聚焦數學元素提高數學素養

王秋榮

［摘 要］數學有其獨特的教學內容，這些內容可以提煉為數感、推理能力、應用意識、創新意識等數學元素。教師如果能夠從這些元素出發，以培養學生數學核心素養為目的，精心設計課堂教育教學方法，那么就能打造精彩的數學課堂。

［關鍵詞］負數；數學元素；精致課堂；數學素養

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2022）23-0087-03

數學課程標準提出，在數學課程中，應當注重發展學生的數感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數據分析觀念、運算能力、推理能力和模型思想等數學元素。為了適應時代發展對人才培養的需要，數學課程還要特別注重發展學生的應用意識和創新意識。特級教師張齊華老師教學“負數”時，抓住了其中的數感、推理能力、應用意識、創新意識等數學元素，打造了一堂精彩紛呈的數學課。

一、聚焦數感，關注學生感悟能力的培養

數感是學習數學的重要基礎，數感強調的是感悟，培養學生數感是教師教學的重要目標。所謂數感就是指關于數與數量、數量關系、運算結果估計等方面的感悟，就是一種主動地、自覺地或自動化地理解數和運用數的態度和意識，是對數的敏銳的、精確的、豐富的感知和領悟。小學數學教學活動不僅要讓學生感悟“數是對數量的抽象”，還應當反過來，讓學生感悟“抽象出來的數與數量是有聯系的”。

抽象的核心是舍去現實背景，聯系的核心是回歸現實背景。比如，同樣是100這個抽象的數，但100粒黃豆與100匹馬給人的現實感受是不一樣的；再比如，去菜市場買菜，帶100元一般就足夠了，但要購買房子，100元是遠遠不夠的。因此，對于現實生活的許多情況，人們需要了解數與現實背景之間的聯系，從而感悟并判斷在日常生活和科學研究中數所提供的信息。此外，學生對觀察或運算的結果也應當有一定的感悟，或者說直覺判斷。比如，學生應當能夠憑直覺判斷18加9比30大還是比30小，1/2加3/8比1大還是比1小。有了上面所說的感悟，學生就能在現實生活中比較合理地把握數以及數的運算。

張老師在“負數”這節課中多次聯系生活實際培養學生對“負數”的數感。例如，在學生理解了負數的本質特征之后，張老師給學生帶來了5個“-2”，這5個“-2”就是舍去現實背景之后的抽象的數，但是一旦聯系現實背景，這5個“-2”給人的感受又是截然不同的。學生在黑板上分別寫出“某盆地的海拔高度為-2米”“某地最低氣溫為-2攝氏度”“汽車停在-2樓”“銀行卡余額為-2元”“兒子的身高是-2厘米”后，通過各種圖形，他們進一步理解了生活中的負數，數感得到了增強。

在引導學生觀察負數的特點時，張老師就請學生說出自己觀察發現的負數的特點。一個學生說“負數前面有一個減號”，形式上這是對的，本質上這是錯的。如何引導學生準確地區分負號和減號非常重要，這將成為培養數感的一個契機。張老師沒有直接指出這個學生的錯誤，而是請他繼續發言。最后學生得出這樣一個結論：在運算的時候是減號，在表示數的時候是負號。得出這個結論的過程看上去輕松，其實飽含了張老師尊重學生學習感受，尊重學生學習主體地位的觀念和意識，體現了教師注重培養學生數感的理念。在課堂中，張老師還引導學生學習了正號，并且通過對數加不加正號的討論，讓學生明確整數和負數的本質在于與0的比較。這就是培養學生對觀察或運算結果的感悟，從而進一步培養了學生的數感。

通過上面的討論可以看到，培養學生的數感不僅是學習數學的需要，而且有助于培養學生認識和解釋現實事物的能力。小學數學教學在很多的時候都可以抓住抽象的數與現實事物之間的關系，讓學生在觀察、感受、討論中有所領悟，這是培養數感的有效途徑。

二、聚焦推理，培養學生判斷、推理的思維能力

推理是人們學習和生活中經常使用的思維方式，也是數學的基本思維方式。推理是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程，有直接推理、間接推理等。數學課堂上，教師要抓住機會引導學生進行合情推理和演繹推理，幫助學生由已知發現未知，這樣既能培養學生的推理能力，又能激發學生的學習興趣。

伽利略認為，一切推理都必須從觀察與實驗中得來。這句名言道出了合情推理的重要意義。所謂合情推理，就是一種比較自然的、合乎情理的、似乎為真的推理，它是根據已有的數學事實和數學結論，或以個人數學經驗（數學實驗或實踐）和數學直觀進行推測而得到某些結果的一種推理，常表現為憑直觀和聯想、直觀或直覺等非邏輯思維形式，通過觀察、實驗、歸納、類比、由特殊到一般等方法直接獲得某種數學結論。

張老師的“負數”一課中，合情推理能力的培養貫穿了課堂的始終。他首先展示“-1層”“-3攝氏度”“-250米”“-1025元”等短語，讓學生具體說說其中負數表示的實際含義，調動學生的生活經驗。這一階段，既是對學生數感的進一步培養，又為后續引導學生對負數進行合情推理做了必要的鋪墊。然后王老師讓學生在黑板上寫出5個不同的負數，讓學生通過觀察、歸納、推理，得出負數帶有負號的外在特點和負數都比0小的本質特征。張老師通過創設情境、引導觀察、對比分析、由個別到一般的推理過程，培養了學生合情推理的能力。通過自己觀察，由個別到一般的合情推理，是學習數學的基本方法。學生掌握了這種推理方法之后，就容易透過現象發現本質了。

演繹推理是由一般到特殊的推理方法，與合情推理相對。表面上看，張老師的這堂課都是合情推理，其實仔細品味，還是能夠發現課堂中有演繹推理的巧妙運用。例如，正數和負數的分界線0其實只是一個參照物。參照物就是演繹推理的大前提、一般的原理。一般來說，參照物并不是固定不變的，不同的參照物，會導致出現不同的負數類型。當參照物是平均數的時候，那么大于這個平均數的就是正數，小于這個平均數的就是負數。理解了這一點，再聯系到本課的特殊事例——兒子的身高是-2厘米，就容易理解“-2”在此處的含義了。

總之，教學新知識的時候，教師不宜把已有的知識或者答案直接告訴學生，而應該帶領學生進行合情推理或演繹推理，幫助學生培養各種推理能力，從而發展學生的思維能力。

三、聚焦應用，培養學生數學和生活相結合的重要意識

數學來源于生活，同時又要應用于生活，讓數學為生活服務。這也是小學數學教學的目標。陶行知認為“行是知之始，知是行之成”，他還提出了“生活即教育”“社會即學校”“教學做合一”等口號。阿基米德把數學研究和力學、機械學緊緊地聯系在一起，用數學研究力學和其他實際問題，保護敘拉古戰役中的機械巨手和投石機等就是最生動的一個例子，有力地證明了“知識就是力量”的真理。古今中外的先賢們都明白數學知識要與生活結合起來的道理，只有在生活中應用數學知識，讓數學知識服務于生活，數學知識才能轉變成力量。

張老師在“負數”這節課中，始終把知識與生活結合起來，從生活中來又回到生活中去，充分體現了數學的本質特征和作用，有效培養了學生應用數學的能力。當學生明確負數的兩大特點之后，他給學生展示了5個“-2”的生活實例：-2米、-2攝氏度、-2樓、-2元、-2厘米。這些例子有自然科學方面的，有人類生活方面的，還有人體生理方面的，涉及的范圍廣、代表性強，能充分體現負數在社會生活中的廣泛應用，使學生在學習負數的同時，提高學習數學的興趣，培養應用數學的意識。

為了充分發揮學生應用數學的主觀能動性，張老師從多角度、多層次精心設計情境，廣泛拓展學生的知識面。如課堂上有關于海拔的拓展認識，有對世界上最高海拔的拓展，有正確認讀溫度計的指導，有對地面高度為0的認識，還有對銀行卡中的“-2元”產生的疑問，更有對“身高為-2厘米”的研究和探索。通過這一系列內容豐富多彩、方式多種多樣的拓展，學生認識到數學知識的應用。這樣不但自然而然地引出了課堂結論，而且讓學生在學數學、用數學的過程中，進入了社會生活，從而體會到數學課堂的魅力和樂趣。

張老師培養學生應用數學的例子給了筆者深刻啟發：教師教學時要運用發散思維，聯系生活實際，把數學與豐富的社會生活結合起來，帶領學生進入到生活的廣闊天地中學習，讓學生用所學知識解釋生活現象，解決生活問題，這樣，何愁數學教不出樂趣，何愁學生學不會數學呢？

四、聚焦懷疑，大力培養學生的創新意識

創新意識的培養是現代數學教育的基本任務。牛頓和齊白石是兩位著名人物。牛頓是偉大的科學家，他曾有許多偉大的發現，如力學三大定律、萬有引力定律、牛頓環、光微粒說、冷卻定律以及微積分等，然而到了晚年，他故步自封，因循守舊，不再創新。齊白石在成功后則馬不停蹄，不斷改變自己的畫風，使得作品更加成熟，形成獨特的風格和流派。由此看來，即使是偉大的學者，也不能故步自封，創新是他們保持進步、強大的重要法寶。

正因為創新如此重要，所以在小學數學教學中增強學生的創新意識，培養他們的創新能力非常迫切。教師要從創新意識的基礎、核心和方法三個維度來培養學生的創新意識。

創新意識的基礎，就是學生在學習的過程中產生懷疑，通過懷疑自主發現問題，即學生要有問題意識。北宋理學家程頤說：“學者先要會疑。”同樣也是北宋理學家的張載說：“在可疑而不疑者，不曾學，學則須疑。”兩人的話基本意思是相同的，就是懷疑是學習、治學的基本條件，不懷疑就不能夠有所創新，在治學上就不能夠取得成就。因此，教師要在課堂上創設機遇，激發學生的懷疑意識，讓學生在不斷的“懷疑—解決”過程中有所收獲。

張老師在這堂課中多次發出疑問，如“今天我們學習一種新的數類，叫作負數。有誰見過負數？在哪里？”“誰能來說說負數有什么特點？”“除了這個特點，還有嗎？”……這些問題有的從現實生活中出發，有的從黑板上學生的板書出發，但都圍繞“負數”的基本特征提出問題，引導學生通過自主觀察、深入思考來發現問題。一連串設計巧妙的問題激起了學生頭腦中的疑問，從而有效培養了學生的創新意識。

創新意識的核心是獨立思考和學會思考。發現問題以后要善于進行獨立思考和對他人話語的辨析思考。獨立思考是在前面懷疑的基礎上進一步的深化。有的人通過懷疑發現了問題，但是他們不愿意通過自己的努力去解決疑問，而是把對問題的解決寄托在他人身上，這樣就喪失了自主解決問題的契機，創新也就無從談起了。因此，當發現疑問之后，教師一定要引導學生通過自主探究或者同伴之間合作探究去解決問題。這個方面張老師做得非常好。例如，在某同學說負數的特點是這個數的前面有一個減號時，張老師沒有急于否定，而是請這位同學繼續深入思考這一問題。通過進一步的觀察和思考，該同學消除了自己認識上的誤區，獨立自主地給出了正確答案。一個小小設計，體現了教師培養學生創新思維的意識，難能可貴！

要培養學生的創新意識，只是局限于紛繁復雜的表面現象是不行的，必須對各種現象進行本質屬性的提煉，再進行綜合與歸納，才能透過現象，把握本質上的一般規律，從而有所創新。例如，張老師善于引導學生從生活現象中歸納出負數的特點，歸納出參照物0的兩種方法，這對學生的思維培養來說，都體現了一定的創新性。當然，在歸納和概括之后，教師要引導學生對歸納和概括的內容加以必要的驗證，證明它們的科學性，這樣的創新才是真正的創新。

總之，在數學課堂上，教師要始終聚焦數學元素，通過自己的精心設計和引導，充分尊重學生學習的主體地位，發揮他們學習的積極性和能動性，大力開展探究性學習，帶領他們進入數學學習的王國，從而有效發展學生數學核心素養，為他們數學的終身學習奠定堅實的基礎。