以“實踐+分析”有效培育學生“四基”
——以一堂函數列表課為例

沈 浩

(江蘇省蘇州中學，江蘇蘇州，215007)

1 課程背景與意圖

從教育部深化高中課程改革的要求來看，高中除注重學科知識的掌握和運用以外，更應該消除側重應試教育這一弊病.從學生健康發展的內部需要來看，學生個體對個性化、多樣化發展的需求日益強烈[1].

《普通高中數學課程標準(2017年版)》在內容標準部分，將數學探究、數學建模與數學文化作為獨立的部分呈現，闡述了各自的內涵、教育價值，并提出了要求，對如何實施給出了說明和建議.數學探究、數學建模作為一種新的學習方式引入高中數學課程，旨在為學生提供自主學習、探究學習的空間，使學生經歷數學概念、結論產生的過程，體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，形成積極向上的情感、態度和價值觀[2].

江蘇省蘇州中學前身為蘇州府學，為北宋政治家、文學家范仲淹創辦.范仲淹在《上執政書》中說人才培養與選拔要“先策論以觀其大要，次詩賦以觀其全才.以大要定其留，以全才升其等級”，該法主張“明體達用”，實行“以類群居，相與講習”，分“經義”“治事”二齋教學.經義齋研學經學基本理論，屬“明體”之學；治事齋主攻農田、水利、軍事、天文、歷算等實學知識，屬“達用”之學.據此我校衛新校長提出了基于核心素養的書院制育人模式，為了研究書院制育人模式的實踐道路和貫徹蘇州市教育系統落實拔尖創新人才培養要求，筆者以人教版數學必修第一冊第162頁“建立函數模型解決實際問題”這一課為例，進行探索研究如何有效培育學生“四基”.在此探索過程中筆者面向本校21級少預班學生開設了《函數中的“表”》的公開課.

2 教學過程

活動一

問題1：研究表明，40 ℃的溫水比較適合人體飲用.那么在室溫下，剛接好的一定溫度開水大約需要放置多長時間才能適合人體飲用？

同學們，對于這個問題我們需要采集哪些數據，應該構建怎樣的函數關系？

我們可以利用秒表、溫度計等工具，收集水溫隨時間變化的數據.

學生每隔1 min測量一次水溫，得到下表的一組數據.

時間/min012345678910水溫/℃

設計意圖：這樣設計是為了提高學生興趣，但由于需要合理分配時間，所以之后分兩條線進行，請一位學生測量實驗數據，其他同學進入知識回顧環節，等十分鐘到了之后請學生報出測量數據.

活動二

問題2：觀察下列函數表格中數據特點，寫出可能的一個解析式.

x123456f(x)=3x+25811141720作差33333

x-101234f(x)=x-32()2-14620026作差-4-2024

x0123456f(x)=x+14+3222.61833.3033.5623.7914作差(反函數)0.6180.3820.3030.2590.2290.209

x123456f(x)=lg x00.3010.4770.6020.6990.778作差0.3010.1760.1250.0970.079

x123456f(x)=x711282 18716 38478 125279 936lg f(x)02.1073.3404.2144.8935.447

x11.522.533.5f(x)=3·4x12244896192384作商22222

小結：可以從函數的數據本身(作差、作商)或與其他函數間關系兩方面來探究函數解析式.

R3667.2593141.75887.97T88.0224.7365.3687.04 331.8R3/2216551.5896.91 687.710 641.4作商2.452.452.452.462.46

開普勒第三定律：以太陽為焦點的橢圓軌道運行的所有行星，其各自橢圓軌道半長軸的立方與周期的平方之比是定值.

設計意圖：在天文歷史中，科學家也遇到過從數據列表出發，尋找兩個變量之間的規律，提出這樣的列表問題使學生感覺這堂課的意義所在.

室溫18.1 ℃

時間/min012345678910水溫/℃9187.684.982.48077.675.573.671.769.867.9

設計意圖：此時正好觀察的同學已記錄好實驗數據，請他把數據一一報出.

活動三

問題3：如何分析水溫與時間的數據，建立怎樣的函數模型？

水溫是時間的函數，但沒有現成的函數模型.為此，可以先畫出散點圖，利用圖象直觀分析這組數據的變化規律，從而幫助我們選擇函數類型.

觀察散點圖的分布狀況，利用前面數據分析有作差和作商的方法，并考慮到茶水溫度降至室溫(室溫為t℃)就不能再降的事實，可選擇函數y=kax+t(k∈R,0

為了求出溫度的衰減比例a，可從第2 min的溫度數據開始，計算每分(y-t(室溫))的值與上一分(y-t(室溫))值的比值，列出下表

x0123…nn+1…8910y-t…y1-ty2-t…比值…y2-ty1-t…

計算各比值的平均值，我們把這個平均值作為衰減比例，就得到一個函數模型

y=72.9·0.961x+18.1.

將已知數據代入函數解析式，并畫出函數圖形，檢驗函數模型與實際數據是否吻合，能否較好地反映水溫隨著時間的變化規律.

問題4：在室溫下，剛接好的一定溫度開水大約需要放置多長時間才能達到40 ℃，適合人體飲用？

活動四

問題5：經多次實驗得到一輛汽車每小時耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0≤v≤120)的下列數據：

v406090100120Q5.268.3251015.6

為了描述汽車每小時耗油量(單位：L)與速度的關系，現有以下三種模型供選擇：

Q(v)=0.5v+a，Q(v)=av2+bv+c，Q(v)=av3+bv2+cv.

請填寫表格空白處數據，并通過分析數據選出你認為最符合實際的函數模型，求出相應的函數解析式.

解：選擇函數模型為Q(v)=av3+bv2+cv.

方法1：

方法2：

v406080100120每小時???耗油量Q(單位:L)5.261015.6百公里???耗油量P(單位:L)131091013作差-3-113再作差2222

設計意圖：這里表面上看為待定系數，其實可以根據前面的活動二通過二次函數兩次作差為定值的特點得到頂點坐標，再代入一組數據得到二次項系數.使學生再次體會對于表中數據處理后運算較為簡便.

課堂小結

(1)用數學的眼光看待世界(提出問題)；

(2)用數學的思維思考世界(建立模型)；

(3)用數學的語言表達世界(函數表示).

3 教學反思

3.1 在培育學生“四基”時，以基本活動經驗粘合其余三維數學基礎模塊

“四基”指基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗.基礎知識是指教材中的基本知識點，包括數學中的概念、性質、法則、公式、公理、定理；基本技能是指應用基礎知識按照一定的程序與步驟進行解決問題；基本思想方法是指對數學理論與內容的本質知識，是從某些具體的數學內容和對數學認識過程中提煉上升的數學觀點，它揭示了數學發展中普遍的規律，它直接支配著數學的實踐活動，這是對數學規律的理性認識；基本活動經驗是指經歷思考、探究、實踐等數學活動過程之后獲得過程性知識、最終形成應用數學的意識.數學活動經驗可以這樣理解：數學活動經驗是指學習者在參與數學活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應用意識.

第一維度，基本數學知識的積累過程；第二維度，基本數學技能的演練過程；第三維度，基本數學思想方法的形成過程.這樣一來，“四基”中前“三基”就已經形成了一個三維的“數學基礎模塊”.而基本數學活動經驗本身并不構成一個單獨的維度，而是填充在三維模塊中間的粘合劑.事實上，數學教學是數學活動的教學.學生通過無處不在的基本數學活動獲得的經驗，與數學基本知識、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數學學習過程之中[3]，如圖所示，在具體上課過程中，設計了四個活動，活動一利用秒表、溫度計等工具收集水溫隨時間變化的數據，使學生對水冷實驗有初步的物理學上的經驗認識；活動二觀察給定函數表格中數據特點，寫出可能的一個解析式，進而學生總結得出經驗，可以從函數的數據本身(作差、作商)或與其他函數間關系兩方面來探究函數解析式；活動三利用前面對于數據處理的基本經驗和測量數據，探究水冷實驗中時間和水溫的函數關系式；活動四通過例題檢驗所學方法，使學生對于數據處理的基本方法經驗進行再認知.這四個活動環環相扣，以基本活動經驗為粘合劑，粘合基礎知識、基本技能、基本思想.

3.2 在培育學生“四基”時，三維數學基礎模塊相互滲透、相互交織

基礎知識基本技能基本思想活動一水冷實驗函數概念收集水溫、時間函數思想活動二寫解析式函數圖像與性質作差、作商轉化與化歸活動三寫水冷解析式分析指數函數數據特點求解方程、待定系數數形結合活動四思考反饋二次函數圖像與性質待定系數轉化與化歸

從表格中我們可以看出，本次公開課在基礎知識、基本技能、基本思想中都動用了豐富的數學基礎模塊，使其形成了一個“四基”整體，其中的“實踐”即為基本活動經驗活動的途徑，其中的“分析”即為在各個活動中提升數學基礎模塊的方法，從而通過“實踐+分析”的方式有效培育學生的“四基”.