指向深度學習的高中數學單元教學
——以滬教版新教材必修三“概率初步”為例

200041 上海市教育委員會教學研究室 方耀華

在開展“概率初步”單元教學之前，需要明晰教學中可能會遇到的一些問題和困難.例如，學生在初中階段對“概率初步”掌握到什么程度？如何讓學生更快更好地進入高中“概率初步”的學習？是否需要在概率學習之前補充“計數原理、排列組合”的內容？“獨立性”的定義是基于“條件概率”的，那么在沒有“條件概率”的情況下，如何開展“隨機事件的獨立性”教學？

基于上述問題，筆者旨在結合深度學習的理念與特征，通過對滬教版九年義務教育課本《數學》八年級第二學期(試用本)(以下簡稱“初中教材”)、滬教版新教材《數學》必修第三冊(以下簡稱“高中教材”)的教學內容進行解析，在單元中設計有特點的學習活動，為高中數學教師落實新課程理念、理解新教材內容提供教學建議.

一、基于學生經驗開展單元教學內容解析

作為深度學習的特征之一，聯想與結構強調要基于學生已有經驗開展單元、主題教學.在開展“概率初步”這一章單元設計之初，比較、研究上海學生初中所學的概率內容與高中即將學習的概率內容很有必要.表1主要梳理了初中教材八年級第二學期第23章“概率初步”中各節相應的學習內容、這些內容在高中教材的課時位置以及它們的不同之處.

表1 初中教材概率內容與高中教材概率內容的聯系與區別

以表1為基礎，結合新教材的內容，可以更好把握高中概率單元教學的重點.章首語和“12.1.1 隨機現象”是本單元起始課的內容，在起始課中，教師可以通過豐富的實例，幫助學生認識隨機現象在自然界、社會中普遍存在，初步了解概率論的起源與發展歷史，感悟數學的文化價值.章首語中寫道：“第一次接觸隨機現象，真正理解起來可能并不容易，和學習以往的內容不同，不僅要換一種思路，而且要換一套語言.”學生能夠比較容易地理解隨機現象是不確定的，但最終它要么發生、要么不發生，一切皆有可能，結果不確定，這與之前研究的數學問題的結果基本都是確定的有較大差異.因此，教師需要引導學生理解概率主要研究的是隨機現象發生的可能性的規律.與初中的起始課教學略有不同，可以簡單介紹概率公理化的學習路徑，即“背景—定義(古典定義與統計定義)—性質(四條性質、獨立性)—簡單應用(至選擇性必修‘概率初步續’)”.在此過程中體現學習概率能夠解決現實世界中許多不確定的問題，尤其可以舉幾個直覺與理論結果有沖突的經典問題(蒙提霍爾三門問題、先勝一局的分獎金問題等)，激發學生學習本單元的興趣.

從表1中可以發現，從背景概念起，高中教材的內容與初中教材相比有很大的不同.一是引入了“樣本空間”和“基本事件(樣本點)”的概念，其意圖是用高中所學的集合的語言來刻畫隨機現象、隨機事件.有了集合語言的幫助，描述隨機事件變得嚴謹且簡潔，可以通過集合的關系和運算促進對事件之間的關系和運算的理解，將復雜的事件變為簡單的事件的運算結果來處理，也為后續研究隨機變量是定義在樣本空間上的函數做鋪墊.但是需要注意，高中教材中的隨機事件被看作樣本空間的一個子集，它包含著必然事件和不可能事件，這與初中教材中對隨機事件的定義是不同的.因此，隨機事件A發生的概率可以取值為0或1，而不是初中教材中的0

初中教材要求用一課時學習“事件發生的可能性”，即判斷現實世界中一些隨機事件可能性的大小.之后，教材給出概率的描述性定義——用來表示某事件發生的可能性大小的數.高中教材在邊款也說明可以從直觀的角度使用“概率”這個名詞.因此，教師在教學時依舊可以沿用初中的描述性定義，或用高中教材概率章節最后的內容提要中的描述——概率是衡量一個隨機事件發生可能性大小的度量.

初中教材在給出了“概率”的描述性定義后，結合具體實例，立即介紹了“頻數”和“頻率”，并說明通常把某事件在大數次試驗中發生的頻率作為這個事件概率的估計值.然后將其進一步抽象、理想化到研究等可能試驗下的概率，但并未提及“古典概率模型”的名稱.接下來就是對一系列具體實例中古典概率(包括幾何概型)的求解，總結了解決問題的方法“枚舉法”及其表示形式“樹形圖”.由于“計數原理、排列組合”的內容被放在選擇性必修學習主題中，故高中必修部分的概率計算大都與初中類似，依舊強調枚舉法(樹形圖)在解決問題中的作用，只是在解決問題的過程中更多使用集合語言描述問題(樣本空間、樣本點等).從課標與教材的官方解讀中也可以發現，必修部分中的“概率初步”將學習重點更多放在概念和思想方法的形成上，不希望排列組合的各種技巧、方法沖淡教學重點.在“12.2.2等可能性(續)”這一小節中，高中教材也潛移默化地介紹了部分運用乘法原理計算樣本空間的元素個數的方法，但并未提及“乘法原理”這一名詞.

從表2統計的相關實例內容可知，初中學生已有豐富的實例基礎，涵蓋了高中幾乎所有的實例背景.由此可見，在高中的教學中，應更突出抽象的模型思想，可以在教學中引導學生發現初中的這些實例的聯系.只需通過最簡單的實例把握要研究的問題所對應模型的核心知識、思想方法，就可以解決一類相關的現實問題.

表2 初高中教材中古典概率模型的相關實例

在高中“古典概率”的教學中，應創造更多的機會讓學生用集合的語言來描述問題解決的過程，類比集合的關系和運算，研究事件的關系和運算，以“古典概率”這一特殊的也是概率發展最初的模型理解并掌握概率的四條性質.教師也應該讓學生了解高中教材第104頁提到的概率最核心的三條性質，它們不限于古典概型，其可加性在計算概率時是重要的基礎，教材也將其稱為概率最本質的性質.

在高中“頻率與概率”的教學中，學生對于頻率一詞并不陌生，也了解頻率是概率的估計值.高中的教學增加了“伯努利試驗”“伯努利大數定律”的內容，對頻率的闡述更加清晰、準確.與初中教材只安排半個課時左右講解頻率與概率的關系不同，高中教材要求在一個課時內讓學生更好地理解頻率的隨機性和穩定性.高中教材中，歷史上數學家拋擲硬幣試驗的數據略少于初中教材，缺了德·摩根的試驗數據(如表3所示).雖然較好地體現了試驗次數越多，頻率越“逼近”概率，但是從頻率隨機性的角度看，依舊需要通過其他例子來幫助學生理解.

表3

在高中教材對“頻率”概念的描述“獨立地重復一個伯努利試驗”中，“獨立”和“重復”這兩個關鍵詞是需要關注的.對于“重復”，需要更寬泛地加以理解.例如，面對教材課后練習中的種子發芽問題，對每顆種子來說，發芽或不發芽是不可重復的，但是，可以將這一批的多顆種子的發芽或不發芽看作是重復的實驗，進而求解其頻率.教材要求在教學時按字面意義理解“獨立”，因為在后一節(12.4)中學生就會對隨機事件的獨立性展開學習.教師可以將12.2與12.4兩節內容整合起來.為體現它們之間的聯系，約定事件A與事件B至少有一個發生的事件A∪B為事件A，B的“和事件”，由“可加性”，兩個互斥事件至少有一個發生的概率是這兩個事件的概率之和，即P(A∪B)=P(A)+P(B)(其中一些名稱在高中教材中并未出現，為幫助教師理解內容之間的關聯，故給出，后文亦如此).再約定事件A與事件B同時發生的事件A∩B為事件A，B的“積事件”，由“獨立性”，兩個獨立事件同時發生的概率是這兩個事件的概率之積，即P(A∩B)=P(A)P(B).“互斥”關系下“和事件”的概率等于概率之和，“獨立”關系下“積事件”的概率等于概率之積，兩者形成很好的呼應.

高中必修教材中對“獨立”的理解僅停留在兩個事件(或多個事件中兩兩之間)是否發生互不影響，從特殊的例子抽象出(相互)獨立所滿足的定義(公式)，再探究兩個(相互)獨立的事件所滿足的性質及其應用，在選擇性必修教材的“條件概率”處再對事件的獨立性作補充說明.這也體現了教材先特殊后一般、螺旋上升的認知策略.

課標指出，概率的研究對象是隨機現象，為從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法.“概率初步”整章的學習，其實就是建立研究隨機現象數學模型的過程，從“認識概率”(知道概率的背景與語言，特別是集合語言)，到“計算概率”(發現規律、歸納定義與性質)，再到“理解概率的意義”(頻率的穩定性是以頻率定義概率的理論基礎，事件發生的可能性大小是客觀存在的，是可以度量的).在這個過程中，用集合的語言表達和理解事件之間的關系是至關重要的.在從特殊到一般的教學思想下，不斷地、反復地引導學生用數學語言表達、解釋描述現象的本質是加深學生對隨機現象認識和理解的必經之路.故而將本單元的學習主題凝煉為“類比集合學概率，解釋表達促理解”，重點提升學生的數據分析素養和數學表達能力.本單元的知識結構圖如圖1所示.

圖1

在學習主題的引領下，本單元重要的單元學習目標之一(篇幅所限，其他目標不羅列)為懂得集合語言是描述和研究隨機現象的重要工具，會用集合語言表示具體實例中的樣本空間、基本事件(樣本點)、事件等，能類比集合之間的關系和運算理解事件之間的關系和運算，將復雜問題簡單化.

二、基于學習主題開展單元學習活動設計

深度學習的又一重要特征是活動與體驗.在確定了本單元的核心內容、重要思想方法后，教師需要設計有針對性的學習活動幫助學生掌握教學重點，突破學習難點.如何設計學習活動讓學生體會學習內容的必要性？如何設計系列學習活動讓學生反復感悟本單元核心的知識、數學思想方法？如何在學習活動中融入信息技術和數學文化？這些問題都是在設計單元學習活動時需要深入思考的.

從“認識概率”開始，用集合語言表達、計算和理解概率問題是貫穿整個單元學習始終的.在單元學習活動設計中，尤其是在前期“認識概率”“計算概率”階段，通過大量的實例，教師設計問題引導學生用集合語言進行交流與表達非常重要.例如，“樣本空間與事件”一課的教學中涉及樣本空間與基本事件的定義——一個隨機現象中依某個角度觀察其所有可能出現(發生)的結果所組成的集合稱為一個樣本空間，用Ω表示，其中的元素稱為基本事件或者樣本點.教師可以設計問題鏈，在師生對話中引導學生對該定義進行準確理解.

教學片段(選自上海空中課堂的教學設計案例)

情境連續射擊一個目標5次，觀察命中的次數.

問題1在上述隨機現象中，所有可能出現(發生)的結果有哪些？在射擊之前，是否可以預知會出現(發生)哪一種結果？

生：連續射擊一個目標5次，命中次數的結果共有6種——0，1，2，3，4，5.但是在射擊之前，我們無法預知命中的次數.

師：在上述隨機現象中，射中1次和射中2次的情況是否會同時發生？

生：在這個隨機現象的6個結果中，射中1次和射中2次的情況不會同時發生.

師：這個隨機現象的所有可能出現的結果共有6個，也就是說所有可能出現的結果是明確可知的.6個結果中，任何兩個都不會同時出現，也就是說結果與結果之間是互斥的.隨機現象可能發生的結果的特征，與集合中元素具有確定性和互異性相類似.

然后，教師可以給出樣本空間和基本事件的定義，并追問.

問題2在上述隨機現象中，基本事件有哪些？如何表示這個隨機現象的樣本空間？

通過特殊的例子，自然地建立隨機現象與集合之間的聯系，為后續對隨機事件進行數學刻畫(事實上隨機事件是樣本空間的子集)奠定基礎.

例1寫出下面隨機試驗的樣本空間.

(1)拋擲一枚硬幣，觀察朝上的面.

(2)拋擲一顆骰子(每一面上分別標注數字1，2，3，4，5，6的質地均勻的小正方體)，觀察朝上的點數.

(3)從裝有標號為1，2，3的三個球的袋子中依次取兩個球(第一次取出的球不再放回)，觀察標號，考慮標號順序.

(4)從裝有標號為1，2，3的三個球的袋子中依次取兩個球(第一次取出的球不再放回)，觀察標號，不考慮標號順序.

(5)連續擲一顆骰子，直到點數6出現為止，觀察擲的次數.

(6)向一面墻隨機擲飛鏢，觀察其在墻面上的落點.

例1的作用是讓學生針對具體的隨機現象，用集合語言描述其樣本空間和基本事件.教師應在此過程中讓學生充分討論，積累隨機現象數學化的活動經驗.對于小問(1)，拋擲硬幣正面、反面朝上可以簡記為“H,T”或者“0，1”.對于小問(3)、小問(4)，可以用有序數對“(1,2),(2,1)”或體現無序的“1*2”分別表示其基本事件.另外，可以通過變式讓學生更好地理解定義中“依某個角度觀察”的含義，其本質就是確定集合中元素的條件.比如，在拋擲一顆骰子的情境中，在“朝上的點數是奇數，還是偶數”或“朝上的點數是質數，還是合數及其他”的不同觀察角度下，會得到不同的樣本空間.

理解頻率的穩定性是“理解概率”的重要基礎，因此，“頻率與概率”的教學需要盡可能地讓學生親身體驗，通過操作實驗活動促進他們對知識的理解.對于古典概率中經典的拋硬幣試驗，可以設計課前小組活動，學生分工合作，記錄拋硬幣的次數及正面向上的次數，體驗數學家鍥而不舍、精益求精地追求真理的過程.然后運用信息技術，借助計算機軟件或計算器產生隨機數來模擬該試驗.信息技術的優勢是可以很快完成大數次的試驗得到結果，從而發現伯努利大數定律的結論.教師還可以對學生容易產生思維沖突的問題進行模擬試驗檢驗，如拋擲兩枚硬幣，樣本空間{兩正，一正一反，兩反}為什么不是等可能的樣本空間.雖然在之前古典概率的學習中教師做過解釋，但沒有什么比親身實驗得出的結果更能說服學生.對于起始課中介紹的一些反直覺的經典案例(如蒙提霍爾問題等)，也能通過信息技術來模擬隨機試驗，從而驗證理論分析的正確性.教師還可以通過課堂上拋圖釘的實驗讓學生體驗用頻率估計概率的過程，由于學生不知道圖釘針尖向上的概率，這能更好激發他們實驗的興趣.而頻率的隨機性、穩定性(伯努利大數定律)均可以在實驗中引導學生發現、歸納總結.不僅如此，更有意義的是這不是古典概率模型的問題，它告訴學生頻率估計概率是對任意隨機事件都成立的.“遷移與創造”是引導學生深度學習的必不可少的特征.在設計“頻率與概率”一課作業時，可以布置一些創新實踐活動.例如，可以讓學生根據英文文章中26個字母出現的頻率結果，設計出自己專屬的鍵盤，也可以由學生應用所學知識自主提出問題并嘗試分析解決.以上一系列的學習活動有利于學生體會“直觀感知—大膽猜想—實驗探究—理論驗證—實際應用”的探究過程，有利于學生理解概率的理論基礎，提升他們的實踐能力，增強創新意識和科學精神.

類似的作業設計能夠體現深度學習“價值與評判”的特征.例如，在“事件的關系和運算”課例中，張建國老師布置了“查閱關于概率定義的發展過程中與公理化形成有關的資料，從中體驗和感悟概率論公理化體系的思想”作業.整個單元學習結束后，可以讓學生寫一篇關于概率單元學習的心得體會，引導學生自覺思考所學知識在知識系統中的地位與作用、優勢與不足、用途和局限，對所學知識及學習過程進行梳理、反思、質疑和評價.

以上是筆者結合深度學習理念在設計概率單元時的思考和經驗.滬教版高中數學新教材概率單元與舊教材在內容結構、呈現方式、難度要求上有不少差異，在整體把握單元教學的基礎上，值得教師結合各校的學情進一步研討教學細節，提升教學質量.