重傳承 顯規范 消疑惑
——以“線段的長短比較”為例*

劉清清 黃建福

(安徽省肥西縣上派初級中學 231200)

1 問題提出

圖1

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AB

BD

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AC

CD

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AB

BD

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AC

CD

2 原生態課堂

該教師在講解線段的比較、線段的和差、線段的倍分時，提出以下幾個問題.

問題1 圖2中兩條線段AB，CD的大小關系怎樣表示？

圖2 圖3

生1：根據疊合法可知AB>CD，或是CD

問題2 圖2中疊合后的圖形如圖3，則圖3中有幾條線段？它們之間有怎樣的數量關系？

生2：共有三條線段，分別是AC，BC，AB.它們三者之間滿足AB=AC+BC，AC=AB-BC，BC=AB-AC.

問題3 點C是線段AB上的點，可能會出現一種特殊的位置，你知道是什么嗎？

生3：是線段AB的中點.

3 “癡傻”現象剖析

以下將從兩個方面闡述“癡傻”問題產生的客觀因素.

3.1 知識認知層面

本節課看似教師充當著引導者，所有的問題都具有引導性、啟發性，但是從知識層面來看，這些問題跨度大、思維深，問題之間銜接不流暢、轉折僵硬，沒有體現出探究知識的邏輯性與必要性，導致學生出現心理和思想上的巨大分歧.

首先，本節課的難點之一就是要求學生會將圖形語言轉化成形如AD=AB-BD的幾何語言，而在此之前，學生對幾何語言知之甚少，甚至對幾何語言的認知是空缺的.在“線段的長短比較”之前，學生僅僅學習了點、線段、射線、直線的相關知識，從未涉及用幾何語言表示線段的數量關系.因此，突兀地提問“線段的數量關系”已然超出學生理解和認知的范疇.在文[1]中，作者采用了“留白”的方式：先讓學生自己解答，列出算式，通過活動學生會發現失去了幾何語言的“幫助”，單純的算式就變得死氣沉沉、毫無意義.自然而然，學生會發覺幾何語言的必要性.事后，筆者也故意“留白”，讓學生大開腦洞，自由選擇符號、字母等表示AB，AC，BC三者長度之間的數量關系，學生會給出各種新奇的表示，如AB=AC⊕BC，AB=ACvBC.筆者認為，只要學生能夠理解各自選擇符號的含義、熟練地使用符號表達圖形就是合情合理的.但是，為什么最終選擇AB=AC+BC的形式來表示圖3的圖形語言呢？因為在漫長的數學發展史中，數學家為了研究問題的方便，更是為了傳播數學文化知識，統一使用了形如AB=AC+BC的形式來表達圖3，這體現了知識的繼承性和傳承性，對后人快速建立知識體系、繼承與發揚數學知識起到了不可替代的作用.而學生具有個人特色的符號僅限于個體理解，不便于他人傳閱，這就是為什么最終選用=、+、-等符號來表達AB，AC，BC三者的數量關系.這種表示體現了繼承與發展，有著嚴格的規范性，理應由教師作出示范性的解說，而非是由學生一說了之.教師是數學知識的傳播者，親自解說具有權威性與示范性，更具有說服力，可以減少學生的疑惑與質疑.

3.2 課堂問題層面

除此之外，原生態課堂中教師提出的三個問題跳躍性很大，也是學生產生“癡傻”問題的一個原因.針對問題2，根據學生已有的知識，可以輕易獲得圖3有三條線段，但是三者的數量關系對學生來說卻是質的轉變.在問題1中，學生剛剛認知了線段長短比較的簡記方法，但是問題2中，由兩條線段飛躍成三條線段，由不等的數量關系生成相等的數量關系，不能生硬地、人為地“生成”，更不能由學生的回答草草收場，還需要巧妙的過渡與引導，問題3就是典型的人為(教師)“誘導”.從數學知識的邏輯性來看，問題1、問題2、問題3之間缺乏關聯，存在著邏輯的斷層，教師亦不能對這種斷層給出合情合理的講解，僅僅用學生的回答匆忙結束，難免讓學生心生疑竇.

4 再生態課堂

以上簡述了學生“癡傻”問題產生的原因，據此，在課堂上試圖讓學生與教師達到思想共鳴，這需要在原有的教學理念下“修復”原生態課堂，對接學生思想，讓課堂問題做到最大限度的合情合理、自然連貫.

問題① 請用疊合法比較圖2中線段的長短.哪條線段的長度較長，哪條線段的長度較短？

生4：根據疊合法可知，線段AB的長度比較長，線段CD的長度比較短.

師：像線段AB和CD長度的長短關系，我們可以用AB>CD表示，它既表示線段AB與線段CD的長度比較的結果，又可以表示線段的長短關系.你還能寫出類似的式子嗎？

生5：CD

師：在問題1中，兩條線段疊合的圖形如圖3，請你觀察，圖中有幾條線段？

生6：共有三條線段，分別是線段AB、線段AC和線段BC.

問題② 線段AB比線段AC長了多少？

生7：根據疊合法可知，線段AB比線段AC長了線段BC.

師：我們可以用BC=AB-AC表示這種圖形語言.你可以寫出類似的式子嗎？

生8：AC=AB-BC，AB=AC+BC.

問題③ 在圖3中，若點C是線段AB上的動點，點C從點A向點B運動的過程中，線段AC，BC，AB三者的數量關系如何？線段AC與線段BC的大小關系又發生怎樣的變化？

生9：無論點C如何運動，線段AC，BC，AB始終滿足AB=AC+BC，AC=AB-BC，BC=AB-AC.但是線段AC與線段BC的大小關系隨著點C的運動而變化，先是AC>BC，接著AC=BC，最后AC

師：點C在線段AB上自左向右運動的過程中，出現了AC>BC，AC=BC和AC

生(眾)：AC=BC.

師：像這樣的點C叫做線段AB的中點.請你用自己的語言嘗試描述中點的定義.

5 原生態問題解決

5.1 再生問題1

在講解“AB>CD”時，再生態課堂采用的問題是“哪條線段的長度較長，哪條線段的長度較短”，替代了“兩條線段AB，CD大小關系怎樣表示”，注重了學生的認知基礎.在此問題的回答中，再生態課堂是教師首先示范了“線段AB比線段CD長”用“AB>CD”表示，再明晰AB>CD表示的兩種含義：既表示線段長度比較的結果，又可以表示線段的長短關系.這里，不是借助學生的回答告知全體學生，而是教師本人直接講授.學生可能會回答出“AB>CD”，但是對其蘊含的兩種含義不能深入地領悟，這種深層次的理解與表達需要教師的講解.

5.2 再生問題2

學生在初學線段的和差關系時，僅僅知道線段AB，AC，BC三者長度之間的數量關系，但是不知道如何用式子表示.在課堂上，我們不排除有學生會想到用“AB=AC+BC”的形式表示，但是這只是一部分學生，并不能代表全部的學生均認可這種表示方法.若是在初學時，教師沒有示范和規范圖3的幾何語言，就會導致學生心理上認同而思想上質疑的現象.因此在再生態課堂中，教師提問“線段AB比線段AC長了多少”，替換了原生態的問題2(它們之間有怎樣的數量關系？)，將幾何語言揉碎成學生能夠理解的文字語句，接著教師再規范板書“線段AB比線段AC長了線段BC”可以用式子“BC=AB-AC”表示.教師在此處講授的作用不僅僅是強調式子的規范性，更是用學生的認知語言解釋了式子的書寫，達到了獲取新知與學生認知的統一.

5.3 再生問題3

原生態的課堂中，問題3的提出略顯生硬和刻意，線段上特殊位置或特殊點繁多，而本節課為什么要研究中點，中點的存在性和唯一性沒有解釋透徹，學生完美無瑕的回答是對教師違心地“迎合”.將問題3改換成問題③，利用“線段AC與線段BC的大小關系”讓中點的存在性和唯一性曝光在點C的運動過程中，通過運動的觀點解釋了中點的客觀性、特殊性和學習的必要性.

6 教學反思

6.1 對原生態的反思

在教學中，我們時常會遇到與學生不能達到感情與思想共鳴的情況，教師認為顯而易見的問題，是容易理解或不需要解釋的內容，偏偏學生就是不理解、不能領悟.這時，我們當以初學者的眼光閱讀課本，去發現問題的根源.翻閱課本時便會發現，“線段的長短比較”一節中有一個詞因反復出現而顯得特別醒目.課本在講解線段的長短比較時是這樣描述的：當點D在線段AB內部時，線段AB大于線段CD，記作AB>CD；在講解線段的和差時，表述如下：點D在線段AB上，那么線段AD就是AB與BD的差，記作AD=AB-BD[2].諸如此類的表述還有很多，這里“記作”二字意味著“約定俗成”，類似于“三角形ABC”可以記作“△ABC”.因此此處應該由教師規范書寫，闡述知識的傳承性與統一性，不能由學生替代教師的示范作用，以免引發不必要的誤會，從而引發學生產生“癡傻”問題.

6.2 對再生態的反思

透過“原生態問題解決”環節，可以探知“癡傻”問題產生的客觀原因，因為教學過程中，教學問題跨度大、臺階高，教師過高地預估了學生的認知，過多依賴于看似能夠自主學習的學生，沒有正確認知教師的主導地位.在再生態課堂中，教師充分研讀學情，準確評價學生的學情(問題①)，作出正確示范(問題②)，將本節課的難點轉化為學生易于理解的方式表達(問題③)，探索了學習知識的必要性和特殊性(問題③)，從而引導認知與獲取的和諧，避免學生產生思想質疑與心理認同的不協調，防止癡傻問題的產生.

數學知識的學習過程其實就是學生繼承先人遺志并發揚光大，而先人遺志的播撒者就是教師.因此，我們倡導學生主體性并非是“一刀切”和盲目的，當遇到需要教師作出規范性講解時，不能由學生代勞.教師應該將知識掰開了、揉碎了，使用學生的認知語言將知識講解透徹，才能盡可能減少“癡傻”問題的提出.因為繼承與發展對學生來說，不是一時的熱情，而是持久的恒溫，“癡傻”問題的背后是對約定俗成的未知以及教師規范性講解的欠缺，恰恰這份“癡傻”是學生繼續探究知識的不竭動力和永久“保鮮劑”.