關于“相交線”教學的幾點建議

駱建華

(江蘇省如皋市白蒲鎮初級中學，江蘇如皋，226511)

“相交線”一節主要研究的是兩條直線相交所形成的四個角的位置關系及數量關系.它是角的認知的進一步拓展，又是后面研究垂線、平行線、三角形、平行四邊形等幾何圖形的基礎，在教材中處于幾何教學承上啟下的重要節點上.因此，落實好這節課的教學，對學生的學段幾何認知影響巨大.通過多年“相交線”教學過程的梳理，筆者發現，學生在認識“相交線”時，務必強化以下四方面的學習.

1 體會定義的雙重性

我們知道，初中階段的很多數學定義都具有“雙重性”——既是概念的判定方法，也是新概念的性質.如“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”，既可以依據“兩組對邊分別平行”來判定某個四邊形是否為平行四邊形，也可根據“某一四邊形為平行四邊形”得出“該四邊形兩組對邊分別平行”的性質.對定義雙重性的認識是學生進入初中后才開始的.而在“相交線”之前，教材少有涉及，“相交線”之后，則會大量涌現.所以這一節，我們應借助對頂角、鄰補角的定義教學，使學生明白數學定義的“雙重性”.

如教學對頂角時，我們應結合定義讓學生明白，兩邊互為反向延長線的角叫做對頂角，還要讓他們知道“對頂角的兩邊互為反向延線”.前者是用來判斷兩角是否為對頂角的(即對頂角的判定)，而后者則是對頂角所具有特征(也就是對頂角的性質).再如教學鄰補角的定義時，我們不僅要讓學生知道“具有一條公共邊，且另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角”，還要讓他們知道“兩個鄰補角的邊一條是公共邊，另一條互為反向延長線”.

這樣的定義教學，不僅能讓學生清晰地認識鄰補角、對頂角，知道其所具有的位置特征，還能讓他們積累數學定義學習的經驗，對定義所具有的性質、判定的“雙重性”有一個初步的認識，為以后其他數學定義的學習做鋪墊.

2 明晰幾何的研究內容

在人教版七年級上冊《數學》中，第四章引言中明確：幾何是研究圖形的形狀、大小和位置關系的一門學科.簡而言之，我們幾何學習要研究的是幾何圖形的位置關系和數量關系，這個“簡而言之”是筆者在內的眾多一線教師的理解.在第四章《幾何圖形初步》中，雖然對此學生已有所了解，但并沒有完整的認知.教師應教的便是讓學生明晰以下內容：線段的中點、角平分線等的認知，更多是從數量上的深度探索，而到了鄰補角時，名稱中就會有了位置和數量兩種關系.鄰，位置；補，數量.位置與數量較好地融到了“鄰補角”的名稱之中，而對頂角的教學，首先從形的角度給出了定義，定義中明確了兩角的位置關系，隨后利用“同角的補角相等”得到的“對頂角相等”，明確了對頂角的數量關系.在同一節課對兩個相關數學概念的探求都是從幾何研究的核心內容出發，這給予了我們讓學生深刻認知幾何學習內容的絕佳契機.課上，我們應抓住鄰補角、對頂角的教學契機，在其定義與性質的深挖中，明晰幾何研究的主要內容.

如，教學鄰補角時，我們要引導學生從圖1中發現∠AOC與∠AOD的位置特征：共OA邊，∠AOC的邊OC與∠AOD的邊OD互為反向延長線.這就是兩個角所具有的“鄰”的位置關系.再通過平角的定義，使學生知道∠AOD+∠AOC=180°，這是兩個角“補”的數量關系.對幾何圖形的位置關系和數量關系的明確還不能僅局限于鄰補角.在接下來的對頂角學習中，得出對頂角定義后，我們應追問：從位置特征上，我們知道了∠AOC和∠BOD這對對頂角的關系，那么，根據研究鄰補角的經驗，我們還會研究這兩個角的什么關系？在完成兩個概念學習后，我們更要進一步明確：研究幾何圖形的位置關系和數量關系，是我們這一學段幾何學習的核心內容.

圖1

3 掌握概念(定理)的三種表示形式

初中階段，學生獲取的數學概念、定義定理及其它重要結論的呈現方式是多樣的.其中，不少幾何概念(定理)或幾何問題會采取三種呈現形式：文字語言、圖形語言和符號語言對于幾何這個領域，這三種不同的呈現方式是學生理解幾何圖形，并用好幾何圖形的定義、性質和判定方法解決問題的重要抓手.所以，幾何教學中，我們要特別重視用三種不同形式的語言描述同一幾何圖形及其相關結論的教學.

以“相交線”為例，呈現鄰補角、對頂角不僅要給定圖這樣的圖形語言，還要呈現諸如“一邊為公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角為鄰補角”(文字語言)的鄰補角定義描述，及“∠AOC與∠BOC互為鄰補角，∠AOC+∠BOC=180°”(符號語言)的鄰補角性質描述.類似地，關于對頂角，我們也應有與鄰補角的這種類似表述方法：“兩邊互為反向延長線的角叫做對頂角”，“如圖1，∠AOC與∠BOD互為對頂角，則∠AOC=∠BOD”(符號語言).如此教學，在這樣幾何開端課堂上，學生就學會用不同的方式表述同一幾何圖形的重要結論，為后續幾何學習積累下寶貴的經驗.

4 養成多角度認識幾何圖形的習慣

幾何教學中，同一幅幾何圖形在不同的時段，學生會獲得不同結論.因而，幾何圖形教學應因時因地而異.對一幅幾何圖形中可能蘊藏的結論的挖掘，會在不同的教學時點上從不同的角度挖掘出不同的深度.當一個新的圖形出現時，我們應引導學生從不同的角度分析圖形，為當下能得到的和未來可能生長出的結論埋下生長點，這樣不僅保證幾何圖形認知的延續性，還培養了學生從多角度認識幾何圖形的習慣.

在“相交線”教學中，我們就應讓學生逐步形成從不同角度認識同一幾何圖形的習慣，以圖1為例，圖中出現了“兩線、四角”，除了常見的平角外，還出現了相“鄰”的兩角和相“對”的兩角，一角兩鄰角、兩角共兩鄰角等圖形位置.這些角的新“格局”，給學生認識線的位置關系帶來了很多可能.因而，認識圖1所示的“兩線四角”的角度也就要變成多維.這樣我們既可以研究相鄰或相對的兩角的關系，也可以研究三個角甚至四個角之間的關系.另外在圖形呈現出來后，絕不應直奔鄰補角、對頂角而去，必要的提問“面對圖1，你覺得我們會研究哪些角之間的關系”還是不可缺少的.學生給出∠AOC與∠BOC,∠AOC與∠BOD等兩角關系的作答固然可喜，但給出“∠AOC、∠BOC、∠COD三角關系”的作答則更為可貴.這是學生多角度認識同一幾何圖形的開始，是積累豐富的幾何圖形學習經驗的開端，在后續學習中，只要我們持之以恒地多問幾個“圖中還有哪些數量關系和位置關系值得探索”“除了本節認知的性質或判定方法外，圖形中還有其他的性質(判定方法)嗎”之類的問題，讓學生學會發散探索，同時也學會聚焦認知幾何圖形.

作為幾何圖形位置關系和數量關系深度探索的開端課堂，在知識教學的同時，培養學生認知幾何圖形的習慣，盡可能讓學生體會到幾何圖形學習的基本套路應為最重要也是最核心的內容.“相交線”是學生認知從線到角的全面啟動，我們有必要為學生今后的幾何學習謀求一個有深度的開局.

本文呈現了“相交線”教學的幾個重要方面，僅為個人的粗淺認識，權當引玉之磚，供各位同行專家參考.