高靈敏度6電極平行板電容傳感器的理論分析與數值模擬

王福謙， 殷 勇

（西南交通大學希望學院基礎部，成都 610400）

0 引 言

為克服傳統平行板電容傳感器薄膜厚度測量靈敏度低的問題，基于平行板電容傳感器的測厚原理［1-5］，提出具有較高厚度測量靈敏度的6電極平行板電容傳感器。將理論分析和計算機數值模擬相結合，利用保角變換法、格林函數法及軟件Matlab，討論傳統平行板電容傳感器與6電極平行板電容傳感器的電場，給出2種電容量的表達式，在此基礎上比較2種平行板電容傳感器度的測量靈敏度，由軟件Matlab數值模擬結果，得到6電極平行板電容傳感器的靈敏度遠高于傳統平行板電容傳感器的結論，并指出提升6電極平行板電容傳感器靈敏度的途徑。

1 傳統電容傳感器的電勢與電場強度

傳統平行板電容傳感器由間距為h、寬度為w及長度為L（L＞＞w）的幾何尺寸相同的兩平行板電極組成，上、下電極的電勢分別為U0和-U0，其沿長度方向的橫截面如圖1所示。

由于平行板電容傳感器的幾何尺寸滿足L＞＞w，故在垂直于電極長度方向的所有截面上的電場分布均相同，其電場可視為二維靜電場，在其任一截面z平面上的電勢分布，可用保角變換法來討論。因為指數函數可將z平面上0＜Im z＜h水平帶域變換為ζ平面的上半平面，所以，為了利用格林函數法研究計及邊緣效應的傳統平行板電容傳感器的電勢分布，并進一步給出場強分布，可作如下的保角變換［6］

經變換式（1），如圖1所示的z平面上的由2電極位置所限定的水平帶形域0＜Im z＜h，就映射為ζ平面的上半平面，變換后ζ平面上的平行板電容傳感器電極橫截面的位置如圖2所示。

其端點坐標可由式（1）確定。

經此變換后，z平面上平行板電容傳感器內的電勢分布，就變換為ζ平面上的位于其上半平面的如下的邊值問題：

對式（2）應用格林函數法［7-8］，可得ζ平面上的電勢分布

由式（1），有

將式（4）中的ξ、η及由式（4）所確定的ξ1、ξ2、ξ3和ξ4代入式（3），則得z平面上平行板電容傳感器的電勢分布為

式中：x1＝x3＝-w/2；x2＝x4＝w/2；y1＝y2＝h；y3＝y4＝0。

由場強與電勢的微分關系E＝-?φ，利用式（5）可得傳統平行板電容傳感器內的場強分布為

為給出邊緣效應對平行板電容傳感器電場分布影響的直觀圖像，通過式（5），利用軟件Matlab對其場分布進行數值模擬［9-10］，并繪制出其電場線和等勢線（面）圖（見圖3）。圖中的電場線與等勢線及極板均垂直，場線分布正確合理。

2 傳統平行板電容傳感器的電容及其隨電極間距的變化規律

2.1 傳統平行板電容傳感器的電容

設平行板電容傳感器上、下電極的電勢分別為U0和-U0，其自由電荷面密度為σ01及σ02（σ02＝-σ01），當兩電極平板間填充有介電常數為ε的均勻介質時，由高斯定理得Dn＝σ01，有

平行板電容傳感器電極A的帶電量為

平行板電容傳感器的電容量為

2.2 傳統平行板電容傳感器的電容隨極板間距的變化規律及其測量靈敏度

圖4為由式（9）利用軟件Matlab［11-12］繪制出的傳統平行板電容傳感器的電容量隨電極間距在1～5 cm范圍內變化圖像。由圖4可見，當傳統電容傳感器極板間距較小時，其C-h曲線較陡，曲線斜率的絕對值較大，電容量隨著電極間距的增大減小得較快；而當極板間距較大時，其C-h曲線較平緩，曲線斜率的絕對值較小，其電容量隨著電極間距的增加減小得較慢。

由式（9）可得，傳統平行板電容傳感器厚度測量的靈敏度為

圖5為由式（10）利用軟件Matlab繪制出的傳統電容傳感器的靈敏度k隨電極間距在1～5 cm范圍內的變化圖像。

由圖5可見，當傳統電容傳感器電極間距較小時，其測量靈敏度較低，當電極間距較大時，其靈敏度較高，傳統電容傳感器的靈敏度k隨電極間距的變化規律與圖4給出的其電容C隨電極間距的變化規律是一致的。

3 6電極平板電容傳感器的電勢與電場強度

6電極平行板電容傳感器探頭由間距為h的兩組互相平行板電極組成，上部3個電極電勢為U，下部3個電極的電勢為-U，電極的寬度和間距分別為w和s，其橫截面如圖6所示。

各電極長度為L，且L遠大于各電極的寬度w。在垂直于電極長度方向的所有截面上的電場分布均相同，可取任一截面為z平面來討論電勢和場強在的分布。指數函數可將z平面上0＜lm z＜h水平帶域變換為ζ平面的上半平面，為利用格林函數法計算z平面上6電極平行板電容傳感器電勢的分布，可作如下的保角變換［6］：

經變換式（11），z平面上由傳感器電極橫截面位置所限定的水平帶形域0＜lmz＜h，映射為ζ平面的上半平面，變換后的ζ平面上各平板電極橫截面如圖7所示，各電極端點位置坐標由式（11）確定。

經上述變換，z平面上6電極平行板電容傳感器內的電勢分布就變換為ζ平面上位于其上半平面如下的邊值問題

對式（12）應用格林函數法［13-14］，可得ζ平面上的電勢

由式（11），有

將式（14）中的ξ、η及由式（14）確定的ξ1—ξ12代入式（13），積分后則得z平面上6電極平行板電容傳感器內電勢分布

由場強與電勢的微分關系E＝-?φ，利用式（15）并考慮該式中x1＝x7＝-x6＝-x12＝-（1.5w＋s）；x2＝x8＝-x5＝-x11＝-（0.5w＋s）；x3＝x9＝-x4＝-x10＝-0.5w；y1＝y2＝y3＝y4＝y5＝y6＝h；y7＝y8＝y9＝y10＝y11＝y12＝0?？傻?電極電容傳感器的場強：

為給出6電極平行板電容傳感器內電場分布的直觀圖像，以驗證本文所得結論的正確性，下面用數學軟件Matlab對電場分布進行數值模擬［15］，電場線和等勢線的分布如圖8所示。由圖8可見，電場線與等勢線及導體邊界均垂直，場線分布正確，為預期結果。

4 6電極平行板電容傳感器的C-h變化規律

為簡化6電極平行板電容傳感器極板帶電量及電容量的計算，令其上極板接地，下極板的電勢為U，則由式（16）可得該傳感器下部中間電極的電荷面密度

此情形下6電極平行板電容傳感器下部中間電極的帶電量為

由式（18）得6電極平行板電容傳感器中間兩電極的電容量為

將6電極平板電容傳感器中間兩電極用同軸屏蔽線連接到測試電路上，經誤差校準后，就可在儀表上讀出對應于不同薄膜厚度的電容值。圖9為利用軟件Matlab繪制的6電極平行板電容傳感器中間極板電容量隨極板間距在1～5 cm區間變化的圖像，由圖9可見，當6電極平行板電容傳感器的極板間距較小時，Ch曲線的斜率較大，隨著極板間距在增加，其電容量減小得較慢。

5 傳統平行板電容傳感器與6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的比較

圖10（a）～（d）為由式（9）、（19）利用軟件Matlab繪制的傳統平行板電容傳感器和6電極平行板電容傳感器電容量隨極板間距的變化圖像（其中虛線和曲線分別為傳統平行板電容傳感器和6電極平行板電容傳感器電容量隨極板間距的變化圖像）。結果表明［16］，當介質厚度變化相同時，6電極平行板電容傳感器測出的電容值的變化幅度比傳統平行板電容傳感器的大，測量靈敏度高。對于電極間距在1～4 cm的測厚范圍內，由圖10中曲線可見，在各圖中的w、L、s及εr給定的情況下，6電極平行板電容傳感器的平均靈敏度ΔC/Δh大約為傳統電容傳感器的190%、210%、175%和420%。

由圖10可見，與傳統平行板電容傳感器相比，6電極平行板電容傳感器對填充材料厚度的測量具有較高的靈敏度，但隨著測量厚度的增加，兩種傳感器厚度測量的靈敏度的差別變小，但6電極平行板電容傳感器的靈敏度仍高于傳統平行板電容傳感器。

6 提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑

根據式（19），通過軟件Matlab數值模擬，研究電極的寬度w和電極間距s對6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的影響，以尋找提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑。

6.1 電極間距s保持為常量，電極寬度w變化

由圖11可見，在電極間距s一定的情況下，隨著電極寬度w的增大，C-h曲線的斜率在增大，6電極平行板電容傳感器的靈敏度提高。

6.2 電極寬度w保持為常量，電極間距s變化

由圖12可見，在電極間距w一定的情況下，隨著電極寬度s的增大，C-h曲線的斜率無明顯變化，6電極平行板電容傳感器靈敏變化幅度很小，說明電極間距的變化對其測量靈敏度的影響不大。

綜上所述，影響6電極平行板電容傳感器靈敏度主要因素為電極的寬度w，增大w可提高6電極平行極電容傳感器靈敏度，而電極間距s的大小對其靈敏度的影響不大。

7 結 語

計算機數值模擬的研究方法已成為繼實驗研究和理論分析之外的第3種研究手段。本文將理論分析與計算機數值模擬相結合，研究了6電極平行板電容傳感器的輸出特性，指出了提高6電極平行板電容傳感器測量靈敏度的途徑。本文提出的6電極平行板電容傳感器，不但繼承了傳統電容傳感器測厚技術結構簡單、操作方便、可控性強等優點，還較大幅度地提升了厚度檢測的靈敏度，為多電極平行板電容傳感器及新型傳感器的設計，提供了一種新的方法，在科研上具有一定的理論意義和實用價值，也可供相關問題的研究參考。