微視頻先導實現數學課堂的深度學習*
———“冪函數(第1課時)”的教學設計與思考

200040 上海市市西中學 張 娜

教育部基礎課程教材發展中心推出的《深度學習：走向核心素養》一書對深度學習給出如下定義：“所謂深度學習，就是指在教師的引領下，學生圍繞著具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與，體驗成功，獲得發展的有意義的學習過程.”圖1呈現出深度學習的幾項基本特征：聯想與結構、活動與體驗、本質與變式、遷移與應用、價值與評價.

圖1

那么，如何更好地讓學生在課堂中完成深度思考，達成深度學習？筆者采取微視頻先導下的課堂教學方式.在學生通過微視頻預習達成統一的、更高的認知起點基礎上，在課堂教學中完成對具有挑戰性問題的探究.筆者以“冪函數(第1課時)”的教學設計為例，呈現如何在數學課堂中達成深度學習.

一、教學設計的理念與背景

2020年9月以來，上海市高中數學學科開始實行“新課標”“新教材”的“雙新”課程，本次課程改革特別強化基于課標的教學，在教學設計的過程中強調目標導向，突出重點，突破難點，注重知識發生、發展的過程，將資源、評價、指導融入活動之中.

在上述教學設計理念的引領下，筆者采取微視頻先導下的課堂教學方式.經過長期的課堂教學實踐與探索，將微視頻先導下的教學過程凝煉為五個環節，即“目標引領—自主預習—評價反饋—釋疑深化—合作探究”.基于以上教學設計理念與背景，筆者展開如下教學設計.

二、教學目標

(1)理解冪函數的概念，經歷通過列表、描點、連線的方法作出具體冪函數圖像的過程，感受冪函數在第一象限的圖像特征.

(2)用代數的方法研究冪函數y=xa(a>0)在區間(0,+∞)上為嚴格增函數的性質，體會邏輯推理的重要性.

(3)在冪函數圖像與性質的探究過程中，體會從特殊到一般的研究方法，感悟數形結合的數學思想，學會用數學語言對嚴格增函數的性質進行嚴謹的邏輯表達.

三、教學重點、難點

教學重點：理解冪函數的概念，作出具體冪函數的圖像，知道冪函數的性質.

教學難點：在研究冪函數圖像與性質的過程中，經歷從幾何直觀到代數說理的邏輯推理過程.

設計意圖：在初中期間學生已經學習了一些基本的初等函數，如正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等.在此基礎上，冪函數的學習是進一步研究在等式ab=c中，字母b的取值固定時，另兩個量的相互關系和變化規律，同時學會用冪函數圖像與代數推理的方法研究冪函數的性質，也為下一章“函數的概念、性質及其應用”的學習奠定基礎.基于冪函數這一節內容的重要作用，筆者從學生的視角出發，制定以上教學目標并設定教學重點、難點.

四、自主預習

在課前，學生通過觀看微視頻進行自主預習并完成配套基礎題.

微視頻主要包含以下幾個方面的內容.

(1)冪函數的概念.

(3)根據給定冪函數的圖像判斷冪指數的大小關系.

微視頻的配套基礎題如下.

題1在同一直角坐標系中作出y=x，y=x2，y=x-1，y=x0的圖像.

題2填寫表1.

表1

(2)冪函數y=x-m2+2m+3(m∈Z)的定義域為R，求字母m的值.

(3)比較2.5-3與3.1-3的大小，并說理.

設計意圖：在課前，學生通過觀看微視頻知道了冪函數的概念，能夠求具體冪函數的定義域，通過列表、描點、連線并結合圖像的對稱性作出具體冪函數的大致圖像，并能夠通過觀察冪函數的圖像敘述其所具備的一些性質，在此基礎上進入課堂教學.

五、課堂教學過程

(一)評價反饋

1.評價

教師活動在學生提交的基礎題答案中分別選取不規范表達與正確表達進行投影比對，讓學生結合函數單調性的定義進行自主評價，從而完成對不規范表達的訂正.

學生活動對教師呈現的不同答案進行對比思考，結合單調性定義糾正可能存在的不規范表達，對指數為負數時冪函數的增減性有更準確的把握.

2.反饋

問題1這幾個冪函數的圖像是否恒過定點？

預設回答：恒過定點(1,1).

問題2對于一般的冪函數y=xa(a∈R)是否也過此定點，為什么？

預設回答：是的，因為1的任何次冪都等于1.

預設回答：具備，關于原點對稱.

問題4這類冪函數圖像是否經過定點(1,1)，除了(1,1)之外是否還有其他定點？

預設回答：是的，還有定點(-1,-1).

問題5請描述這一類冪函數的單調性.

預設回答：在(-∞,0)和(0,+∞)上分別為嚴格減函數.

(二)釋疑深化

預設回答：因為冪指數是無理數，故無法通過不等式的基本性質或作差的方法進行證明，只能選用冪的基本不等式.

設計意圖：釋疑深化環節是本節課中的難點突破，在滬教版新教材中，冪指數從老教材中規定的有理數擴大到實數范圍，并要求學生通過冪的基本不等式完成對冪函數的增減性的說理，這對學生提出了很高的要求.因此，筆者在課前預習時就對此難點的突破進行了鋪墊，在預習基礎題中讓學生先從幾何的直觀感悟出發，再到課堂中通過教師的引導經歷從幾何直觀到代數說理的邏輯過程，在證明的過程中筆者也將學生的關注點聚焦在相對簡單的第一象限，也就是讓學生探索當x∈(0,+∞)時冪函數增減性的說理，這也從一定程度上降低了說理的難度.

(三)合作探究

圖2

問題1將此函數圖像的特征轉化為代數表達并進行嚴格說理.

問題2請通過小組合作探究的方式思考對于一般的冪函數y=xa(a≠1)，當字母的取值范圍為多少時符合上述函數圖像特征，并進行嚴格說理.

學生活動仔細觀察教師提供的兩個特殊冪函數的圖像特征并將其轉化為代數表達，借助不等式的基本性質進行嚴格說理.通過小組合作探究的形式完成對一般冪函數y=xa(a>1)圖像特征代數表達的深度思考，并通過冪的基本不等式完成嚴格說理.

設計意圖：本環節通過合作探究的方式旨在落實滬教版新教材中通過冪的基本不等式進行冪函數性質說理的要求，這對學生來說是有挑戰性的問題.本環節從冪函數圖像的特征出發逐步轉化為代數說理，其中特別需要關注的是指數a是在實數范圍內，這也是滬教版新教材與老教材的關鍵區別所在.在老教材中，指數a限定在有理數的范圍內，函數單調性與圖像特征的說理都可以通過不等式的基本性質完成，而新教材將指數a擴大到了實數的范圍內，那么函數單調性與圖像特征的說理都只能通過冪的基本不等式完成.在釋疑深化環節中完成對具體冪函數單調性證明之后，通過合作探究的形式進一步探索一般冪函數圖像特征，并借助冪的基本不等式進行嚴格說理，關注和提升學生邏輯推理的數學核心素養.

(四)課堂小結

1.總結冪函數在第一象限中的圖像特征.

2.通過冪的基本不等式證明當x∈(0,+∞)時，冪函數y=xa(a>0)是嚴格增函數的性質.

3.通過小組合作的方式，依據冪的基本不等式對冪函數的圖像特征進行代數說理.

六、課后總結與反思

(一)微視頻先導下，課堂教學容量更大，學生的課堂參與性更高

從本節課的整體教學設計可以看出，雖然是冪函數的第1課時，但是冪函數圖像與性質的重點內容都在課堂教學中得以體現，課堂容量大、學生參與度高，這些都得益于學生在課前通過觀看微視頻進行自主預習.在課前，學生已經對冪函數的概念以及通過列表、描點、連線作出冪函數的圖像進行了充分的準備與熟悉，形成了統一的、更高的認知起點.微視頻特別為一些新知接受能力較弱的學生提供了充足的緩沖、消化時間，為課堂教學的高效、順利展開做足了鋪墊.

(二)課堂聚焦學生深度學習，注重學生在自主思考與小組合作下邏輯推理核心素養的提升

在形成統一的、更高的認知起點之后，教師依據學生課前基礎題的完成情況，在課堂教學中重點聚焦學生新知學習過程中所產生的誤區與盲點進行重點突破.本節課的課前基礎題反饋出學生對冪函數圖像對稱性與增減性的文字表達以及代數邏輯表達都存在較大問題.因此，在練習反饋環節教師重點對學生的薄弱環節進行點評、比較、討論，糾正學生的表達問題以及理解誤區，又在后續的釋疑深化環節以及合作探究環節針對冪函數圖像特征的代數說理進行集中突破，促成學生在自主思考與小組合作下邏輯推理核心素養的顯著提升.

(三)為“挑戰性”問題的深入思考預留足夠空間，讓課堂真正成為學生探究性學習的“學堂”，助推教學目標的達成，從根本上改善課堂教學環境

在微視頻的先導下，課堂為具有挑戰性問題的解決預留了足夠的空間，如本教學設計中借助冪的基本不等式完成對冪函數圖像特征代數說理的突破，同時也為深入的師生對話與生生對話提供了可能.這從根本上改善了傳統課堂教學中(特別是在概念性教學中)教師知識傳授為主的沉悶課堂環境，讓學生真正成為課堂的主導者，讓課堂真正成為學生進行探究性學習的“學堂”.