三角形幾何場景，數學文化新情境

徐 俊

(江蘇省揚州市江都區育才中學，江蘇揚州，225200)

弘揚傳統數學文化，是近年新高考數學試卷中的一大熱點與亮點，也是落實新高考數學考綱的一個明確體現.特別地，以三角形這一簡單的平面幾何圖形為幾何場景，結合高中數學知識創設數學文化情境成為高考數學命題的一個新的“增長點”，倍受各方關注.

1 黃金三角形

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分析：根據題目條件，直接利用黃金三角形的定義，綜合初中平面幾何與三角函數的知識，通過誘導公式以及二倍角公式的應用來分析與求解.

點評：此類創新情境與綜合應用問題，實質是一個初中的平面幾何問題的深入與拓展.本題“新瓶裝舊酒”，以數學文化為問題情境，借助平面幾何圖形直觀展示三角形的邊、角關系以及對應圖形的特征，進而得以求解相關角的余弦值問題.

2 費馬點

例2(江西省景德鎮市2022屆高三第二次質檢理科數學試卷·16)1643年法國數學家費馬曾提出了一個著名的幾何問題：已知一個三角形，求作一點，使其到這個三角形的三個頂點的距離之和為最小.它的答案是：當三角形的三個角均小于120°時，所求的點為三角形的正等角中心(即該點與三角形的三個頂點的連線段兩兩成角120°)，該點稱為費馬點.已知△ABC中，其中∠A=60°，BC=1，P為費馬點，則PB+PC-PA的取值范圍是.

分析：本題是一道以三角形“費馬點”為背景的解三角形問題，問題的求解其實是一個多元代數式最值的求解過程.解題思路是先根據題中的條件建立三個變量PA，PB，PC之間的等量關系(多元約束條件)，進而通過消元和函數的方法求解多元代數式的取值范圍.

解析：方法1(解三角形法)設PB=x，PC=y，PA=t，

整理有bc=xy+xt+yt，①

在△PAC中，由余弦定理，可得b2=y2+t2-2ytcos 120°=y2+t2+yt，②

在△PAB中，由余弦定理，可得c2=x2+t2-2xtcos 120°=x2+t2+xt，③

在△ABC中，由余弦定理，可得a2=b2+c2-2bccos 60°，即b2+c2-1=bc，④

將①、②、③ 代入④，可得(y2+t2+yt)+(x2+t2+xt)-1=xy+xt+yt，

整理可得x2+y2+2t2-1=xy，⑤

在△PBC中，由余弦定理，可得a2=x2+y2-2xycos 120°，即x2+y2+xy=1，⑥

由⑤與⑥，整理可得t2=xy，

點評：根據題目條件，通過余弦定理和三角形的面積建立多個方程，化簡整理出變量間的關系x2+y2+xy=1和t2=xy，再由代換，變量變換，輔以基本不等式的應用以及配湊法，將多元變量問題轉換為單變量問題，最后利用函數的性質來分析與求解.解決此類多元最值問題的一般套路：整體代換、消元處理或換元處理等.

方法2：(平面幾何法)設PB=x，PC=y，PA=t，設∠BAP=α，

則知∠ABP=∠CAP=60°-α，可得△ABP∽△CAP，

點評：根據題目中的幾何圖形的性質特征，通過兩個三角形相似找到變量間的關系，可以有效簡化數學運算.對于多元代數式的取值范圍問題，可以利用整體代換或換元，將多元變量關系轉化為一元函數問題來分析與處理，實現問題的巧妙轉化.

3 歐拉線

例3(遼寧省名校聯盟2022屆高三10月份聯合考試數學試卷·11)(多選題)著名數學家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理.已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有

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分析：此題是以數學文化為背景，借助平面幾何性質，設置涉及平面向量的線性運算與數量積的綜合應用問題，可以通過基底法來處理，也可以通過平面向量的坐標運算來解決.

故選擇答案：BCD.

點評：根據三角形的基本性質，結合三角形的外心、重心、垂心等特殊點構建平面向量關系式，利用平面向量的線性運算以及數量積運算加以轉化，進而判斷各選項的真假情況.基底法是平面向量中借助三角形法則和平行四邊形法則的理解和掌握來解決問題的方法.

則點A與點H重合，點M與點O重合，

故選擇答案：BCD.

點評：根據題目條件，利用特殊的直角三角形，構建平面直角坐標系，進而利用坐標運算與數量積公式等來分析與判斷.通過坐標運算來特殊化處理的關鍵是需要根據題意，建立平面直角坐標系，從而實現問題的求解.

以三角形為問題場景來創設數學文化問題，融合初中與高中數學知識，借助知識之間的聯系與過渡，引進數學文化情境，使得考生深刻認識到全世界各民族優秀傳統文化的博大精深和源遠流長.因而，在數學復習備考過程中，教師要有意識地加強對數學文化類試題的訓練，進一步加強考生的應用意識，提升數學知識的應用能力，培養學生的探究與創新精神.