從直觀性角度對一道數列綜合題的探究

200234 上海師范大學數理學院 鄧 聰

直觀想象是《普通高中數學課程標準(2017年版)》提出的六大核心素養之一，它是指借助幾何直觀和空間想象來感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形理解和解決數學問題的素養.數列問題是近年來高考數學的考查重點，內容較為抽象、復雜.

筆者針對2021年上海春考數學卷中的一道數列綜合題進行探究，從直觀性角度來解決該問題.數列可以視作是定義在正整數集上的特殊函數，因此具備函數的一些固有特征，而原題中的數列是一個具有隨機性的數列.所以筆者將其視作特殊的分段函數，利用直觀性觀察函數的圖像，從而研究數列的性質.巧妙地借助幾何直觀描述問題間的復雜關系，能使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，解題思路更加明朗.

1 解題探究

1.1 原題呈現

(2021上海春考數學卷-21) 已知數列{an}滿足an≥0，對任意n≥2，an和an+1中存在一項使其為另一項與an-1的等差中項.

(1)已知a1=5，a2=3，a4=2，求a3的所有可能的取值.

(2)已知a1=a4=a7=0，a2，a5，a8為正數，求證：a2，a5，a8成等比數列，并求出公比q.

(3)已知數列中恰好有三項為0，即ar=as=at=0，2

1.2 題干分析

圖1 圖2

1.3 解答

圖3圖4

綜上，a3的所有可能取值為1.

解：因為a1=a4=a7=0，且a2，a5，a8為正數，所以數列圖像從a1處上升后必然要下降才能使得a4=0，又因為相連三項間的圖像趨勢滿足圖1或圖2，所以圖像在到達a2后就必須向下降落至零點，若上升到a3時才下降則此時圖像不滿足題意，同理可作出a4到a8的圖像(如圖5所示).

高齡是腦卒中不良轉歸因素。第3次國際卒中試驗[4](the third international stroke trial, IST-3)結果顯示，年齡≥80歲腦卒中患者的主要轉歸指標(發病后6個月內存活和生活自理)改善[比值比(odds ratio, OR)=1.35，95% CI 0.97～1.88]，為高齡患者靜脈溶栓提供了依據。重組組織型纖溶酶原激活劑靜脈溶栓是早期血管再通的主要治療方法[10-11]。

圖5

當m=0時，即An的所有取值均為1，an+1=an+1，此時數列圖像如圖6所示.

圖6

顯然此時數列為等差數列且公差大于0，圖像呈直線上升趨勢，無法滿足題干所述的恰有三項為0，所以m=0舍去.

圖7

圖8

1.4 注記

小問(3)的難點在于求an+1，筆者在此過程中計算an+1-an，這是因為題干中的數列是一個隨機數列，故可將其視作是一個分段函數，通過作差發現數列各項之間的關系，同時作出此時的圖像，更加直觀地幫助理解.小問(3)實則是小問(2)的拓展與延伸，在小問(3)中也得到了ar+1，as+1，at+1成等比數列，兩小問都可以巧妙地利用好“拐點”個數，作出圖像快速解題.

2 拓展

第一，本題研究的數列是一個隨機數列，且該數列圖像存在兩種情況，單純用代數方法解題十分復雜，因此筆者通過作圖，建立起形與數的聯系，通過幾何圖形描述問題，從直觀性角度幫助理解問題.

圖9

a3=a2+A2，

a4=a3+A2A3，

…

(感謝馮朝君老師提供的部分思路)