六維度深層教學 指向思維的發展*
——以“平方差公式”教學設計為例

541006 廣西師范大學數學與統計學院 周 瑩 陳基河 李欣欣

100875 北京師范大學數學科學學院 Tommy Tanu Wijaya

《義務教育數學課程標準(2011年版)》指出，數學課程內容要符合學生的認知規律，不僅包括數學的結果，也包括數學結果的形成過程和蘊含的數學思想方法[1].而數學公式作為數學知識或數學思想的一種表征形式，反映著事物內部和外部之間的內在關系，是幫助更好認識世界和表達世界的重要載體.但是，長久以來，公式教學的教學過程常常流于淺表化，存在“滿堂灌”或“滿堂問”的現象.停留在“教教材”“講教材”的道路上[2]，不利于學生在數學學習上獲得進一步的發展.自提倡新課改以來，以思維發展為主的認知發展促進深度學習的有益實現，是教育關注的焦點[3].如何結合學生已有知識經驗與教材對課程知識的安排進行有效的數學教學，是當下亟需解決的問題.基于以上思考，在數學課堂中需要從學生認知特點和學習規律、學科特點及知識的本質出發，著重體現公式教學的層次性和連貫性.筆者嘗試以“六何”認知鏈為主線，對平方差公式的課堂教學進行設計.

一、“六何”認知鏈的含義

“六何”認知鏈作為一條以思維發展為主的教學策略，注重思維的整體性和發展性，圍繞學生的最近發展區進行任務驅動式教學.該教學策略在概念課中通常以“從何—是何—與何—如何—變何—有何”的順序進行[4]，此認知鏈的具體內容如圖1所示.

圖1 “六何”認知鏈的教學設計過程

“從何”即知識的由來，基于新的情境或者任務驅動，從而孕育出新的解決方案，是激活新知的起點.“是何”即新知的本質是什么，厘清其構成要素與各要素之間的關系，促進概念的生成.“與何”即新舊知識的對比探究，在已有知識上為新概念提供固著點，搭建銜接新舊知識的橋梁.“如何”即新知的運用，是檢驗教學效果的關鍵一步，從問題解決與課堂反饋等途徑檢查學生的學習效果.“變何”即對新知進行變式拓展，在初步運用的基礎上融入數學思想、數學方法，繼續強化對概念、方法、知識本質的認識.“有何”即學習的獲得與反思，從課堂教學環節、知識理解、遺存問題進行總結回顧，為已有的知識體系繪制新的圖式，提升思維的邏輯性和系統性[5].

二、課例背景

在人教版《數學》八年級上冊的教材中，平方差公式是學習整式乘法后的第一個數學公式，是整式乘法的延續，對后續學習完全平方公式起著重要的鋪墊作用，也為因式分解奠定了公式法的基礎.“平方差公式”一節不僅給出了特殊形式下的多項式相乘的簡便算法，且為以后理解因式分解、化簡分式、分母有理化、解一元二次方程等內容提供了有益參考(如圖2所示).

圖2 平方差公式與其他知識的關聯圖譜

三、基于“六何”認知鏈的教學設計

(一)精準“從何”，喚醒新知

知識“從何”而來一直是學生在學習階段面臨的一大困惑，為解決這一難點，有效調動學生思維，筆者設計了以下四道題目，從同是兩個二項式相乘得到的項數卻不同的角度，引發學生思考.

(1)(x+1)(y-2)=________；

(2)(m+n)(m+2n)=________；

(3)(a+2)(a-2)=________；

(4)(2x+1)(2x-1)=________.

問題1每道題計算后得出的結果各有多少項？

問題2第(3)題、第(4)題與第(1)題、第(2)題的等式左右兩邊的組成有什么區別和聯系？

問題3怎樣的兩個二項式相乘得到的結果是兩項？它們有什么特別之處？

設計意圖：從一般情形到特殊情況的探究過程，是數學學習和數學研究中常用的處理方法，亦是知識“從何”而起的一大基石.基于乘法公式對兩個二項式進行計算，得到的結果呈現出不同的項數，引起對二項式進行特殊化處理，從而簡化計算過程的思考.在體會項數發生變化的同時，產生研究對象(a+b)(a-b)=a2-b2，有利于培養學生從數學角度發現問題和提出問題的能力.

(二)思考“是何”，探清本質

從特殊多項式抽象出公式后提問：這個公式有什么特別之處？它可以代表什么？怎么證明？為撥開公式的神秘面紗，在“是何”這一維度設計以下三個問題.

問題1公式(a+b)(a-b)=a2-b2左右兩邊的字母a,b有什么特點？

問題2公式中字母a,b可以表示哪些代數式？

問題3你能否用幾何方法證明(a+b)(a-b)=a2-b2？

設計意圖：探究“是何”有助于學生更好理解學習內容的本質及其特征所在.問題1從符號語言轉到文字語言，是對平方差公式的第一次語言轉化，在觀察、歸納的同時，培養學生用數學語言總結和表達的能力.對于問題2，由于實際運用中字母a,b可以是數字、單項式、多項式等，因此需要從部分與整體的視角看待字母a,b的特征，挖掘公式蘊含的一般性和代表性，并從中領略此公式結構的不變性，以及字母a,b在可變性中體現的代數代換精髓[6].問題3從符號語言轉到圖形語言，是本節課的第二次語言轉化，順應著數學知識表征方式的變化，從數形結合的角度，引導學生在學習中實踐再實踐、認識再認知[7]，促進深度學習的發生.

(三)辨析“與何”，承前啟后

為把握知識的邏輯脈絡，體現溫故知新的學習思想，在已有知識經驗基礎上，對新學知識進行多層理解.在“與何”這一維度，設計以下探究性問題.

問題1回顧單項式與多項式相乘、兩個多項式相乘的證明過程，說說它們和平方差公式證明過程的區別和聯系.

問題2你能否添加不同的輔助線來證明平方差公式？

設計意圖：“與何”注重從知識的連貫性視角出發，辨析新舊知識的關系.承接教材利用拼圖、面積轉換計算的方式驗證單項式乘以多項式、兩個多項式相乘的思路.在學習完全平方公式時，也可沿用拼接圖形的方式證明完全平方公式.而掌握多種添加輔助線方式對同一圖形進行重新組合，可以培養學生的等價轉化思想，從而提高學生思維的靈活性，積累數學活動經驗.基于樹狀思維，當某一現象發生變化時，不一定只能從A路徑進行演變，還可能存在向B路徑甚至更多路徑演化的可能性.問題2啟發學生運用不同的切割、拼補方式證明平方差公式，是尋求多路徑演化的一種有效方式，讓學生在不同的圖形組合方式中走向對數學公式的深層理解.引導學生從系統的角度認識整式乘法的符號語言和圖形語言之間相互交織、互為表里的關系.

(四)深化“如何”，思行并重

學而不思則罔，思而不學則殆.為促進對知識的學以致用，在習得的基礎上，通向對知識的深層理解，在“如何”這一維度設計以下練習.

練習1完成表1.

表1

練習2閱讀教材108頁例1、例2內容.

問題1為什么3x,-x,2y要先添加括號，再平方？

問題2例2的小問(2)中的100是怎么來的？

問題3為什么102×98要寫成(100+2)×(100-2)，而不是(110-8)×(90+8)？

練習3用平方差公式計算以下題目.

(1)(a-3)(a+3)；

(4)79.8×80.2.

設計意圖：設計“理解+歸納+實踐”的練習方式，開展“如何”這一維度的教學環節，完善從一般多項式相乘到特殊多項式相乘的思維轉變.在理解公式的基礎上，對練習1的習題進行判斷，幫助學生經歷觀察、對比等過程，識別平方差公式的結構和特征.通過練習2、練習3，學生能夠在式子變動的狀態下，保持對“知識對象”的正確認識和判斷，在解題過程中萌發意識并發現“隱含的知識”，從而可以正確地應用、完成有關的解題步驟.

(五)感悟“變何”，拓展思維

“以簡馭繁，以不變應萬變”是應用數學公式解決問題的一大優勢.在厘清知識的特征及其應用之后，為使學生繼續感悟其多重變化，在“變何”這一維度設計以下拓展習題.

(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(x4+1)；

(2)(2+1)(4+1)(16+1)(256+1)+1；

(3)(3+1)(9+1)(81+1).

問題1為什么第(2)題要先寫成(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1的形式？

問題2為什么第(2)題要在前面補上(2-1)？

問題3解答第(3)題時，可以直接計算(3-1)(3+1)(9+1)(81+1)嗎？

設計意圖：“變何”旨在拓展學生的視野，化解思維難點.通過前面四個維度的學習，學生已經積累一定的學習經驗.設置拓展題，使得在多個多項式相乘中感受平方差公式蘊含的多米諾效應，領會數學的簡潔美.讓學生明確同一知識在不同情境中的要求及其對應關系，提升學生分析問題的能力，培養學生思維的靈活性.

(六)盤點“有何”，構建認知

為了解學生在歷經前面五個維度的教學之后有哪些收獲，存在哪些不足，在“有何”這一維度設計反思回顧.

問題1通過本節課的學習，你有哪些收獲？

問題2能否借助思維導圖或圖表，將你學到的知識記錄下來？(如圖3所示)

圖3 反思學習收獲的思維導圖

問題3你還有哪些疑惑？

設計意圖：“有何”作為課堂教學環節的最后一環，承載著為課堂畫上完美句號的作用.數學學習既要知其然，更要知其所以然，通過問題1至問題3回顧本節所學所悟，化知識為智慧，積思想為階梯，積極完善自我認知框架的構建.在對知識的轉化的同時，強化自我評價、反思和管理的意識[8].

四、評價與反思

(一)把握知識生長之路，螺旋上升式教學

平方差公式是引導學生對特殊多項式相乘的規律進行探究的起始課，對思考多項式的組成與其結果的關系，掌握知識與方法、數學思想等方面均有促進作用，其具有的簡潔美和形式美亦是激發學生探究數學的一大優勢.在“從何”這一維度，注重讓學生經歷從一般到特殊的研究方法，圍繞兩個二項式相乘的結果中項數發生變化與二項式的特征展開教學，引發對二項式的結構進行探索、思考，在復習舊知的同時激發出新知，體現溫故知新的深刻寓意.在“是何”這一維度，強調平方差公式中a,b所代表的廣泛含義，可以多次回顧已有的知識經驗，為新圖式的構建關聯更多的節點.在“與何”這一維度，通過對比分析整式乘法與平方差公式的圖形證明的過程，從系統的視角看待數量、算式、圖形三者之間的有機聯系.至此，可以看出“從何”“是何”“與何”這三個教學環節在順應教材知識邏輯脈絡的同時，注重知識的遷移應用，進行螺旋上升式教學.

(二)學為中心，創建高效課堂

為適應未知世界的機遇與挑戰,學習者必須獲得對概念更深層次的理解[9].深度學習是師生在教與學的過程中相互耦合、共同收獲智慧的經歷.深度學習將教學目標指向學生的思維發展，指向增進學生的深度理解.

本教學設計在“如何”這一維度的練習1中，基于變位置、變系數、變符號、變次數、變項數的變式訓練，提高學生從不同角度對問題做出綜合分析，加深對典型問題的理解與辨別能力.在練習2中，教師向學生提問.為什么要在計算過程中添加括號？100是如何出現的？能不能將102×98拆成其他形式？在講解教材習題的同時，通過層層追問的方式，將邏輯的火花引向運用公式計算的基本步驟和注意事項，深入挖掘其變形背后的隱藏含義.在“變何”這一維度，設置拓展題，將一般式子與變次數的式子結合在一起，構建新的算式.通過新掌握的工具——平方差公式，將看似難以計算的式子抽絲剝繭，逐步剝去其偽裝，終顯其本來面貌，讓學生體會平方差公式的形式美和簡潔美，發展學生由此及彼的聯想思維，使學習的境界更上一層樓.最后，在“有何”維度，旨在通過概念圖或者思維導圖的方式，細數學習的收獲，盤點自身的成長.將抽象的知識具體化、邏輯化，構建自身認知的同時，也是將學習與評價相結合，及時調整和改進后續的學習狀態、學習策略等.由此可見，在設計教學過程時，對于“如何”“變何”“有何”這三個教學環節，應注重以學為中心，通過解決一系列相關問題來學習數學知識、獲得數學技能、提升學習效率，提升數學素養與綜合能力，在有效的時間內提升學習的效率.最后再通過元認知策略進行學習反思，加深對新知的內化與理解.

教學的生命在于教學的有效性[10]，“六何”認知教學認知鏈的各個組成要素之間緊密聯系、環環相扣.一方面，這六個維度教學設計很好地體現了教學的連貫性與系統性，有助于課堂教學的順利開展.另一方面，“六何”認知鏈遵循知識的成長路線與認知心理發展路線，利于從淺層學習走向深度學習，促進學生的思維發展.