基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中考統(tǒng)計(jì)問(wèn)題分析及教學(xué)設(shè)計(jì)啟示
——以南京市近3年中考統(tǒng)計(jì)問(wèn)題為例

黃 海

(南師附中仙林學(xué)校初中部，江蘇南京，210000)

1 問(wèn)題提出

2004年頒發(fā)的《教育部關(guān)于全面深化課程改革 落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中第一次以文件形式提出核心素養(yǎng)這個(gè)概念，經(jīng)過(guò)多年數(shù)學(xué)教育研究和教學(xué)實(shí)踐的結(jié)合，統(tǒng)一認(rèn)為中小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中需要形成六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，即：數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，直觀想象，數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析.數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析是兩種與生活情境最為貼合的能力.用數(shù)學(xué)方法去解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，旨在培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力.數(shù)據(jù)分析是研究隨機(jī)現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)技術(shù)，隨機(jī)現(xiàn)象本身存在著不確定性，因此數(shù)據(jù)分析能力是以學(xué)生綜合能力為基礎(chǔ)的，本質(zhì)上數(shù)據(jù)分析能力的形成需要以數(shù)學(xué)運(yùn)算，數(shù)學(xué)抽象，邏輯推理，直觀想象為基礎(chǔ).《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)于數(shù)據(jù)分析觀念有這樣的描述：了解在現(xiàn)實(shí)生活中有許多問(wèn)題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，搜集數(shù)據(jù)，通過(guò)分析做出判斷；體會(huì)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含著信息，了解對(duì)于統(tǒng)一的數(shù)據(jù)可以有多種分析的方法，需要根據(jù)問(wèn)題的背景選擇合適的方法，通過(guò)數(shù)據(jù)分析體驗(yàn)隨機(jī)性；一方面對(duì)于同樣的事情每次收集到的數(shù)據(jù)可能不同，另一方面只要有足夠的數(shù)據(jù)就可能從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.數(shù)據(jù)分析是統(tǒng)計(jì)的核心.

初中階段學(xué)習(xí)的“統(tǒng)計(jì)與概率”部分的內(nèi)容主要針對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的提升.以南京市初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)為例，“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”一般出現(xiàn)在基礎(chǔ)問(wèn)題類(lèi)別中，也就是說(shuō)，數(shù)據(jù)分析能力是學(xué)生需要掌握的基本能力.然而，近幾年的教學(xué)中，由于“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”本身隨機(jī)性強(qiáng)的特點(diǎn)，不少教師發(fā)出“不能完全掌握解決‘統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題’要領(lǐng)”的無(wú)奈感慨，很多情況下無(wú)法對(duì)癥給出合適的結(jié)論，抓不住問(wèn)題分析的主要命脈，“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”的分析過(guò)程以及得出結(jié)論部分成為了教學(xué)盲點(diǎn).初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)中對(duì)學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力考查的維度有哪些？針對(duì)這些考查維度，教學(xué)者應(yīng)該如何調(diào)整“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”的課堂教學(xué)策略？筆者將借助近年來(lái)南京市學(xué)業(yè)水平測(cè)試的相關(guān)統(tǒng)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)據(jù)分析能力考查的維度分析，針對(duì)各維度，提出對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略建議.

2 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的中考“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”分析

初中畢業(yè)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)考試中，各地區(qū)都有“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”的考查，江蘇省十三大市考查的偏重點(diǎn)各不一樣，經(jīng)過(guò)對(duì)比，南京市“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”更加注重?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算與數(shù)據(jù)分析相結(jié)合的方式，這應(yīng)和了現(xiàn)今教育研究中提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的訴求.筆者選取南京市2019年、2021年和2022年“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”進(jìn)行四維度(數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和邏輯推理)分析.

(一)(2019年南京市中考20題)下圖是某市連續(xù)5天的天氣情況.

(1)利用方差判斷該市這5天的日最高氣溫波動(dòng)大還是日最低氣溫波動(dòng)大；

(2)根據(jù)下圖提供的信息，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)不同類(lèi)型的結(jié)論.

問(wèn)題分析：

1.用不同方式體現(xiàn)數(shù)據(jù)直觀

該問(wèn)題從現(xiàn)實(shí)情境入手，利用圖表表征的方式呈現(xiàn)數(shù)據(jù)信息，并利用橫縱的二維表格方式將天氣情況和日期進(jìn)行組合.為了使信息更加清晰，氣溫項(xiàng)采用折線圖的方式呈現(xiàn).這樣的集圖和表為一體的多角度、角方向的問(wèn)題表征方式，能夠讓學(xué)生學(xué)會(huì)從多方位去認(rèn)識(shí)事物，加深對(duì)事物或情境本質(zhì)的理解.

2.利用方差分析問(wèn)題，體現(xiàn)了運(yùn)算和分析的結(jié)合

數(shù)據(jù)分析不能僅僅依靠運(yùn)算解決問(wèn)題，運(yùn)算的結(jié)果往往要與分析結(jié)合才能獲得更有利的結(jié)論.該問(wèn)題的第一問(wèn)明確讓學(xué)生從方差的角度去比較日最高氣溫和日最低氣溫的波動(dòng)問(wèn)題，因此，學(xué)生不僅僅要學(xué)會(huì)計(jì)算方差的公式，同時(shí)還要從方差的實(shí)際意義的角度去分析兩者之間的不同，然后得到相對(duì)應(yīng)的結(jié)論.

3.邏輯推理能力要求高

數(shù)據(jù)分析中分析的基礎(chǔ)來(lái)源于學(xué)生自身具備的邏輯推理能力，而邏輯推理可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.本題的第二問(wèn)讓學(xué)生根據(jù)信息寫(xiě)出兩個(gè)不同類(lèi)型的結(jié)論，結(jié)論從哪里來(lái)？如果簡(jiǎn)單粗略地寫(xiě)“5月25日大雨，溫差2度，空氣質(zhì)量良”，那么數(shù)據(jù)分析和邏輯推理過(guò)程呢？這僅僅是信息提取.從數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的角度出發(fā)，可以以某一項(xiàng)為背景，分析其中某一項(xiàng)天氣情況的發(fā)展變化，四個(gè)天氣情況中，天氣現(xiàn)象是情境的主因，那么以天氣現(xiàn)象為背景，其他情況作為被動(dòng)變化因素，可以發(fā)現(xiàn)晴天的日溫差大于雨天的日溫差等等.

4.數(shù)據(jù)抽象為現(xiàn)實(shí)有效的結(jié)論

數(shù)學(xué)抽象指的是通過(guò)對(duì)數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象，得到數(shù)學(xué)研究對(duì)象的素養(yǎng).本題中利用多元表征的數(shù)據(jù)，要求學(xué)生抽象出重要的天氣相關(guān)結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生形成對(duì)日常生活現(xiàn)象的一般性思考.在此基礎(chǔ)上，教學(xué)者也可以思考，數(shù)據(jù)抽象出的日常結(jié)論可以有哪些應(yīng)用？還能抽象化為更一般性的結(jié)論嗎？

(二)(2021年南京市中考21題)某市在實(shí)施居民用水定額管理前，對(duì)居民生活用水情況進(jìn)行了調(diào)查.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，獲得了100個(gè)家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

序號(hào)12…2526…5051…7576…99100月均用水量/t1.31.3…4.54.5…6.46.8…1113…25.628

(1)求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t，你對(duì)它與中位數(shù)的差異有什么看法？

(2)為了鼓勵(lì)節(jié)約用水，要確定一個(gè)用水量的標(biāo)準(zhǔn)，超出這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的部分按1.5倍價(jià)格收費(fèi).若要使75%的家庭水費(fèi)支出不受影響，你覺(jué)得這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該定為多少？

問(wèn)題分析：

1.表格呈現(xiàn)數(shù)據(jù)直觀

本題利用表格將月均用水量進(jìn)行排序，該表格表頭的意義以及其順序性有效地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)直觀，學(xué)生要從規(guī)則中體會(huì)數(shù)據(jù)直觀所帶來(lái)的意義和便利，需要認(rèn)真觀察、分析、研究表格.值得注意的是，表格中的數(shù)據(jù)只呈現(xiàn)了部分，要求學(xué)生具有部分聯(lián)系整體的能力，才能做出正確的判斷并解決問(wèn)題.

2.運(yùn)算和分析綜合充分體現(xiàn)

本題問(wèn)題設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了運(yùn)算和分析的綜合，中位數(shù)和數(shù)據(jù)分布的計(jì)算不是運(yùn)算的難點(diǎn)，難點(diǎn)在于學(xué)生如何利用已有的數(shù)據(jù)合理分析問(wèn)題，比如，針對(duì)第(1)問(wèn)中如何區(qū)別中位數(shù)與平均數(shù)，教學(xué)中教師必須要滲透兩者之間的區(qū)別，還要讓學(xué)生感受特殊情境下產(chǎn)生的兩者的差異的合理性；第(2)問(wèn)學(xué)生不難想到75%的含義，但如何給出標(biāo)準(zhǔn)需要學(xué)生進(jìn)行合理嚴(yán)密的分析.

3.問(wèn)題中邏輯推理體現(xiàn)明顯

推理是數(shù)學(xué)的基本思想，也是生活和學(xué)習(xí)中經(jīng)常需要使用的思維方式.本問(wèn)題中，學(xué)生需要整合表格中給出的各類(lèi)信息，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，歸納或類(lèi)比出對(duì)應(yīng)的結(jié)論，也就是合情推理的過(guò)程.特別是第(2)問(wèn)中，標(biāo)準(zhǔn)的確定需要學(xué)生整合“75%”和“超出標(biāo)準(zhǔn)”兩個(gè)關(guān)鍵信息，“75%”意味著100×75%=75，即序號(hào)75的月均用水量11 t，題設(shè)問(wèn)題中是“超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)”，即超過(guò)11 t，意味著標(biāo)準(zhǔn)定為11 t.而學(xué)生的12 t或13 t的答案從邏輯上看并不嚴(yán)謹(jǐn).

(三)(2022年南京市中考20題)

某企業(yè)餐，有A、B兩家公司可選擇，該企業(yè)先連續(xù)10個(gè)工作日選擇A公司，接著連續(xù)10個(gè)工作日選擇B公司，記錄送餐用時(shí)(單位：min)如下表：

序號(hào)12345678910A公司送餐用時(shí)26263025272924283025B公司送餐用時(shí)20182116343215143515

根據(jù)上表數(shù)據(jù)繪制的折線統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：

(1)根據(jù)上述信息，請(qǐng)你幫該企業(yè)選擇合適的公司訂餐，并簡(jiǎn)述理由.

(2)如果某工作日該企業(yè)希望送餐用時(shí)不超過(guò)20 min,應(yīng)選擇哪家公司？請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.

問(wèn)題分析：

1.統(tǒng)計(jì)表后統(tǒng)計(jì)圖出現(xiàn)必有因

直觀想象能力是學(xué)生依托圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，本質(zhì)上是一種基于圖形展開(kāi)想象的思維能力.本題從折線統(tǒng)計(jì)圖出發(fā)，展示了兩家公司送餐所使用的時(shí)間，折線統(tǒng)計(jì)圖不僅僅表示出顯性的關(guān)于送餐時(shí)間的表征，同時(shí)，折線的趨勢(shì)和震蕩幅度隱性地表征出送餐時(shí)間的穩(wěn)定性.

2.有運(yùn)算與分析綜合的體現(xiàn)

數(shù)據(jù)分析能力中包含數(shù)據(jù)和分析兩個(gè)方面，因此，會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界是數(shù)據(jù)分析能力考查的依托.本題中第(1)問(wèn)要求學(xué)生選擇A、B兩家公司的一家來(lái)長(zhǎng)期送餐，需要從整體評(píng)估兩家公司送餐時(shí)間.切入點(diǎn)之一是平均數(shù)，值得注意的是，學(xué)生要消除平時(shí)問(wèn)題解決時(shí)的思維定勢(shì)，了解不是數(shù)據(jù)大即是合適.另一個(gè)切入點(diǎn)是方差，從送餐穩(wěn)定性方面考慮問(wèn)題.

3.不同背景分析下的邏輯推理

邏輯推理是依據(jù)已有的情境、條件進(jìn)行分析、歸納總結(jié)，已有的條件是問(wèn)題分析的出發(fā)點(diǎn).本題中的第(2)問(wèn).

3 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)以上的分析，不難發(fā)現(xiàn)，南京市初中畢業(yè)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)測(cè)試中“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求較高，各年中考題也都體現(xiàn)著對(duì)學(xué)生高素養(yǎng)的訴求.因此“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”的課堂教學(xué)需要貫徹?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.1 關(guān)注直觀想象表象下隱性知識(shí)的提取

顯性知識(shí)是指教材和問(wèn)題中明顯列出的知識(shí)，而隱性知識(shí)相對(duì)于顯性知識(shí)，需要綜合問(wèn)題中的多元表征方式來(lái)讀取.隱性知識(shí)包括問(wèn)題(一)中橫、縱向之間的聯(lián)系、問(wèn)題(二)表格中隱含的關(guān)系、問(wèn)題(三)統(tǒng)計(jì)圖未表現(xiàn)出來(lái)的趨勢(shì)和震蕩幅度.一般來(lái)說(shuō)，“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”中隱性知識(shí)多以圖形或者表格形式出現(xiàn).相對(duì)于文字形式的內(nèi)隱性，圖表形式的內(nèi)隱性更容易被忽略，對(duì)學(xué)生直觀想象能力的要求更高，因此教學(xué)設(shè)計(jì)中要關(guān)注顯性知識(shí)提取的過(guò)程，而隱性知識(shí)信息提取的方法和常態(tài)化意識(shí)更要在教學(xué)中重點(diǎn)突出，提升學(xué)生的直觀想象能力.

3.2 “統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”養(yǎng)成“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的習(xí)慣

數(shù)據(jù)分析能力中數(shù)據(jù)+分析的雙重加持才能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”是數(shù)據(jù)分析能力提升的最好載體.初中階段“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”的數(shù)學(xué)運(yùn)算主要分為兩個(gè)大方向：樣本與總體關(guān)系及統(tǒng)計(jì)圖表之間的數(shù)據(jù)運(yùn)算、數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)及離散程度的數(shù)據(jù)表示及意義.不難發(fā)現(xiàn)，樣本估計(jì)總體的主要考查方式為數(shù)學(xué)運(yùn)算，對(duì)于學(xué)生數(shù)據(jù)分析能力的提升比較單一，因此近幾年南京考查的次數(shù)較少，而平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、極差和方差等的考查不僅僅要求學(xué)生計(jì)算數(shù)據(jù)的大小，更要求學(xué)生從各個(gè)量的意義出發(fā)，通過(guò)比較數(shù)據(jù)大小來(lái)分析合適情境的量.由此，教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)過(guò)程中，教師要始終貫徹“用數(shù)據(jù)說(shuō)話”的原則，通過(guò)對(duì)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算，采用合適的統(tǒng)計(jì)量分析問(wèn)題得出結(jié)論，將數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為現(xiàn)實(shí)結(jié)論.

3.3 “統(tǒng)計(jì)式”邏輯推理方式

邏輯推理是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的最基本素養(yǎng)之一，邏輯推理能力的形成有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”是學(xué)生形成數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的載體，因此該類(lèi)問(wèn)題需要其特有的邏輯推理方式.比如：數(shù)據(jù)式推理，圖表式推理，情境式推理.數(shù)據(jù)式推理，就是利用數(shù)據(jù)大小、發(fā)展趨勢(shì)等屬性分析得出現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的結(jié)論，比如平均數(shù)說(shuō)明數(shù)據(jù)的平均水平，方差說(shuō)明數(shù)據(jù)的震蕩幅度等等；統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題離不開(kāi)統(tǒng)計(jì)圖和統(tǒng)計(jì)表，圖表式推理指的是利用圖表中的信息，綜合圖表的各類(lèi)屬性分析得到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的結(jié)論，當(dāng)然，也可以指通過(guò)圖表、文字等信息形成以圖表為表征的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題結(jié)論；情境式推理，指的是在不同的背景下，數(shù)據(jù)分析得出的結(jié)論不一定相同，比如2022年的第(2)問(wèn)在條件限制下，得出與第(1)問(wèn)不同的結(jié)論.

3.4 數(shù)學(xué)抽象形成一般性問(wèn)題解決方法

數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的基礎(chǔ)，是形成理性思維的基礎(chǔ).學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，以此能更好地理解概念、命題、方法和體系，能逐漸養(yǎng)成思考一般性問(wèn)題的習(xí)慣，也能將這一素養(yǎng)運(yùn)用到其他學(xué)科學(xué)習(xí)和現(xiàn)實(shí)生活中去.“統(tǒng)計(jì)類(lèi)問(wèn)題”一般以文、圖、表為表征方式，綜合分析能力要求高，教師在教學(xué)中要分問(wèn)題類(lèi)型抽象出各類(lèi)問(wèn)題對(duì)應(yīng)的一般性問(wèn)題解決方法.比如針對(duì)數(shù)據(jù)運(yùn)算類(lèi)問(wèn)題，要掌握各類(lèi)數(shù)據(jù)或圖表之間數(shù)據(jù)的計(jì)算方式，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算基本技能提升；針對(duì)數(shù)據(jù)分析類(lèi)問(wèn)題，要利用數(shù)據(jù)中計(jì)算量的實(shí)際意義分析得出結(jié)論；針對(duì)比較類(lèi)問(wèn)題，有理有據(jù)的對(duì)比是前提，兩個(gè)對(duì)象的同一個(gè)統(tǒng)計(jì)量的對(duì)比可以是量的大小比較也可以是變化趨勢(shì)等的比較；針對(duì)開(kāi)放性問(wèn)題，要綜合考慮問(wèn)題給出的條件和背景，全面考慮所在情境，從而分析給出結(jié)論.