兩角差余弦公式引入方式的比較研究*

215300 昆山文峰高級中學 李兆強

221000 江蘇省徐州市第一中學 丁永剛

1 研究背景

任何數學公式都有其產生的背景，只有讓學生在課堂上經歷公式的發現過程，這樣的教學才是自然的、樸實的.兩角差余弦公式脫胎于平面幾何，與余弦定理、射影定理等三角學的重要定理、公式以及復數知識都有密切的聯系.研究兩角差余弦公式有助于培養學生數學運算、邏輯推理、直觀想象、數學建模等素養.《普通高中數學課程標準(2017年版)》(以下簡稱“課標”)要求：“知道兩角差余弦公式的意義、經歷公式的產生過程，能從余弦推導正弦、正切.”因此，研究兩角差余弦公式如何引入很有必要.

如表1所示，在呈現方式上，人教版教材從現實情境出發，滬教版和蘇教版教材從數學情境出發引入公式.人教版教材利用幾何方法和向量方法證明公式，滬教版教材利用單位圓中兩點距離公式證明，蘇教版教材用向量方法證明.在前后知識順序上，三個版本教材差別不大，都是從余弦推導正弦、正切公式.

表1 三版教材中的“兩角差的余弦公式”

2 理論基礎

對于同一個數學公式，每位教師的引入方式是不一樣的，即使教師使用同樣的教學設計方案，課堂中出現的情況也是千差萬別.學生對教學目標、教學內容、教學手段和教學方法的理解和解讀也大相徑庭.影響教學的心理學原理有以下兩種.

2.1 班杜拉社會學習論

美國心理學家班杜拉通過實驗得出了著名的社會認知論，他認為，教師有什么樣的課堂教學價值觀，以及是否及時巧妙地對學生的各種表現或表達予以強化，決定了學生課堂的行為狀態，也決定了課堂是否有利于教學生成.因此，好的課堂需要教師提前做出好的教學設計.

2.2 建構主義學習論

以皮亞杰為代表人物的建構主義學習論認為，知識不是通過教師傳授獲得的，而是學習者在一定的情境下，通過意義建構獲得的.建構主義教學設計遵循下列原則：(1)問題驅動學習；(2)真實情境展開；(3)任務提供資源.因此，好的公式引入設計必須搭建學習的“腳手架”.

3 研究過程

公元2世紀，古希臘天文學家托勒密在編制弦表時，使用了包括兩角差余弦公式在內的三角公式，這是有史可考的兩角差余弦公式的最早記載.繼托勒密之后，許多天文學家和數學家相繼設計新的方法推導該公式，不斷為兩角差余弦公式的歷史增添新的篇章，他們的研究方法大都比較復雜.筆者結合多年的研究實踐，以蘇教版教材為例，梳理六種不同的兩角差余弦公式引入方式，并加以比較.

3.1 引入方式

方式1：生搬教材(新手型教師)

方式2：舊知引入(經驗型教師)

分析：由向量的數量積的兩種不同計算公式這一舊知引入新知，直截了當，問題鋪墊，單刀直入，一步到位得出公式，復習了數量積的計算公式，但過程過于簡單，缺乏探究的樂趣，在理解學生、理解教學、理解數學上都存在欠缺，不利于學生的學和教師的教.

方式3：改進教材(成熟型教師)

生：在單位圓x2+y2=1上.

生：單位圓上旋轉角.

問題3cos(α-β)中α，β分別對應哪兩個點的旋轉角？

生：(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ).

問題4在向量的哪個公式中會出現cos(α-β)？

問題5如何求cos(α-β)？

生：構造點(cosα,sinα)和(cosβ,sinβ)，利用數量積公式推導.

分析：設計五個問題組成問題串，引出單位圓，利用數量積推導兩角差余弦公式，公式引入比較自然，問題設置十分巧妙，探究過程非常“隱蔽”.

方式4：實驗探究(骨干型教師)

問題5你能發現cos(α-β)，cosα,cosβ,sinα,sinβ這五個式子的等量關系嗎？

分析：由探究特殊角三角函數值間的關系入手，歸納任意兩角差的余弦公式，但設置的問題有些突兀，教師的主觀意志強，缺乏必要的引導，公式的發現成為“被發現”，課堂可能會出現新的生成.

方式5：幾何模型(專家型教師)

問題1如圖1、圖2，如何借助下列圖形證明勾股定理？

圖1圖2

問題2如圖3、圖4，將直角三角形的斜邊長改為1，其中的一個銳角改為θ，證明cos2θ+sin2θ=1.

圖3圖4

問題3如圖5、圖6，兩對斜邊為1的直角三角形，一對含銳角α，一對含銳角β，探究有關α、β的等式.

圖5

圖6

分析：巧設問題，引導探究，從四個全等直角三角形到兩組全等直角三角形，從一個銳角到兩個銳角，學生感悟了數學問題的產生、發展的過程，積累了借助幾何圖形發現數學結論的活動經驗，培養了幾何直觀素養，訓練了類比推理.

方式6：單位圓模型(名家型教師)

問題托勒密定理告訴我們，圓的內接凸四邊形中，兩組對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC，如圖7，設∠DAC=α,∠ACB=β，半徑OA=1，你能得出什么結論？

圖7

分析：根據著名的托勒密定理設置開放性的問題，讓學生自主探究，小組合作，探索未知的結論，這是課堂教學中的“真探究”.

分析：學生通過托勒密定理推導兩角差余弦公式，感受古人的數學智慧，了解數學史和數學文化，增強數學學習的熱情和自信.

3.2 比較研究

受教師教學理念、學生學習能力差異等因素的制約，在蘇教版教材編寫意圖的引導下，不同的教師會選擇不同的公式引入方式.

3.2.1 研究引入方式，提升數學抽象素養

高中是學生數學抽象素養提升的關鍵階段，然而，如何才能更高效地提升學生的數學抽象素養，依然存在很多不明確的因素.例如，方式1雖然取自教材，但由于缺少必要的“臺階”，學生的數學抽象素養很難得到提升.方式2雖然過程簡潔，但只是做了一次等量代換，一次代入坐標運算，談不上提升數學抽象素養.方式3中的五個問題形成問題串層層遞進，引導學生探究，由淺入深提升了學生數學抽象能力.方式4從特殊到一般，方式5利用圖形的拼湊，方式6利用公式的變形，貼近學生的能力基礎與知識經驗，使高中生在獲得“四基”、提升“四能”的基礎上，訓練數學抽象思維，提升數學抽象素養.

3.2.2 列舉具體實例，夯實先行組織策略

①設計自然原則 引入公式既要對學生充分了解，又要對教材進行合理的預設，既要承上又要啟下，對此，方式3體現得尤為突出.

②循序漸進原則 不同的學生有不同的最近發展區，因此，引入公式時要考慮學生的均衡程度，循序漸進地設置問題，不可一蹴而就，如方式3、方式4的五個問題，方式5的三個問題都很好地遵循了這一原則.

③留有余地原則 引入公式時不能“面面俱到、無微不至”，不能“填滿”學生的最近發展區，要適當給學生的思維空間“留白”.如方式5可以放手讓學生自由拼湊，學生可以拼湊出“五花八門”的圖形，給學生的思維留出充分的余地，有時會有意想不到的收獲.

4 教后反思

課標提出把握數學本質，創設教學情境，感悟數學的科學價值、應用價值、文化價值和審美價值[1]，如何在公式引入課教學中落實“四基”，訓練“四能”？筆者認為好的公式引入課要做到以下四點.

4.1 融入數學歷史

引入方式5(幾何模型)和引入方式6(單位圓模型)適當引入了數學史的元素，兩則史料對應了“經歷兩角差余弦公式的推導過程”“培養直觀想象素養”“激發數學學習興趣”的教學目標，符合有效性原則，“兩角差余弦公式的幾何模型”史料與勾股定理的證明一脈相承，符合可學性原則.

4.2 過程設計須自然

歷史上，兩角差的余弦公式經歷了從銳角到任意角情形，從幾何方法到解析方法的演進過程，學生在初中學過勾股定理的證明，引入方式5從勾股定理證明到cos2θ+sin2θ=1的證明，再到兩角差余弦公式的證明，中間過渡較為自然，教師在講解證明方法時，學生進行類比推理較為輕松，這都源于公式證明過程設計的自然.

4.3 關注學科育人

六種教學設計，從銳角到任意角、從三角到幾何、從猜想到證明，再現了兩角差余弦公式發生、發展的過程，呈現了“知識之諧”.六種不同的呈現方式，六類不同教師(新手型、經驗型、成熟型、骨干型、專家型、名家型)的引入方式，展示了“方法之美”.教師引導學生獲得成功的體驗，營造了“探究之樂”.數形結合法揭示了代數與幾何的聯系，培養了學生的直觀想象素養，成就“能力之助”.引導學生了解數學史，小組合作互相啟發，培養了傾聽、尊重的品質，體現出“德育之效”[2].

4.4 培養實踐思維

在開展兩角差余弦公式教學時，很多教師更關注公式的實用性，對公式的產生過程重視不夠.筆者列舉的六種引入方式將知識的產生過程置于初高中龐大的知識體系中，緊扣幾何圖形設計實踐活動，積極強化學生實踐活動經驗.在引入公式時，設計層層遞進的問題，點燃思維的火花，引導深度思考、深度探究，使學生積累的經驗逐步歸一，完善學生思維體系，豐富學生思維活動經驗[3].實踐活動經驗和思維活動經驗緊密聯系，只有二者同時培養、雙管齊下，才能全面提升學生數學核心素養.