基于“三教”理念的“余弦定理”教學探索

陸婭君，靳 朋，陳明萬

(貴州師范大學數學科學學院,貴州貴陽,550025)

貴州師范大學呂傳漢教授于2014年提出教思考、教體驗、教表達(以下簡稱“三教”)的教育理念，旨在引領課堂教學，培育學生的核心素養.主張：教思考，重在培養學生的數學思維；教體驗，重在增進學生的數學感悟；教表達，重在強化學生的數學交流.數學教學要重在“教思考、教體驗、教表達”，既是回應教育哲學對人成長的關切，又是回答核心素養如何走進課堂的疑問[1].在數學課堂教學中如何使“三教”理念落地，成為當前教學實踐中亟待解決的問題.因此，本文根據“三教”理念分析“余弦定理”的教學，談談如何將“三教”理念貫穿于課堂教學中，進而培養學生的核心素養.

1 “三教”理念概述

“教思考”，主要是指學生在數學活動中從已有的關系或知識出發，通過數學思維活動，在教師的引導下發現和提出問題，尋求解決問題的思路，通過推理運算得到新的數學知識，領悟數學思想方法.

“教體驗”，是指教師通過創設情境搭建起學生體驗的平臺，在數學活動中引導學生觀察和分析、抽象和概括，使學生進一步獲得數學學習、問題解決的過程性體驗，累積從具體到抽象的經驗.

“教表達”是指既包括提高學生的口頭表達能力，也包括提高學生的書面表達能力，對于數學教學而言，主要是指培養學生用數學語言來討論數學、表達數學問題、表達數學結論的能力[2].

2 “三教”理念對“余弦定理”的教學啟示

2.1 創設情境，直觀感悟

某隧道施工隊為了開鑿一條山地隧道，需要測算隧道通過這座山的長度.如圖1，工程技術人員先在地面上選一適當位置A，量出A到山腳B、C的距離，分別是AC=5 km，AB=8 km，再利用經緯儀(測角儀)測出A對山腳BC的張角，∠BAC=60°，如何求出山腳的長度BC？

圖1

問題1：上述實際問題可以數學化為什么問題？

問題2：已知三角形的兩邊及其夾角，能唯一確定第三邊嗎？

問題3：之前學習的正弦定理可以解決這個問題嗎？為什么？

設計意圖：學生能直觀感悟出此隧道問題其實是三角形問題，進一步抽象出“三角形”模型，引導學生分析三角形中邊、角之間的關系，學生經歷觀察、分析、抽象的過程，知道利用正弦定理無法解決此問題，從而尋求新的方式.在這個過程中，培養學生用數學的眼光發現與提出問題的能力.

2.2 問題驅動，探索新知

2.2.1 以問促思，推導定理

問題4：已知△ABC兩邊a、b及其夾角∠C，求第三邊c.

(1)如圖2，當∠C=90°時，求第三邊c.

圖2

生：用勾股定理，即c2=a2+b2.

(2)一般地，已知兩邊a、b及其夾角∠C，如何表示c2？

追問1：回顧之前探究正弦定理的經驗，同學們有沒有想到什么探究工具？可以用什么方法溝通三角形邊與角之間的關系？能用同樣的方法來探究嗎？

追問2：如圖3所示，已知兩邊a、b及其夾角∠C，如何用向量法表示第三邊的平方？

圖3

師：第三條邊所對應的向量與已知的兩條邊所對應的向量具有怎樣的關系？

師：此時，如何求第三條邊的平方？

生：兩邊平方.

師：邊的平方也就是向量模的平方，即向量的平方.請同學們動筆計算，兩邊平方之后會得到怎樣的結論？

師：同學們還有不同的想法嗎？

圖4

生：互補.

在教師的引導下，學生得出：c2=a2+b2-2abcos∠C.

問題5：已知兩邊b、c及其夾角∠A，第三邊a與它們之間的關系？

a2=b2+c2-2bccos∠A.

問題6：已知兩邊a、c及其夾角∠B，第三邊b與它們之間的關系？

b2=a2+c2-2accos∠B.

余弦定理：三角形任意一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.

設計意圖：在探究三角形三邊的數量關系時，以層層遞進的問題引導學生思考，經歷由特殊的直角三角形到銳角三角形的探究過程.首先探究余弦定理的難點在于運用向量法，在學生“憤悱”時，以追問1引導學生深入思考怎么溝通三角形邊與角之間的關系，此時“類比”的思想根植于學生心中，逐步教會學生用數學的思維去思考.通過向量法溝通了三角形的邊與角之間的關系，再通過代數運算得到等式：c2=a2+b2-2abcos∠C，通過觀察、分析、歸納與概括，最終推導出了余弦定理.

2.2.2 以問促思，明確幾何意義

問題7：能否從形的角度解釋余弦定理的意義？

情形1：直角三角形中余弦定理的幾何意義是什么？當∠C=90°時，余弦定理c2=a2+b2-2abcos∠C變成了什么形式？

生：勾股定理，即c2=a2+b2.

師：也就是說，勾股定理是余弦定理的一種特殊情形，那么勾股定理的幾何解釋又是什么呢？在初中階段是如何來證明勾股定理的？

生：以直角三角形的三邊為邊長向外做出了三個正方形，以c為邊長的正方形的面積等于以a為邊長的正方形的面積與以b為邊長的正方形的面積之和，如圖5所示.

情形2：其它三角形中余弦定理的幾何意義是什么？(以銳角三角形為例)

問題8：余弦定理c2=a2+b2-2abcos∠C，其中c2表示以c為邊長的正方形的面積，a2、b2分別表示另外兩個正方形的面積(如圖6所示)，那2abcos∠C表示的是哪兩塊圖形的面積？

圖6

追問1：abcos∠C可以表示為a·bcos∠C，也可以表示為b·acos∠C，那么bcos∠C、acos∠C分別表示什么？

追問2：過點A作BC邊的垂線，垂足為E，bcos∠C表示的是什么？a又表示正方形的邊長，此時a·bcos∠C表示的是什么？

追問3：類比剛才的作法，應該怎樣作輔助線？acos∠C表示的是什么？b又表示正方形的邊長，此時b·acos∠C表示的是什么？

如圖7所示，銳角三角形中余弦定理的幾何意義是：以c為邊長的正方形的面積等于另外兩個正方形的面積之和再減去兩個矩形的面積(陰影部分)，即正方形①的面積等于矩形②的面積與矩形③的面積之和.

圖7

思考：對于鈍角三角形而言，余弦定理的幾何意義又是什么？

設計意圖：為探究余弦定理的幾何意義，從最簡單的直角三角形入手，引導學生回顧初中階段所學習的勾股定理的幾何意義，并按照此思路進行類似的探究，滲透了從特殊到一般、類比的數學思想方法，逐步教會學生用數學的思維思考問題.將問題8分解為3個追問，以遞進式問題啟發思考，溝通數形之間的思維橋梁；追問1，通過對式子的適當變形，引導學生從不同的角度思考abcos∠C表示的是什么；追問2和追問3突破了如何用代數表示相應的圖形，引導學生作輔助線、找關系，經歷由數到形、再到數的推理過程.最后設置了思考環節，啟發學生用類似的方法作進一步的探究，將分散的知識碎片整合聯系起來，進而達到思維上質的飛躍.

2.3 總結升華，形成圖式

2.3.1 回歸情境，應用定理

問題9：情境中的隧道問題能抽象出怎樣的數學模型？

問題10：如何應用余弦定理解決情境中的隧道問題？

問題11：已知條件有哪些，要求的是什么，如何用數學語言來表述？

問題12：觀察一下余弦定理的這三個等式，請大家對這三個等式作一個變形，每個角的余弦值應該如何來表示？

問題13：變形后得到的公式可以解決什么樣的問題？

設計意圖：回歸到實際問題中，引導學生經歷應用余弦定理解決生活問題的過程，總結出解決問題的一般步驟：首先將情境問題抽象為數學問題，進而提煉出數學模型，再轉化到三角形中進行研究，培養學生數學建模的素養；其次是分析清楚已知條件、要求解的問題，進而確定解題方案，即已知三角形的兩邊及其夾角，求第三邊，需要列方程求解；最后設BC的長為x，根據余弦定理的等量關系列方程，進而求解出x的值.學生經歷“抽象模型——表達模型——求解模型”的過程，培養學生的模型觀念意識，提升學生用數學的語言表達問題的素養.

2.3.2 回顧整合，形成結構

問題14：通過本節課的學習，你收獲了什么？

追問1：在推導余弦定理以及探究其幾何意義的過程中，你認識到了哪些數學思想方法？

追問2：本節課是如何來探究的？

追問3：在探究的過程中，你聯想到了哪些知識點？

設計意圖：回顧整堂課所學，從中萃取精華，進而形成知識的整體結構和解決問題的一般思路，幫助學生對知識進行鞏固與反思，提升學生用數學的語言表達問題的能力.

3 對教學設計的反思

以上關于余弦定理的教學探究，經歷“創設情境、直觀感悟；問題驅動、探索新知；總結升華，形成圖式”三大環節，分別以實際問題為切入點、問題啟發為著力點、形成圖式為落腳點，每一環節都不同程度地體現了“三教”的教育理念，有利于學生理解數學本質、領悟數學思想方法以及發展核心素養.

3.1 以實際問題為切入點

在余弦定理教學中，以生活問題為切入點啟發學生去觀察，進而抽象出“三角形”模型，旨在讓學生理解數學來源于生活，培養學生的數學應用意識；以數學的眼光抽象出三角形中邊、角間的關系，引導學生尋求新的方式解決此問題，讓學生明白學習余弦定理的必要性，激發學生探究問題的興趣.

3.2 以問題啟發為著力點

以遞進式問題引領學生逐步深入探究，使學生的思維以螺旋上升式發展.在推導余弦定理以及探究其幾何意義的過程中，都是從特殊的直角三角形入手，分別以一個大問題為核心，再逐步分解為遞進式的問題串，滿足學生的最近發展區，激發學生對銳角三角形中邊、角關系以及余弦定理的幾何意義等問題深度思考，在無形中滲透了從特殊到一般、數形結合的思想方法.這種遞進式的問題串有助于學生推理能力的培養，啟迪學生的思維，促進學生用數學的思維思考問題.

3.3 以形成圖式為落腳點

在定理應用環節，不能僅停留在表層地解決問題上，應該學會歸納、表達建模步驟，形成知識的綜合結構.在應用余弦定理解決問題之后，不僅要讓學生學懂，還要融會貫通，只有對建模的思想和方法進行綜合提煉，才能在下次運用時準確定位數學知識、方法和思想，培養學生的數學應用意識與數學建模的素養.