2022年新高考Ⅱ卷第21題的解法探究與推廣

廣西南寧市第三中學（530021）欒功

一、試題呈現

分析：試題第（1）問考查雙曲線的漸近線和標準方程的基本概念；第（2）問以直線與雙曲線的位置關系為背景，創新性地設置了與中點弦有關的開放性問題，要求考生從①②③三個命題中選擇兩個作為條件，一個作為結論并證明。考生有“選①②證明③”“選②③證明①”“選①③證明②”三種方案可選擇。開放的試題形式給考生提供了獨立思考、發揮能力的空間，有效測查了考生的創新能力、分析問題和解決問題的能力。

二、解法探究

圖1

方案1：選擇①②證明③。

于是xM=xN，yM=yN，即點M 與點N 重合，從而|MA|=|MB|，問題得證。

評注：由①②為條件證明③，因為點M 在直線AB 上，故只需證明點M 與AB 的中點N 重合，即坐標相等。點N 為AB 的中點，由其坐標自然聯系到中點坐標公式，問題轉化為求解點A，B 的坐標，回到問題本質，即求解直線AB與漸近線的交點坐標；再看點M 的坐標，由題設知點M 在兩條直線上，其坐標也自然回歸到了兩條直線的交點問題。該方案的解答過程充分體現了解決解析幾何問題的一般性思考程序和通性通法。

方案2：選擇②③證明①。

評注：方案2的解答與方案1的解答異曲同工，都是依據點M與點N坐標之間的關系解決問題。

方案3：選擇①③證明②。

評注：由題干解析知點M 的軌跡是一條直線，通過點和直線的位置關系建立直線PQ 的斜率k 與AB 的斜率m 之間的相等關系，從而證明PQ ∥AB。如同方案1、2，問題的解決都依靠點的坐標驅動，整個解答過程都在體現解決解析幾何問題的通性通法。

評注：該解法從直線PQ 的斜率入手探究點M的軌跡，符合考生解題的思維視角，不足之處是運算量略大。運算過程中對代數式的合理變形決定運算的快慢與結果的正誤。平時教學中，教師應帶領學生經歷這樣的運算過程，暴露學生的運算卡點，以幫助學生突破運算瓶頸。該解法的亮點是對漸近線方程的處理。單墫教授在《解析幾何的技巧》中寫道：“將兩個一次方程乘起來是一個重要的手法，在組成二次曲線束時常常需要這樣做。”［1］

評注：該解法很能凸顯考生的思維能力，由中點弦知識容易知道kABkOM==3，由于要證PQ ∥AB，即證kPQ=kAB，問題自然轉化為求證kPQkOM=3，繼而借助點差法的巧勁步步為贏，值得稱贊。

評注：該解法的思路源于解法3，是對解法3的進一步思考和優化。由兩個中點弦關系容易得kABkOM=3，kPQkOE=3，要證kPQ=kAB，只需證明kOE=kOM，而合比定理的應用避免了復雜的運算，很大程度上優化了運算。

以上三種方案和不同解法既開闊了學生的解題視野，也逐步揭示了問題本質。下面我們通過對問題一般化的推廣及證明，進一步理解運算對象，探索運算路徑的優化方法，剖析運算對象間的本質聯系。

三、一般化推廣

推廣1、2 的證明同解法3，在此不再贅述。下面繼續探究點M 一般化情形下的軌跡及各條件間的內在規律。

（1）若M在AB上，PQ ∥AB，則|MA|=|MB|；（2）若M在AB上，|M A|=|MB|，則PQ ∥AB；（3）若PQ ∥AB，|M A|=|MB|，則M在AB上；（4）若M，E分別為AB，PQ的中點，則O，E，M三點共線。

推廣4 的證明過程如上述三個方案的解答，在此不再贅述，感興趣的讀者可以繼續探究試題內部結構，在嘗試提出更具探究性、開放性的問題的過程中，進一步領悟試題本質。

四、教學建議

（一）強化通性通法的教學，突破數學運算瓶頸

解析幾何為新教材的主干知識，內含豐富的數學思想方法，是考查學生直觀想象、邏輯推理、數學運算的最佳素材，自然也是新高考數學壓軸題的熱門之選，教師在教學中應該引起高度重視。縱觀近三年新高考數學試卷中的解析幾何壓軸題，減少了技巧性問題，強化了通性通法的考查。例如本文所選考題的三種方案都用到了直線方程的合理表達，求解兩直線交點坐標的基本方法。即使問題的難度有所降低，但考生的解答并不理想，主要表現在設參不自信，算法設計不明確，這導致運算難以達到目標。面對這種困境，教師在教學中要引導學生思考點、直線不同設法背后的數學本質，讓學生學會自信地設計運算程序，而對于代數式化簡的關鍵步驟，要敢于交流展示并暴露運算的卡點，通過學生間、師生間的交流討論，探索解決運算卡點的思維途徑，逐步提高學生的數學運算素養，突破數學運算瓶頸。

（二）注重創新能力的培養，創新育人方式

《普通高中數學課程標準（2017 年版2020 年修訂）》在“高考命題建議”中明確指出：命題時，應有一定數量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題，重點考查學生的思維過程、實踐能力和創新意識［2］。如本文所選考題，打破了固有的命題模式，創新性地讓考生獨立自主地選擇和設計問題，既降低了機械刷題的效益，又給不同層次的考生提供了發揮能力的空間，更有利于學生創新能力的培養。在一線教學中，教師應引導學生對例題、習題進行深度改編，盡可能地挖掘教材例題和習題的功能，進一步指導學生命制開放性試題。在這樣獨立自主的問題解決環境中培養學生的思維能力、分析問題和解決問題的能力，育人于潛移默化中。