸向動(dòng)載荷系數(shù)；Fr為徑向載荷；Fa為軸向載荷。

經(jīng)式（3）與式（4）代入推導(dǎo)后式（2）變?yōu)榛绢~定壽命時(shí)間計(jì)算式（5）。

1.2 約束條件

根據(jù)式（5）可知，影響四點(diǎn)接觸軸承壽命的因素主要有軸承的滾子數(shù)量Z、軸承滾子直徑Dw、墊片角和軸承游隙Gr。四點(diǎn)接觸球軸承在實(shí)際工程應(yīng)用中為保證其強(qiáng)度，相鄰滾子間距需大于0.15Dw，即約束條件的計(jì)算條件為

式中：DPW為球組節(jié)圓直徑；Cmin為相鄰滾子間的周向間隙。根據(jù)參數(shù)經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化其約束的條件范圍如表1 所示。

表1 軸承設(shè)計(jì)變量約束條件

根據(jù)上述約束條件，以原始設(shè)計(jì)的四點(diǎn)接觸球軸承的車(chē)床加工過(guò)程為模擬原型，設(shè)定其內(nèi)圈轉(zhuǎn)速15 000 r/min，參考其他學(xué)者的研究成果取值Fr為3 500 N，滾子數(shù)量為21 個(gè)，其他主要參數(shù)如表2所示。

表2 四點(diǎn)接觸球軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù) mm

通過(guò)查表得到：bm=1.3，fc=189.2，X=0.66，Y=1代入公式（6），通過(guò)計(jì)算該四點(diǎn)接觸軸承壽命為7 119 h。為進(jìn)一步驗(yàn)證四點(diǎn)接觸球軸承壽命與軸承滾子數(shù)量、滾子直徑、墊片角和軸承游隙之間的關(guān)系，以軸承滾子數(shù)量、滾子直徑、墊片角及軸承游隙間距為影響因素，以軸承壽命為優(yōu)化目標(biāo)對(duì)該四點(diǎn)接觸球軸承進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。

2 軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 正交試驗(yàn)法軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)

軸承的滾子數(shù)Z、滾子直徑Dw、墊片角α以及軸承游隙Gr是影響著軸承的壽命的主要參數(shù)，為確保試驗(yàn)結(jié)果的優(yōu)化，采用正交試驗(yàn)法，是一種研究多因素的設(shè)計(jì)方法，從全部試驗(yàn)中挑選出具有代表性的因素進(jìn)行組合[10-12]。本研究將軸承滾子數(shù)Z、滾子直徑Dw、墊片角α及軸承游隙Gr作為正交試驗(yàn)法的影響因素，首先構(gòu)建正交試驗(yàn)表如表3 所示。

表3 軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)變量（正交實(shí)驗(yàn)因素水平）

正交試驗(yàn)4 因素5 水平則表示為L(zhǎng)25（54），如不采用正交法經(jīng)計(jì)算需進(jìn)行625 次試驗(yàn)，而采用正交實(shí)驗(yàn)法只需進(jìn)行25 次，通過(guò)分析確定最優(yōu)設(shè)計(jì)方案，25 種正交試驗(yàn)組合方案及計(jì)算結(jié)果如表4所示。

表4 軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)正交試驗(yàn)計(jì)算結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

對(duì)表4 的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析可知，不同影響因素對(duì)于軸承壽命的影響所呈現(xiàn)的規(guī)律是不同的，還需要其他方法輔助進(jìn)行分析最終確定軸承的參數(shù)優(yōu)化方案。

2.2 基于響應(yīng)面法優(yōu)化方案的確定

響應(yīng)面法是采用有限的試驗(yàn)次數(shù)，通過(guò)回歸擬合的表達(dá)式代替實(shí)際功能函數(shù)曲面。標(biāo)準(zhǔn)響應(yīng)面函數(shù)的表達(dá)式為[13-15]

式中：xi為設(shè)計(jì)變量；n為設(shè)計(jì)變量的個(gè)數(shù)；a0、ai、aii和aij均為多項(xiàng)式待定的系數(shù)。

響應(yīng)面合理性的評(píng)估通常由決定系數(shù)（R2），均方根函數(shù)（RMSE）以及相對(duì)最大絕對(duì)誤差（RMAE）所決定[13-15]，其計(jì)算公式分別為

為了更加直觀地判斷出響應(yīng)面擬合的合理性，可以通過(guò)查看其計(jì)算值與模型預(yù)測(cè)值的關(guān)系圖進(jìn)行判斷，越接近預(yù)測(cè)線代表其計(jì)算結(jié)果越準(zhǔn)確。

將正交試驗(yàn)25 次組合方案中除去第20 次即優(yōu)化前軸承組合方案外，另外24 次試驗(yàn)方案所得出軸承壽命填入到Design-Expert 軟件響應(yīng)面法模塊中，首先確定正交試驗(yàn)組合方案計(jì)算的軸承壽命與模型預(yù)測(cè)值的情況，對(duì)比結(jié)果如圖2 所示，其中，離散點(diǎn)為試驗(yàn)得出軸承壽命，直線為模型預(yù)測(cè)值。

通過(guò)對(duì)圖2 分析可知，正交試驗(yàn)計(jì)算出的軸承壽命與模型預(yù)測(cè)出的軸承壽命較為接近。當(dāng)需要獲得精確參數(shù)時(shí)候需要對(duì)模型系數(shù)顯著性進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果如表5 所示。

通過(guò)X的取值經(jīng)過(guò)式（8）～（10）計(jì)算得出，決定系數(shù)R2為0.990 5，均方根函數(shù)RMSE為0.983 2，相對(duì)最大絕對(duì)誤差RMAE為0.963 2，并通過(guò)分析表5 中數(shù)據(jù)可知，P＜0.005 代表有顯著性差異，P＜0.000 1 代表具有極顯著差異，該設(shè)計(jì)模型有意義。因此，說(shuō)明正交試驗(yàn)法計(jì)算出的軸承壽命結(jié)果較為合理，具體最優(yōu)方案的選值要根據(jù)各因素的影響規(guī)律分析進(jìn)行確定。

表5 軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)變量

2.3 各因素影響規(guī)律分析及最優(yōu)參數(shù)的確定

各因素影響軸承壽命值的大小可通過(guò)表5 中載荷F值的大小及等高線圖進(jìn)行判斷。F值越大影響因素越大，等高線越接近橢圓形，表明兩個(gè)因素間的交互作用對(duì)軸承壽命的影響越顯著[16-17]，各因素間的等高曲線如圖3 所示，其中變量的單位如表3所示。

通過(guò)對(duì)圖3 等高線的分析，根據(jù)F值的大小，可以得出隨著滾子數(shù)和滾子直徑的增大軸承的使用壽命值增大；隨著墊片角度不斷地增加，軸承壽命先增大后減小再增大；隨著軸承游隙不斷增大，軸承壽命先增大再趨于平穩(wěn)。因此，各因素對(duì)軸承壽命的影響大小順序則為：墊片角＞滾子直徑＞滾子個(gè)數(shù)＞軸承游隙。

圖3 各因素對(duì)軸承壽命影響的等高線

通過(guò)Design-Expert 軟件的優(yōu)化模塊得出軸承優(yōu)化的最佳組合方案為滾子數(shù)19 個(gè)，即軸承最優(yōu)化方案為正交試驗(yàn)的第9 次試驗(yàn)方案。

2.4 優(yōu)化設(shè)計(jì)的結(jié)果對(duì)比

通過(guò)以上分析可知，四點(diǎn)接觸球軸承最佳設(shè)計(jì)方案為正交試驗(yàn)第9 次組合方案，其滾子個(gè)數(shù)為19，滾子直徑為19.73 mm，墊片角為19°，軸承游隙為0.17 mm，軸承使用壽命為10 987 h。優(yōu)化后軸承參數(shù)與優(yōu)化前軸承參數(shù)對(duì)比結(jié)果如表6 所示。

表6 軸承優(yōu)化前后對(duì)比

由表6 的數(shù)據(jù)分析可知，優(yōu)化后四點(diǎn)接觸球軸承滾子個(gè)數(shù)減少2 個(gè)，軸承游隙減少0.06 mm，滾子直徑增加0.72 mm 及墊片角增加6°后，優(yōu)化后的四點(diǎn)接觸球軸承壽命比優(yōu)化前四點(diǎn)接觸球軸承壽命增加了3 868 h，軸承的壽命得到明顯提升。

3 橫向?qū)嶒?yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比分析

由于軸承在使用過(guò)程中的耗損受實(shí)際工況的突發(fā)因素影響不可預(yù)控，因此模擬實(shí)驗(yàn)獲得的采樣數(shù)據(jù)是參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)的有效參考值，本課題的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明了對(duì)軸承疲勞壽命影響最大的因素是滾珠直徑，為了證明理論分析的正確性，通過(guò)橫向比對(duì)相關(guān)研究[18]給出的最優(yōu)的滾珠直徑的尺寸與壽命提高比例關(guān)系，相關(guān)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比結(jié)果如表7 所示。

根據(jù)分析表7 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，在使用壽命提高比例接近的情況下，滾珠數(shù)量減少時(shí)滾珠直徑增加，有利于轉(zhuǎn)速與荷載增加，本課題的模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)論有效。

表7 軸承優(yōu)化橫向模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

基于正交實(shí)驗(yàn)法和響應(yīng)面法對(duì)四點(diǎn)接觸桃形溝球軸承進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到如下結(jié)論：

（1）滾子個(gè)數(shù)、滾子直徑、墊片角和軸承游隙是軸承壽命的直接影響因素，隨著滾子數(shù)、滾子直徑的增加軸承壽命增加；隨墊片角增加，軸承壽命先增加后減少再增加；隨軸承游隙的增加，軸承壽命先增加后趨于平穩(wěn)。順序?yàn)閴|片角＞滾子直徑＞滾子個(gè)數(shù)＞軸承游隙。

（2）滾子個(gè)數(shù)為19，滾子直徑為19.73 mm，墊片角為19°，軸承游隙為0.17 mm 為基于原始設(shè)計(jì)的四點(diǎn)接觸球軸承最佳優(yōu)化設(shè)計(jì)方案，優(yōu)化后四點(diǎn)接觸球軸承壽命比優(yōu)化前四點(diǎn)接觸球軸承壽命增加了54.33%，優(yōu)化效果明顯。

上述結(jié)論證明了優(yōu)化方案的可行性，驗(yàn)證了滾子個(gè)數(shù)、滾子直徑、墊片角和軸承游隙對(duì)軸承壽命的影響規(guī)律，為軸承優(yōu)化設(shè)計(jì)提升新思路。